板块1 微专题(1) 函数的图象与性质(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

第一板块　函数与导数 微专题(一)　函数的图象与性质 精练小题·激活知能 1.(人A必修一P86T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+x，则x>0时，f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=-x2+x B.f(x)=-x2-x C.f(x)=x2-x D.f(x)=x2+x 解析：选A　因为f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，-x<0，所以f(x)=-f(-x)=-=-x2+x. 2.(2024·南昌模拟)已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(2)=1，则不等式f(x)+1<0的解集为 (　　) A.(-1，1) B.(-2，2) C.(-2，+∞) D.(-∞，-2) 解析：选D　由f(x)+1<0，得f(x)<-1.因为f(x)是奇函数，且f(2)=1，所以f(x)<f(-2).因为f(x)在R上单调递增，所以x<-2，故不等式f(x)+1<0的解集为(-∞，-2). 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 解析：选B　若函数f(x)在R上单调递增，则需满足解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. 4.(2024·北京海淀模拟)已知奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且f(m)=3，则f(m-4)的值为 (　　) A.3 B.0 C.-3 D. 解析：选C　由函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，可得f(m)=f(4-m)，再结合y=f(x)为奇函数，可得f(m)=f(4-m)=-f(m-4)=3，求得f(m-4)=-3，故选C. 5.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)= (　　) A.1 B.2 C.0 D. 解析：选D　依题意f(x)·f(x+2)=13，f(x+2)=，f(x+4)=f(x+2+2)===f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)=f(25×4-1)=f(-1)===.故选D. |调动储备| ⇦若f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)，f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x). ⇦奇函数关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数关于原点对称的区间上具有相反的单调性. ⇦注意分界点处的值满足相应的大小关系. ⇦若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)⇔f(-x)=f(2a+x)⇔f(x)=f(2a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称. ⇦对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=，则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-，则T=2a(a>0). 聚焦重难·发掘潜力 考法一　函数的图象及应用 　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的大致图象为 (　　) 解析：选B　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，又函数定义域为[-2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f(1)=-1+sin 1>-1+sin =-1->->0，故可排除D.故选B. (2)(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] B.[-4，0] C.[-3，0] D.(-∞，2] 解析：选B　因为f(x)=令g(x)=|f(x)|，作出g(x)图象，如图所示，令h(x)=ax，由图知，要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则必有a≤0， 当x≤0时，令y1=x2-4x，由消y得到x2-(4+a)x=0，由Δ=0，得到(4+a)2=0，即a=-4，由图可知-4≤a≤0. [思维建模] (1)函数图象的辨识可从以下四个方面入手 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性判断图象的变化趋势. ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性. ④从函数的特征点，排除不符合要求的图象. (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. [变式训练] 1.(2024·濮阳模拟)已知图1对应的函数为y=f(x)，则图2对应的函数是 (　　) A.y=f(-|x|) B.y=f(-x) C.y=f(|x|) D.y=-f(-x) 解析：选A　根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数图象相同，当x>0时，所求函数图象与x<0时图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f(x)相同，故B、D不符合要求，当x≤0时，y=f(-|x|)=f(x)，y=f(|x|)=f(-x)，故A正确，C错误.故选A. 2.(2024·天津二模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析：选D　f(x)=在x=0处无意义，故A错误；f(x)=的定义域为R，故B错误；f(x)=的定义域为{x|x≠±1}，且f(-x)===f(x)，则f(x)为偶函数，故C错误；f(x)=满足题图中要求，故D正确.