第12章 二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第12章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意； B、，故是二次根式，本选项不符合题意； C、，故是二次根式，本选项不符合题意； D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 2．下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．估计的值应在（  ） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键． 先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 4．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，一次函数的性质等等，先根据三角形面积公式推出，再把点代入一次函数解析式中得到，据此推出，再由勾股定理得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是理解可以合并的条件—同类二次根式． 根据被开方数相同，列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式，即， 解得：， 故答案为：5． 10．已知，则化简后为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 11．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了根式的化简，属于简单题，熟悉根式的性质是解题关键． 根据是正整数，化简即可求出根式的值． 【详解】解：， 若是正整数，即是正整数， 由根式的性质可知，当时，， ∴正整数的最小值是5． 12．若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 13．若为正整数，为正整数，则的值是 ． 【答案】或 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的非负性，求出，结合为正整数，得出可以取的值，在根据为正整数即可求解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵为正整数， ∴可以取，，，，，，，，， 又∵为正整数， 当时，； 当时，； 所以为或． 故答案为：或． 14．在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 15．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【知识点】已知字母的值，化简求值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 19．设，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将a、b的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）把变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ． 20．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为点．由，，得出，，在中，，即可求出和， 即可求解； （2）连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作，垂足为点． ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 答：，两点之间的距离为； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的长， 答：待建环山路的长度为． 21．观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 22．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 23．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的加减运算、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 24．我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 25．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 26．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 27．对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3)（点P，线段） 【知识点】二次根式的乘法、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； 故答案为：1；． （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　） A． B． C． D． 3．估计的值应在（  ） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 4．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 6．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 8．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 9．最简二次根式与可以合并，则 ． 10．已知，则化简后为 ． 11．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 12．若，则代数式的值为 ． 13．若为正整数，为正整数，则的值是 ． 14．在，，，，中最简二次根式有 个． 15．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2) 18．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 19．设，，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）． 21．观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 22．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 23．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 24．我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 25．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 26．阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 27．对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$