第9章 中心对称图形——平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图，在中，，则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 2．下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据概念正确判断图形是解题关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 4．学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质，正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据正方形、正六边形的性质求出，，，再利用四边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：多边形是正六边形， ， 又正方形中，是对角线， ， ∴在四边形中，， 故选：B． 5．如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点关于原点的对称点的坐标是 故答案为： 8．如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    【答案】120 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质， 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：120． 9．如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 【答案】5 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：5． 10．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 11．如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理，掌握成中心对称的两图形对应边相等和用勾股定理解直角三角形是解题的关键．直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：与关于点中心对称，，， ，， ， ， 在中，． 故答案为：． 12．已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图， 同理，，， ， ∴； 综上，的长度为或． 故答案为：或． 15．如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 16．如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段的延长线上时，的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，连接根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：连接如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 18．如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【答案】(1)相等的线段有，，；点为的中点 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形的性质、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 19．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 20．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 21．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (2)作出关于坐标原点O成中心对称的． (3)从到，能否看作是绕某一点通过旋转得到的？若能，用直尺画出旋转中心，并写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，图形见解析，点的坐标 【知识点】画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握中心对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：从到，能看作是绕某一点通过旋转得到的，如图，点即为所求，点的坐标． 22．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 23．如图，在中，，． (1)求点到边的距离； (2)点、分别在边、上，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点与点重合，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查勾股定理及平行四边形的判定，熟知勾股定理及平行四边形的判定定理是正确解决本题的关键． （1）作于，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即可求出答案； （2）由旋转得，，，进而得，结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）解：作于， 设，， ， ，， 中，， ， 中，，， ， 即， ， ， ， (负值舍去)； 点到边的距离为； （2）解：四边形是平行四边形， 理由：将绕点顺时针旋转得到， 其中点的对应点与点重合， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ，， ， ， 四边形是菱形． 24．如图，是正方形内一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置． (1)旋转中心是点______，点P旋转的度数是______度； (2)连接，是______三角形； (3)若，，．求的度数． 【答案】(1)B；90 (2)等腰直角 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的定义结合正方形的性质解答即可； （2）由旋转的性质和等腰直角三角形的定义解答即可； （3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，．结合题意可得出，即说明是直角三角形，且，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知旋转中心是点B． ∵四边形为正方形， ∴． ∵将绕点B顺时针旋转到的位置， ∴点P旋转的度数是90度； （2）解：∵旋转后的对应边是， ∴． ∵旋转角度为， ∴，即的形状是等腰直角三角形； （3）解： 是绕点B顺时针旋转得到的，且，， ，． 是等腰直角三角形， ，且． ，， ， 是直角三角形，且， ， ． 【点睛】本题考查旋转的定义和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 25．在中，对角线与相交点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，． (1)如图，当时，求证：平行四边形是菱形； (2)如图，当时，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形 【分析】（）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得，则，根据等角对等边得，最后由菱形的判定即可求证； （）证明平行四边形是矩形，得，进而证明是等边三角形，，然后证明四边形是矩形，根据勾股定理得，然后代入即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 26．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）①②③④；（2），见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、利用勾股定理证明线段平方关系、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）解：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 27．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，点的坐标为________，直线的解析式为________； (2)如图②，连接，动点从出发，沿线段以1个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）如图①所示：过点作轴于，先依据勾股定理求得的长，从而可得到的长，于是可得到点的坐标，最后，再利用待定系数法求解即可； （2）首先证明≌，从而可得到，，然后再求得点的坐标，从而可得到的长，然后再用含的式子表示的长，最后，依据三角形的面积公式列出函数关系式即可； （3）连接交于，则，先求得的长，然后再证明为等腰直角三角形，从而可得到的长，设，过点作轴于，在中，依据勾股定理可取得的值，从而得到点的坐标，然后再求直线和的解析式，从而可求得点的坐标，于是可求得的长，从而可求得的值． 【详解】（1）如图①所示：过点作轴于． ∵点的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴≌， ∴，， ∵直线 解析式为，令，， ∴， ∴，． （3）如图所示：连接交于，则，． 在中，， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，，． ∵在直线上， ∴设． 过点作轴于， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴，（舍） ∴． 设直线的解析式为， ∵点在上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵它的图象经过，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 过点作轴于， ∴，，，． ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、待定系数法求一次函数的解析式、菱形的性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图，在中，，则（    ） A．10 B． C． D． 2．下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 4．学校九月份举办运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正六边形和正方形中，、的延长线分别交、于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．点关于原点的对称点的坐标是 ． 8．如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    9．如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 11．如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 12．已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 13．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 14．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 15．如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 16．如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段的延长线上时，的长是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 18．如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 19．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 20．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 21．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (2)作出关于坐标原点O成中心对称的． (3)从到，能否看作是绕某一点通过旋转得到的？若能，用直尺画出旋转中心，并写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由． 22．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 23．如图，在中，，． (1)求点到边的距离； (2)点、分别在边、上，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点与点重合，判断四边形的形状，并说明理由． 24．如图，是正方形内一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置． (1)旋转中心是点______，点P旋转的度数是______度； (2)连接，是______三角形； (3)若，，．求的度数． 25．在中，对角线与相交点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，． (1)如图，当时，求证：平行四边形是菱形； (2)如图，当时，若，求的值． 26．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 27．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，点的坐标为________，直线的解析式为________； (2)如图②，连接，动点从出发，沿线段以1个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，当时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$