故选D. 3.(2024·柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f(x)=min{x+1，x2-2x+1，-x+8}，则函数f(x)的最大值为　　　.  解析：如图所示，在同一个坐标系中， 分别作出函数y1=x+1，y2=x2-2x+1，y3=-x+8的图象， 而f(x)=min{x+1，x2-2x+1，-x+8}的图象即是图中勾勒出的实线部分，要求的函数f(x)的最大值即图中最高点A的纵坐标. 由联立解得 故所求函数f(x)的最大值为. 答案： 考法二　函数的性质及应用 题点1　函数的单调性与奇偶性 [例2]　(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则f，f，f(e-2)的大小关系为 (　　) A.f>f>f(e-2) B.f>f(e-2)>f C.f>f>f(e-2) D.f>f(e-2)>f 解析：选A　因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f=f=f. 因为<=，所以0<e-2<<ln， 因为f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f>f>f(e-2). (2)(2024·西安三模)已知函数f(x)=+ln(-x)，若f(a-1)+f(2a2)>2，则a的取值范围为　　　　.  解析：由条件知x∈R，令g(x)=f(x)-1=+ln(-x)-1，则g(-x)=+ln(+x)-1=+ln(+x).易知g(x)+g(-x)=0，即g(x)为奇函数.又f(x)=+ln，易知y=，y=在x>0时单调递减，由复合函数的单调性及奇函数的性质得g(x)=f(x)-1在R上单调递减. 因为f(a-1)+f(2a2)>2⇔g(a-1)+g(2a2)>0⇔g(a-1)>g(-2a2)，所以a-1<-2a2⇒a∈. 答案： 题点2　函数的奇偶性、周期性与对称性 [例3]　(2024·朔州模拟)[多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的最小正周期为4 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)的图象关于点(2，0)对称 D.f(x)在(-5，5)内至少有5个零点 解析：选BCD　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)=sin，满足f(x)为奇函数，且f(x+2)=sin=sin=-sin=-f(x)，而f(x)=sin的最小正周期为，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x+2)=-f(x)，所以f(x+2)=f(-x)，即f(x)的图象关于直线x=1对称，故B正确；由f(x+4)=f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x+4)+f(-x)=0，即f(x)的图象关于点(2，0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.又f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，所以f(2)=-f(0)=0，f(4)=f(0)=0，故f(-2)=-f(2)=0，f(-4)=-f(4)=0，所以在(-5，5)内f(x)至少有-4，-2，0，2，4这5个零点，故D正确.故选BCD. [思维建模] (1)利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将“隐性”不等式转化为“显性”不等式来求解，方法如下：①把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))；②判断函数f(x)的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别；③若f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，则f(0)=0，其图象关于原点对称；若f(x)为偶函数，则f(|x|)=f(x)，其图象关于y轴对称. (2)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知条件区间上的自变量转化到已知条件区间上求解，可以缩小研究问题的区间长度. [变式训练] 4.设函数f(x)=(a-1)x|x-b+1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是 (　　) A.a>1，b=1 B.a>1，b<1 C.a<1，b=1 D.a<1，b>1 解析：选C　因为函数f(x)=(a-1)x|x-b+1|为R上的奇函数，且单调递减，所以a-1≠0且f(-1)=-f(1)，即-(a-1)|-b|=-(a-1)|2-b|，所以|-b|=|2-b|，解得b=1，经检验符合题意，故f(x)=(a-1)x|x|=因为函数f(x)=(a-1)x|x|在R上为减函数，所以a-1<0，所以a<1. 5.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则不等式f(x-1)>f(2x)的解集为 (　　) A.∪(6，+∞) B. C.(-∞，-1)∪ D. 解析：选D　∵函数f(x+2)为偶函数，∴f(-x+2)=f(x+2)，即f(2-x)=f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称.又∵函数f(x)的定义域为R，在区间(-∞，2]上单调递减，∴函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，∴由f(x-1)>f(2x)得|(x-1)-2|>|2x-2|，解得x∈. 6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)-2为奇函数，f(3x+1)为偶函数，f(1)=0，则f(k)=　　　　.  解析：由题意得f(x+2)-2为奇函数，所以f(x+2)-2+f(-x+2)-2=0，即f(x+2)+f(-x+2)=4，所以函数f(x)关于点(2，2)中心对称.由f(3x+1)为偶函数，可得f(x+1)为偶函数，则f(x+1)=f(-x+1)，所以函数f(x)关于直线x=1对称，所以f(x+2)=4-f(-x+2)=4-f(x)，f(x+4)=4-f(x+2)，从而得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(1)=0，所以f(1)+f(3)=4，则f(3)=4.因为f(x)关于直线x=1对称，所以f(3)=f(-1)=4.又因为f(x)关于点(2，2)对称，所以f(2)=2.又因为f(4)=f(-2)=f(0)，f(-2)=f(-2+4)=f(2)=2，即f(4)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以f(k)=×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=4 048. 答案：4 048 微点培优·技高一筹 赋值法与构造法解决抽象函数问题 　　抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数.抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中，已成为高考中的重点题型，如在2021年、2022年、2023年、2024年的高考中都有考查，因而要引起高度重视.赋值法与构造函数法是解决此类问题的两种有效方法. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.赋值法 根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有f(x0)的函数值时，也常将x0代入；另外也可以将-x，x1，x2代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性. 2.构造具体函数 抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标有两个角度： 抽象问题 图象化 根据题设条件画出函数图象，然后根据图象寻找解题的思路和方法 抽象问题 模型化 根据题设条件，构造满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果 3.常见的抽象函数模型 基本初等函数模型 抽象函数性质 幂函数f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y)或f= 指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)= 对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y)或f=f(x)-f(y)或f(xm)=mf(x) 余弦函数f(x)=Acos ωx(Aω≠0) f(x)+f(y)=f·f或f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) [应用体验] 1.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则f(k)= (　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析：选A　法一：赋值加性质　因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，令x=1，y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y)，即f(y)=f(-y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得， f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，从而可知f(x+2)=-f(x-1)，f(x-1)=-f(x-4)，故f(x+2)=f(x-4)，即f(x)=f(x+6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1，f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2，f(4)=f(-2)=f(2)=-1，f(5)=f(-1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，所以一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4，所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 法二：构造特殊函数　由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y，可设f(x)=acos ωx，则由法一中f(0)=2，f(1)=1知a=2，acos ω=1，解得cos ω=，取ω=，所以f(x)=2cos x，则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cos xcos y=f(x)f(y)，所以f(x)=2cos x符合条件，因此f(x)的周期T==6，f(0)=2，f(1)=1，且f(2)=-1，f(3)=-2，f(4)=-1，f(5)=1，f(6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则 (　　) A.f(0)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(1)=0 D.x=0为f(x)的极小值点 解析：选ABC　法一　因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故C正确.令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1，f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故B正确.不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误. 法二　A、B、C同法一.当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到=+，故可设=ln |x|(x≠0)，则f(x)=当x>0时，f(x)=x2ln x，则f'(x)=2xln x+x2·=x(2ln x+1)，令f'(x)<0，得0<x<.令f'(x)>0，得x>，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误. 3.