第9章 中心对称图形——平行四边形（单元复习 8大新定义型题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 01 思维导图 目录 【新定义题型】 1 题型一　平行四边形中的新定义型问题 1 题型二　矩形中的新定义型问题 8 题型三　菱形中的新定义型问题 17 题型四　正方形中新定义型问题 23 题型五　与中位线有关的新定义型问题 31 【新定义题型】02 新定义题型 题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【知识点】多边形内角和问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 巩固训练 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、四边形其他综合问题 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 【答案】(1)矩 (2) (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，可得四边形是矩形； （2）由勾股定理可求，由“”可证，可得，由折叠的性质可得，，即可求解； （3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）双层四边形为矩形， 理由如下：由折叠的性质可得，， ， ， ， 同理可得， 四边形是矩形， 故答案为：矩； （2）四边形为矩形， ，，， ，， 又为平行四边形， ，， 由折叠得，， ， 在与中， ， ， ， 由折叠得，， ， 又， ， 又，， ． （3）有以下三种基本折法： 折法1中，如图所示： 由折叠的性质得：，，，，， 四边形是叠合正方形， ， ， ，； 折法2中，如图所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ， 四边形是叠合正方形， ，正方形的面积， ， ， 设，则， 梯形的面积， ， ， ， ， ， 解得：， ，． 折法3中，如图所示，作于， 则，分别为，的中点， 则，，正方形的边长， ，， ． 综上所述：或11或． 【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)作图见解析，点E的坐标为 (3)点F的坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质，以及转角三角形的定义进行判断作答即可； （2）如图②，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，即可，由题意知，，由勾股定理得，则，进而可得点坐标； （3）由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解：①当在上，由题意知，当与重合时，此时面积最大；②当在上，由（2）可知，当与重合时，此时面积最大；③当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；④当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；然后分别求解各情况下的坐标，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）解：如图②；    由题意知，， 由勾股定理得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解： ①当在上， 由题意知，当与重合时，，，此时最大面积为，； ②当在上， 由（2）可知，当与重合时，此时最大面积为，； ③当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； ④当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； 综上所述，最大为3，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的理解题意并分类讨论． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解； （3）分在和在上，两种情况进行求解，即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴“折痕”一定是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）“折痕”，如图所示：    ∵点F与点C重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当F在边上时，如图②所示，，    即当F与C重合时，此时，面积最大为4． ②当F在边上时，如图③所示，过F作交于点H，交于K，    ∵，， ∴．即当F为中点时，此时，面积最大为4． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分情况讨论，从或者两种情况讨论，算出的值； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，连接交于点，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形．求出，得到，再根据勾股定理计算出的值，最后根据菱形的面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得， 当时， ， 根据三角形的内角和为， ， 综上所述，或； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 正好为一个准直角三角形， ， ， ， ， 连接交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 故， ， ．    【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解“准直角三角形”是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可解答； （2）①根据菱形的性质及勾股定理得到，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义，再根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，　　 ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 即菱形为菱形的伴随菱形； （2）解：①理由如下 过点作于点、于点， 过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∴平分， ∴， ∴点在的平分线上，　　 即， 又∵，　 ∴， ∴；      ②∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键． 题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【答案】(1)假 (2)是，见解析 (3)8 【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可； （2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形； （3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：假命题，如图， ∵，， 又∵， 而四边形不是平行四边形． （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是奇特四边形． （3）如图，过作于， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∵四边形的面积为16 ∴ ∴ ∴，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 题型五　与中位线有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)③④ (2)详见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、正方形性质理解 【分析】本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质． （1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解； （2）根据三角形中位线的性质得到，则可判断四边形是平行四边形，再证明，然后判断四边形是矩形； 【详解】（1）解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意． 故答案为：③④． （2）证明：∵点分别是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 又， ， ， ∴平行四边形是矩形． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）是；（3）； 理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）连接交于， 连接交于，先证明，再证明得到，再证明，得到，即可得到； （2）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； 【详解】解：（1），理由如下； 如图所示，连接交于， 连接交于， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，； （2） 如图， 设四边形的边的中点分别为， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”， 故答案为：是； （3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 【详解】证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形为菱形，理由见解析 (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （3）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （4）证明和都是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，证明，利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， 故答案为：是； （2）证明：∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点， ∴，， ∴； （3）解：四边形为菱形，理由如下： 由（2）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （4）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，含30度角的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，如图，由是的中位线，证明，可得，，，证明，可得，从而可得结论； （2）证明：如图，连接，证明，，，由勾股定理可得，，，，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，且，，，且，可得，，证明，是的中线，从而可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵，， ∴ 由题意可得，，，是的中位线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，连接，    ∵，分别是边，上的中线， ∴，，， ∴，，， 在中，， 在中，， 同理可得：，， ∴ ； （3）证明：如图，连接，    ∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线，则，且 ∵四边形是菱形， ∴，，且， ∴，， 如图，延长至，使， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，而，， ∴， ∴，， ∴， ∴，是的中线， ∴是中垂三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，理解新定义，作出三角形的直线线是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形 01 思维导图 目录 【新定义题型】 1 题型一　平行四边形中的新定义型问题 1 题型二　矩形中的新定义型问题 8 题型三　菱形中的新定义型问题 17 题型四　正方形中新定义型问题 23 题型五　与中位线有关的新定义型问题 31 【新定义题型】02 新定义题型 题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 巩固训练 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 题型五　与中位线有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$