3.3.2抛物线的简单几何性质（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理标准方程、图形、范围等基础性质，衔接直线与抛物线位置关系、焦点弦、中点弦及定值定点问题，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料以思维导图开篇构建知识框架，培养几何直观与抽象能力，题型精讲结合高考真题，通过典例与变式发展推理能力，分层精练助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第06讲 3.3.2抛物线的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点02：直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【即学即练1】已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 知识点03：直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【即学即练2】（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 第三部分 题型精讲 题型01抛物线的简单性质 【典例1】（25-26高三上·青海·阶段检测）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（   ） A．14 B． C． D．28 【典例2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式3】（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型02直线与抛物线的位置关系 【典例1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为________. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式3】（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 题型03抛物线的弦长 【典例1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【典例2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【变式1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【变式2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 题型04抛物线的中点弦和点差法 【典例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【典例2】（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【变式2】（23-24高二上·山东济宁·阶段检测）抛物线与直线交于两点，且的中点为，求直线的斜率. 【变式3】（23-24高二上·安徽滁州·阶段检测）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 题型05抛物线的焦点弦 【典例1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【典例2】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【变式1】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【变式2】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【变式3】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 题型06抛物线的定值、定点、定直线问题 【典例1】设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【典例2】已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，，，，与轴交于点． (1)若，，求乘积的值； (2)若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程． 【变式1】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 题型07抛物线的向量问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【典例2】（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【变式1】（2026·辽宁朝阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 【变式2】（25-26高二下·上海松江·期中）记抛物线：的焦点为F． (1)设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； (2)过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 【变式3】（25-26高三下·海南·阶段检测）已知点F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线C相交于点M，N，与抛物线C相交于点P，Q，请用表示，并求的最小值． 题型08抛物线的三角形问题 【典例1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【变式1】（25-26高二上·吉林·期末）已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【变式2】（25-26高二上·云南·阶段检测）设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程.    【变式3】（24-25高二下·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（山东青岛市2026-2027学年高三年级期初调研检测数学试题）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 3．（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C．D． 5．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 6．（北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 7．（多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 8．（2025年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））已知抛物线与抛物线的焦点分别为，，为曲线与异于原点的公共点，直线交于两点，交于两点，其中为第一象限内的点，则（    ） A．四边形为平行四边形 B． C． D． 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________ 10．（25-26高二上·上海·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线的准线交于点，且点在第三象限，若满足的点在抛物线上，则直线的斜率为______. B能力提升 1．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 4．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 5．（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点，点，在上，且关于轴对称，定点，若，且直线，的斜率之积为，则________． C综合素养 1．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 3．（2026·河北沧州·一模）已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 4．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 5．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 3.3.2抛物线的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点02：直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【即学即练1】已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 【答案】或0 【分析】联立抛物线和直线方程，利用方程根的个数结合判别式求解. 【详解】由，整理得， 当时，，解得， 当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意， 综上，实数的值为或0. 知识点03：直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【即学即练2】（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 第三部分 题型精讲 题型01抛物线的简单性质 【典例1】（25-26高三上·青海·阶段检测）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（   ） A．14 B． C． D．28 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义先算出的坐标，然后利用抛物线的定义可求解，从而可求解. 【详解】由题意可得，则可得，则， 又因为抛物线的通径长为，所以轴， 所以，故C正确. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 【变式2】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值， ． 【变式3】（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 题型02直线与抛物线的位置关系 【典例1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【典例2】已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为________. 【答案】0或或 【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得. 【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此； 当时，由消去y并整理得：， 当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此； 当且时，，则， 此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此， 所以实数a的值为0或或. 故答案为：0或或 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 【变式3】（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 题型03抛物线的弦长 【典例1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知点在抛物线上． (1)求的方程； (2)过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出的值，即可求解； （2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． （2）由（1）得的焦点为， 所以直线l的方程为，设，． 由，消得， 则，，， 所以． 【典例2】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 【变式1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 【变式2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 【变式3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 题型04抛物线的中点弦和点差法 【典例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【典例2】（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 【变式2】（23-24高二上·山东济宁·阶段检测）抛物线与直线交于两点，且的中点为，求直线的斜率. 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的中点弦的“点差法”，即可求解. 【详解】已知的中点为，设两点坐标分别为 则，可得， 即，即， 又，所以. 所以直线的斜率. 【变式3】（23-24高二上·安徽滁州·阶段检测）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 题型05抛物线的焦点弦 【典例1】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    【典例2】（2025·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意有，求出参数值，即可得方程； （2）由题意可得，联立抛物线，应用韦达定理和焦点弦长公式求. 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； （2）    由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然， 所以，，(的横坐标分别为)， 则. 【变式1】（2025·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 【变式2】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 【变式3】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 题型06抛物线的定值、定点、定直线问题 【典例1】设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 【典例2】已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，，，，与轴交于点． (1)若，，求乘积的值； (2)若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程． 【答案】(1)1 (2) 证明：设，由可得，故， 所以抛物线在，处的切线方程为，即， 同理可得抛物线在，处的切线方程为， 联立方程组，得， 因为，即， 由（1）可得，， 所以，即． 所以点在直线上． 【分析】（1）根据向量间的关系，表示出，结合韦达定理可求； （2）利用导数求出切线，得出交点的坐标，根据坐标特点得出结论. 【详解】（1）设，， 因为，，所以， 解得， 设直线的斜率为，方程为， 由，得， 当时，设，，，， 则，， ． （2）略 【变式1】（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明：设，联立，得． AI由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）略. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）略 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 题型07抛物线的向量问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 【典例2】（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出，进而求出Γ的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简，结合已知条件构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】（1）已知点在抛物线上，则，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义得，解得， 抛物线的方程为． （2）    联立直线与抛物线得， 直线与抛物线交于A，B两点，则，解得， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，即，解得， 综上可得，t的取值范围为． 【变式1】（2026·辽宁朝阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线． (1)求点P的轨迹方程； (2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）点到点的距离与到的距离相等，根据抛物线定义得到方程； （2）先设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，并求出，表达出的方程，得到过定点，表达出计算求解直线； 【详解】（1）由动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，可知点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. （2）设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， 因为， 所以， 所以或，当时，过定点， 所以， ，所以， 所以； 当时，过定点， 所以， ，所以， 所以； 综上，直线的方程为或. 【变式2】（25-26高二下·上海松江·期中）记抛物线：的焦点为F． (1)设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； (2)过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 【答案】(1)； 2 (2)或 【分析】（1）利用抛物线定义即可求得； （2）设出直线方程和交点坐标，利用韦达定理进行求解. 【详解】（1）抛物线为：，其准线为：，焦点为：， 为上一点，由抛物线定义得：点到准线的距离和点到焦点距离相等， 所以，若，则，此时. （2） 不妨设直线方程为：，则，解得：， 设，，且，则由韦达定理得，， 所以，， 由题意得：，， 所以 ，解得：，所以， 因此的方程为：或. 【变式3】（25-26高三下·海南·阶段检测）已知点F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线C相交于点M，N，与抛物线C相交于点P，Q，请用表示，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为64. 【分析】（1）由点在抛物线C上，结合焦半径公式，求得的值，进而得到抛物线C的方程； （2）由向量的线性运算和数量积的定义，结合，用表示出，设出直线的方程代入抛物线方程，利用焦半径公式结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）点在抛物线C上，则，从而， ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为． 由，得 ， 设，则是上述方程的两个实根，于是． 因为，所以的斜率为． 设则同理可得 故 ， 当时等号成立，故的最小值为64. 题型08抛物线的三角形问题 【典例1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的定义和点的坐标列方程组，求解方程组即可； （2）设直线方程，联立方程，结合韦达定理可求面积表达式，结合面积的值可求答案. 