[多选]函数f(x)的定义域为R，f≠0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，则下列选项正确的有 (　　) A.f=0 B.f=-2 C.f是增函数 D.f是奇函数 解析：选ABD　令x=，y=0，f+f·f(0)=f[1+f(0)]=0，f≠0，即f(0)=-1，令x=，y=-，f(0)+ff=-1，f≠0，即f=0，故A正确.令y=-，f=-2x，故f(x)=-2x-1，经检验，符合题意，f=-2，故B正确.f=-2x-2，即f是减函数，故C错误.f=2x=-f，定义域为R且f=0，即f是奇函数，故D正确. 4.函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(x+1)·f(y+1)=f(x+y)-f(x-y)，若f(0)≠0，则f(2 024)= (　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 解析：选A　法一　令x=y=0，则[f(1)]2=f(0)-f(0)=0，所以f(1)=0.令x=0，y=x，则f(1)f(x+1)=f(0+x)-f(0-x)=0，所以f(x)=f(-x).令y=-x，则f(x+1)f(1-x)=f(0)-f(2x).令y=x，则f(x+1)f(x+1)=f(2x)-f(0).所以f(x+1)f(1-x)=-f(x+1)f(x+1)，若f(x+1)=0恒成立，则与题设条件f(0)≠0矛盾，所以f(x+1)不恒为0，所以f(1-x)=-f(x+1)，所以f(x)=-f(2-x).又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=-f(2-x)，所以f(x)=-f(2+x)=-[-f(4+x)]=f(x+4)，所以4为f(x)的一个周期，所以f(2 024)=f(0).令x=y=1，得f(2)f(2)=f(2)-f(0)，又f(2)=-f(0)，所以f(0)f(0)=-2f(0)，结合f(0)≠0得f(0)=-2，所以f(2 024)=-2，故选A. 法二　因为cos(x+y)-cos(x-y)=-2sin xsin y，所以-2coscos=cos(x+y)-cos(x-y)，所以-2cos=-2cos(x+y)-[-2cos(x-y)].由此联想构造函数，令f(x)=-2cos ，检验得∀x，y∈R，f(x+1)·f(y+1)=f(x+y)-f(x-y)，且f(0)≠0，符合题意，所以f(2 024)=-2cos 1 012π=-2，故选A. 5.(2024·保定三中2月检测)函数f(x)满足∀x，y∈Z，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1，且f(-2)=1，则f(2n)(n∈N*)= (　　) A.4n+6 B.8n-1 C.4n2+2n-1 D.8n2+2n-5 解析：选C　法一　令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1.令x=y=-1，则f(-2)=f(-1)+f(-1)+2+1=2f(-1)+3=1，所以f(-1)=-1.令x=1，y=-1，则f(0)=f(1)+f(-1)-2+1=f(1)-2=-1，所以f(1)=1.令x=n，y=1，n∈N*，则f(n+1)=f(n)+f(1)+2n+1=f(n)+2n+2，所以f(n+1)-f(n)=2n+2. 当n≥2时，f(n)-f(n-1)=2n，则f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+…+f(2)-f(1)+f(1)=2n+(2n-2)+…+4+1=+1=n2+n-1.当n=1时，上式也成立，所以f(n)=n2+n-1(n∈N*)，所以f(2n)=4n2+2n-1(n∈N*).故选C. 法二　由法一知，f(1)=1.令x=y=1，则f(2)=f(1)+f(1)+2+1=5，排除A、B.令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)+8+1=19，排除D.故选C. 6.[多选]函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，2f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-2x+6，且f(0)=1，则下列选项正确的是 (　　) A.f(-1)=2 B.f(1)=3 C.f(x)是增函数 D.f(x)是偶函数 解析：选BC　法一　令x=y=0，则2f(1)=[f(0)]2-f(0)+6=6，则f(1)=3，B正确.令y=1，则2f(x+1)=3f(x)-3-2x+6=3f(x)-2x+3　①.令x=1，则2f(y+1)=3f(y)-f(y)-2+6=2f(y)+4，所以f(x+1)=f(x)+2　②.联立①②可得f(x)=2x+1，则f(-1)=-2+1=-1，A错误.函数f(x)=2x+1为增函数，且为非奇非偶函数，所以C正确，D错误.故选BC. 法二　得出f(1)=3后，令x=1，y=-1，则2f(-1+1)=f(1)f(-1)-f(-1)-2+6，则f(-1)=-1≠f(1)，所以A、D错误，由于是多选题，正确选项至少有两个，所以正确答案是B、C. [专题验收评价] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知f(x)=若f(a)=1，则实数a的值为 (　　) A.1 B.4 C.1或4 D.2 解析：选B　当a<1时，f(a)=2a-1=1，则a-1=0，解得a=1(舍去)；当a≥1时，f(a)==1，则=2，解得a=4.故选B. 2.(2024·北京三模)下列函数中，是偶函数且在区间(0，+∞)上单调递增的是 (　　) A.y=ex B.y=x- C.y=|x3| D.y=cos x 解析：选C　由指数函数的性质，得函数y=ex为非奇非偶函数，所以A不符合题意；函数f(x)=x-的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，且f(-x)=-=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以B不符合题意；函数f(x)=|x3|的定义域为R，关于原点对称，且满足f(-x)=|-x3|=|x3|=f(x)，所以f(x)为偶函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)=x3，在区间(0，+∞)上单调递增，所以C符合题意；函数y=cos x在区间(0，+∞)上不单调递增，所以D不符合题意.故选C. 3.[多选]设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)=-f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是 (　　) A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x 解析：选AB　由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.A中，f(x)=sin xcos x=sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数f(x)=ln x+ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为f(x)=2x>0，故C不是“M函数”；D中，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”. 4.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)=- B.f(x)=- C.f(x)=- D.f(x)=- 解析：选A　由题图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由题图可知，函数的定义域不是实数集，故排除B；由题图可知，当x→+∞时，y→-∞，而对于D，当x→+∞时，y→0，故排除D.故选A. 5.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 解析：选D　由题意得y=x(x-a)在区间(0，1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选D. 6.(2024·泸州三模)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)+f(4-x)=0，若函数f(x)与y=图象的交点横坐标分别为x1，x2，…，xn，则xi= (　　) A.4n B.2n C.n D.0 解析：选B　因为f(x)+f(4-x)=0，所以f(2+x)+f(2-x)=0，所以函数的图象关于(2，0)对称.又函数y=关于(2，0)对称，则y=f(x)与y=的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以xi=4×=2n.故选B. 7.(2024·呼和浩特一模)如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x，y)滚动时形成的曲线为y=f(x)，则f(2 023)= (　　) A.0 B. C.1 D. 解析：选A　由题意可知，f(x)是周期为4的函数，所以f(2 023)=f(505×4+3)=f(3).由题意可得，当x=3时，点C恰好在x轴上，所以f(3)=0，所以f(2 023)=f(3)=0.故选A. 8.(2024·内江三模)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x+2)=-f(x)成立，且函数f(x+1)为偶函数，f(1)=2，则f(1)+f(2)+…+f(2 024)= (　　) A.-1 B.0 C.1 012 D.2 024 解析：选B　由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即f(x)的一个周期为4.由f(x+1)为偶函数可知f(x)关于x=1轴对称，即f(2)=f(0)，由f(x+2)=-f(x)可知f(2)=-f(0)，所以f(2)=f(0)=0.显然f(3)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.故选B. 9.设f(x)=x3-log2(-x)，则对任意实数a，b，a+b≤0是f(a)+f(b)≤0的 (　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C　由题意，函数f(x)=x3-log2(-x)的定义域为R，且f(x)=x3-log2(-x)=x3+log2(x+)，f(-x)=(-x)3+log2(-x+)=-x3-log2(x+)=-f(x)，所以f(x)=x3+log2(x+)为奇函数，函数y=x3与y=x+均在[0，+∞)单调递增，所以f(x)在[0，+∞)单调递增.因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)在(-∞，0)也单调递增.又因为f(0)=0，所以函数f(x)在R上单调递增.由a+b≤0，得a≤-b，所以f(a)≤f(-b)，所以f(a)+f(b)≤0，反之，由f(a)+f(b)≤0，得f(a)≤-f(b)=f(-b)，所以a≤-b，即a+b≤0.故对任意实数a，b，a+b≤0是f(a)+f(b)≤0的充要条件. 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且对任意的x1，x2∈[0，+∞)，x1≠x2，都有>2，f(1)=2 026，则满足不等式f(x-2 025)>2(x-1 013)的x的取值范围是 (　　) A.(2 026，+∞) B.(2 025，+∞) C.(1 013，+∞) D.(1 012，+∞) 解析：选A　由>2⇒>0⇒函数y=f(x)-2x在[0，+∞)上单调递增.又f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以y=f(x)-2x为奇函数，所以y=f(x)-2x在R上单调递增.f(x-2 025)>2(x-1 013)，f(1)=2 026⇒f(x-2 025)-2(x-2 025)>f(1)-2⇒x-2 025>1⇒x>2 026.故选A. 11.(2024·临沂模拟)[多选]函数f(x)满足：对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2，且当x>0时，f(x)>2，则 (　　) A.f(0)=2 B.f(x)关于(0，2)对称 C.f(-2 024)+f(2 024)=4 D.f(x)为减函数 解析：选ABC　由对于任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2，令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)-2，即f(0)=2，故A正确；令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)-2，即f(x)+f(-x)=4，故B正确；令x=2 024，y=-2 024，则f(0)=f(2 024)+f(-2 024)-2，即f(-2 024)+f(2 024)=4，故C正确；对于任意y∈R，x>0，则设z=x+y>y，当x>0时，f(x)>2，则f(z)-f(y)=f(x)-2>0，即f(z)>f(y)，所以f(x)单调递增，故D错误.故选ABC. 12.已知f(x)=x3+a，x∈R，且f(x)是奇函数，则a=　　　.  解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即x3+a+(-x)3+a=0，故a=0. 答案：0 13.(2024·无锡二模)已知函数f(x)=满足对任意的x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为　　　　　.  解析：由题意，f(x)为定义在R上的减函数，则各段单调递减，还要区间端点附近单调递减，所以解得则<a≤. 答案： 14.(2024·北京丰台一模)已知函数f(x)具有下列性质：①当x1，x2∈[0，+∞)时，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1；②在区间(0，+∞)上，f(x)单调递增；③f(x)是偶函数.则f(0)=　　　　；函数f(x)可能的一个解析式为f(x)=　　　　.  解析：因为当x1，x2∈[0，+∞)时，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，令x1=x2=0可得f(0)=f(0)+f(0)+1，解得f(0)=-1，不妨令f(x)=|x|-1，x∈R，则f(x)=|x|-1=所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，满足②；又f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x)，所以f(x)为偶函数，满足③；当x1，x2∈[0，+∞)时，f(x1+x2)=|x1+x2|-1=x1+x2-1，f(x1)=|x1|-1=x1-1，f(x2)=|x2|-1=x2-1，所以f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，满足①. 答案：-1　|x|-1(答案不唯一) 15.已知函数f(x)=若存在f(x1)=f(x2)=f(x3)，且x1，x2，x3两两不相等，则x1+x2+x3的取值范围为 (　　) A.(-1，1) B.(-1，1] C.(0，1] D.[0，1] 解析：选C　画出函数f(x)=的图象，如图所示， 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=m，则方程f(x)=m有3个根，由图可得-3<m≤-2，不妨设y=m与y=x2+2x-2(x≤0)的两个交点的横坐标为x1，x2，y=m与y=x-5(x>0)交点的横坐标为x3，则x1+x2=-2，当m=-2时，x3最大，由x3-5=-2，解得x3=3.当m接近-3时，x3接近最小，由x3-5=-3，解得x3=2，即x3∈(2，3]，则x1+x2+x3的取值范围是(0，1]，故选C. 16.(2024·重庆渝中模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)=1-|2x-1|，则当x∈时，y=f(x)的值域为 (　　) A. B.[0，1] C. D. 解析：选B　由函数f(x)满足f(x+1)=f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)=1-|2x-1|，得当x∈[1，2)时，f(x)=f(x-1)=(1-|2x-3|)；当x∈[2，3)时，可得f(x)=f(x-1)=(1-|2x-5|)，…，所以在区间[n，n+1)(n∈Z)上，f(x)=[1-|2x-(2n+1)|]，作出函数y=f(x)的部分图象，如图所示， 所以当x∈时，f(x)∈[0，1]，故选B. 17.[多选]定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x-1)与f(x-2)均为偶函数，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.2为f(x)的一个周期 C.f'(x)的图象关于点(2，0)对称 D.f'(x)为偶函数 解析：选ABC　因为f(x-1)为偶函数，则f(-1+x)=f(-1-x)，则f(x)的图象关于直线x=-1对称，故A正确.因为f(x-2)为偶函数，所以f(-2+x)=f(-2-x)，则f(x)的图象关于直线x=-2对称.由f(-1+x)=f(-1-x)得f(x)=f(-2-x)，结合f(-2+x)=f(-2-x)得f(x)=f(x-2)，所以2为f(x)的一个周期，故B正确.因为2为f(x)的一个周期，所以f(x)=f(x+2)=f(x+4)=f(x+6).又f(x)=f(-2-x)，所以f(x+6)=f(-2-x)，所以f'(x+6)=-f'(-2-x)，即f'(x+6)+f'(-2-x)=0，所以f'(2+x)+f'(2-x)=0，所以f'(x)的图象关于(2，0)对称，故C正确.由f(x)=f(-2-x)，得f(-x)=f(-2+x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数，故D错误.故选ABC. 18.已知函数y=xf(x-1)是定义在R上的奇函数，若对任意x1，x2∈(-∞，-1]且x1≠x2，都有<0，则不等式f(x2-1)<f(-3)的解集为　　　　　　　.  解析：因为函数y=xf(x-1)是定义在R上的奇函数，则-xf(-x-1)=-xf(x-1)，所以f(-x-1)=f(x-1)，则f(-x-2)=f(x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为对任意x1，x2∈(-∞，-1]且x1≠x2，都有<0，所以y=f(x)在区间(-∞，-1]上单调递减，则y=f(x)在区间[-1，+∞)上单调递增.因为x2-1≥-1，f(-3)=f(1)，所以f(x2-1)<f(1)，所以x2-1<1，解得-<x<，故不等式f(x2-1)<f(-3)的解集为{x|-<x<}. 答案：{x|-<x<} 学科网（北京）股份有限公司 $$