第12章 二次根式（单元复习 5大易错+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第12章 二次根式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　根据二次根式的定义求字母的值 1 易错题型二　根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 3 易错题型三　含隐含条件的参数范围化简二次根式 5 易错题型四　已知最简二次根式求参数 7 易错题型五　已知同类二次根式求参数 8 【压轴题型】 10 压轴题型一　复杂的复合二次根式化简 10 压轴题型二　二次根式中的分母有理化 17 压轴题型三　二次根式中的规律探究问题 21 压轴题型四　二次根式中的应用问题 28 压轴题型五　二次根式中的新定义型问题 31 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　根据二次根式的定义求字母的值 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 巩固训练 1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 易错题型二　根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ∴ ， 故答案为：． 易错题型三　含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 2.（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 易错题型四　已知最简二次根式求参数 例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 巩固训练 1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 3.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 易错题型五　已知同类二次根式求参数 例题：（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得，解方程即可求解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为： ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式与 可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 3.（23-24八年级下·山东烟台·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 2．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 压轴题型二　二次根式中的分母有理化 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据阅读材料提供的方法即可完成； （2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴， 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 3.（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 压轴题型三　二次根式中的规律探究问题 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 3．（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 压轴题型四　二次根式中的应用问题 例题：（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，把，，的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将三边直接代入公式可得. 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可． 【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为： ， 设圆柱形玻璃容器的底面半径为r， 根据题意得， 解得． 答：圆柱形玻璃容器的底面半径为． 2.（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 3.（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用； （1）由数轴上的两点距离得，可得，求出代入计算即可求解； （2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解； 能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：根据题意得 阴影部分的长为 （） 宽为，                               ∴阴影部分的面积为 （）． 压轴题型五　二次根式中的新定义型问题 例题：（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 3.（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　根据二次根式的定义求字母的值 1 易错题型二　根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 3 易错题型三　含隐含条件的参数范围化简二次根式 5 易错题型四　已知最简二次根式求参数 7 易错题型五　已知同类二次根式求参数 8 【压轴题型】 10 压轴题型一　复杂的复合二次根式化简 10 压轴题型二　二次根式中的分母有理化 17 压轴题型三　二次根式中的规律探究问题 21 压轴题型四　二次根式中的应用问题 28 压轴题型五　二次根式中的新定义型问题 31 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　根据二次根式的定义求字母的值 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 巩固训练 1.（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 2.（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 易错题型二　根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 2．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 易错题型三　含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 易错题型四　已知最简二次根式求参数 例题：（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 2.（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 3.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 易错题型五　已知同类二次根式求参数 例题：（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 3.（23-24八年级下·山东烟台·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 2．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 压轴题型二　二次根式中的分母有理化 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 3.（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 压轴题型三　二次根式中的规律探究问题 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 3．（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 压轴题型四　二次根式中的应用问题 例题：（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 2.（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 3.（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 压轴题型五　二次根式中的新定义型问题 例题：（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 3.（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$