【详解】（1）因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. （2）由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用抛物线定义来求焦半径即可； （2）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和面积公式即可求解. 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 【变式1】（25-26高二上·吉林·期末）已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求得的值，进而解得抛物线的方程； （2）先设出两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得，，再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； （2）由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 【变式2】（25-26高二上·云南·阶段检测）设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）利用代入法，结合抛物线的准线方程进行求解即可； （2）设出直线的方程与抛物线的方程联立，结合三角形面积公式、抛物线的定义进行求解即可. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 把代入中，得， 因为抛物线的准线被圆所截得的弦长为， 所以， 因此抛物线的方程为； （2）由（1）可知抛物线的方程为，焦点， 由题意可知该直线存在斜率，因此设直线的方程为， ， 显然， 设，， ， 点到直线的距离为， 因为的面积为， 所以， 所以直线的方程为，或.    【变式3】（24-25高二下·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由题意得，由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，可得解； （2）设直线方程为，根据，可得的值，再求点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）设点，则它到轴的距离与它到直线的距离分别为， 由题意得， 又，结合图形可知，点不可能在轴的右侧，所以， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为. （2）由题意知，过的直线的斜率不为零， 设其方程为， 联立方程，得消去并整理，得， 则，且， 所以， 解得， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（山东青岛市2026-2027学年高三年级期初调研检测数学试题）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 3．（2026·福建漳州·二模）已知A，B为抛物线上的动点，为AB中点且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先过点，分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，即可得解. 【详解】设抛物线的准线为，焦点为，则， 过点作于，过点作于，连接，， 设 ，根据抛物线的定义，， 因 是 中点，所以，故, ，得，解得， 当且仅当A，B，F 三点共线时等号成立. 所以的最小值为2. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 5．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】抛物线方程与直线方程联立，由解出，进而求解. 【详解】由题意有：， 所以，解得， 故选：C. 6．（北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用抛物线的准线与点的横坐标的关系，求出、横坐标之和，再结合焦点弦长公式计算. 【详解】抛物线的准线为，. 设、，则、到直线的距离之和为. 由题知该和为7，故. 根据抛物线焦点弦长公式，. 故选：C. 7．（多选）（25-26高二上·宁夏固原·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 8．（2025年普通高等学校招生全国统一考试�押题卷数学（一））已知抛物线与抛物线的焦点分别为，，为曲线与异于原点的公共点，直线交于两点，交于两点，其中为第一象限内的点，则（    ） A．四边形为平行四边形 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A先求点的坐标，得中点坐标，验证中点是否在直线即可；对于B直线的方程与抛物线方程联立，由韦达定理得，，结合点在抛物线上即可计算；对于C由两点间的距离公式有，代入直线即可求解；对于D，代入韦达定理即可求解. 【详解】如图．易知，，直线的方程为． 由得所以．连接， 则线段的中点坐标为，不在直线上， 故四边形不是平行四边形，A错误． 设．由对称性可知，． 由消去并整理，得， 则，．又，， 所以，B正确． ，C正确． ，D错误． 故选：BC． 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________ 【答案】4 【详解】如图，作垂直于准线，由抛物线定义可知，因为，所以，, 所以，代入抛物线解析式得，所以. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线的准线交于点，且点在第三象限，若满足的点在抛物线上，则直线的斜率为______. 【答案】 【分析】易知直线的斜率大于0，设，表示出点A的坐标，利用平面共线向量的坐标表示求出点B的坐标，代入抛物线方程计算即可. 【详解】如图，易知直线的斜率大于0，，准线方程为， 设直线方程为，令，得， 所以，得，又， 所以，得，解得， 所以，代入方程， 得，由，解得， 即直线的斜率为. 故答案为：. B能力提升 1．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 2．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 3．（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 4．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则______． 【答案】3 【分析】设，得到，以及直线的方程为，联立方程组求得和，得到和，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线的焦点为， 因为直线与抛物线交于两点，可设，其中， 则，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得，解得， 将其代入直线方程，可得，即，同理可得：点， 所以，则， ， 因为与的面积之比为， 可得，整理得，因为，解得. 5．（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点，点，在上，且关于轴对称，定点，若，且直线，的斜率之积为，则________． 【答案】4 【分析】首先设出点坐标，利用对称性得到点坐标，结合斜率乘积条件与的条件求出点横坐标与的值，最后计算即可. 【详解】设点，∵ 点关于轴对称，∴ . ∵ 直线的斜率之积为， ∴ ， 整理得   ①. ∵ ，∴ 由两点距离公式得   ②. 将①代入②得 ，即 ， ∴ . ∵ 点在抛物线上， ∴ ，故，解得. 将代入①得 . 又∵ 点在抛物线上，∴ ，即，解得. 由抛物线焦半径公式，. C综合素养 1．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【分析】（1）首先求抛物线方程，再联立直线与抛物线方程，根据判别式，再结合条件，求斜率的取值范围； （2）首先利用坐标表示和的直线方程，再用坐标表示，即可证明. 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）略 2．（26-27高二上·全国·课后作业）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 【答案】(1)或 (2)证法一：设，，且， 如图，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，， 设直线的方程为， 欲证，可证，即证， 即证，即证，整理得． 由，得，显然，所以，， 所以，故，得证； 证法二：当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以， 当与轴不垂直时，设，，，则，， 由，得，，知，， 直线，的斜率之和为①， 将，及，的表达式代入①式分子， 可得， 所以，可知直线，的倾斜角互补，所以， 综上，，得证. 【分析】（1）根据已知有直线的方程为，进而确定的坐标，结合已知写出直线的方程； （2）法一：应用几何法，设，，且，分别过，作轴的垂线分别交轴于点，，则为，分析法将问题化为证明，联立抛物线及韦达定理证明即可；法二：应用代数法，讨论与轴是否垂直，设，，，联立抛物线及韦达定理证明即可. 【详解】（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为，可得为或， 而，所以直线的方程为或； （2）略 3．（2026·河北沧州·一模）已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的定义列方程组求，即可得抛物线方程； （2）设直线，，，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线， 由题意可知：，解得， 所以抛物线的方程为. （2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为或. 4．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 5．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $