第12章 二次根式（单元复习 9个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第12章 二次根式 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1.二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2.二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3.二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（24-25九年级上·海南海口·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 巩固训练 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 3.（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 2.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 题型五　最简二次根式的判断 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（上海松江区2024-2025学年八年级上学期数学期末测试卷）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 题型六　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 巩固训练 1.（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 2.（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 3.（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 4.（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 题型七　同类二次根式的判断 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25九年级上·海南海口·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 题型八　二次根式的混合运算 例题：（山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 6．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 题型九　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 2.（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 3.（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型十　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 例题2：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 巩固训练 1.（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 2.（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 3.（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 4.（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1.二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2.二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3.二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（24-25九年级上·海南海口·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2.（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 巩固训练 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2.（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 3.（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）函数中自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的知识点为二次根式的被开方数是非负数，函数自变量取值范围，掌握以上知识点是解题的关键； 根据被开方数大于等于0列出不等式，解出不等式即可求解 【详解】解：∵被开方数大于等于0， ∴， 解得： 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 5．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 题型五　最简二次根式的判断 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；     D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（上海松江区2024-2025学年八年级上学期数学期末测试卷）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次函数，符合题意； C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 题型六　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 巩固训练 1.（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2.（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 3.（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 4.（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 题型七　同类二次根式的判断 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的定义，熟练掌握以上知识点是解题关键，根据同类二次根式的定义“化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∴与是同类二次根式， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可． 【详解】解：， A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可． 【详解】解：， ，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 4.（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 5．（24-25九年级上·海南海口·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 题型八　二次根式的混合运算 例题：（山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可． （1）利用平方差公式和二次根式的性质计算即可； （2）利用二次根式的性质化简、二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） 巩固训练 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，再直接利用二次根式加减运算法则即可得出答案； （2）先利用立方根及二次根式的性质进行化简，再计算乘法，最后计算减法即可得出答案； （3）先利用乘方、绝对值及立方根的性质进行化简，再进行加减即可得出答案． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、有理数的乘方运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则、立方根，算术平方根，绝对值和有理数的乘方是解题的关键． （1）先根据乘方的意义、立方根、算术平方根和绝对值化简，再计算即可； （2）先根据二次根式的乘法、绝对值和立方根化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式 ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、化简绝对值、求一个数的立方根 【分析】（）根据乘方、立方根、算式平方根的定义及绝对值的性质分别化简，再合并即可； （）根据立方根的定义、二次根式的运算法则、绝对值的性质分别化简，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）先化简二次根式和计算立方根，再进行合并即可； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据乘方，二次根式，立方根的计算方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 例题2：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 巩固训练 1.（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 3.（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 4.（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$