第9章 中心对称图形——平行四边形（单元复习 6大易错+6大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　矩形中的折叠问题 1 易错题型二　菱形中的折叠问题 7 易错题型三　正方形中折叠问题 10 易错题型四　矩形中的最值问题 16 易错题型五　菱形中的最值问题 19 易错题型六　正方形中最值问题 25 【压轴题型】 30 压轴题型一　矩形中动点与函数图象问题 30 压轴题型二　菱形中动点与函数图象问题 33 压轴题型三　正方形中动点与函数图象问题 37 压轴题型四　矩形中的旋转问题 42 压轴题型五　菱形中的旋转问题 50 压轴题型六　正方形中旋转问题 57 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　矩形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】5或2 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， ∴． 故答案为：5或2． 2.（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 3.（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为． (1)求点刚好落在对角线上时，的长； (2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由勾股定理得出，由折叠的性质可知，，即可求出的长； （2）分三种情况讨论：①当点落在对称轴上时，过点作于点；②当点落在对称轴上，且在矩形内部时；③当点落在对称轴上，且在矩形外部时，利用折叠和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由折叠的性质可知，， （2）解：分三种情况讨论： ①当点落在对称轴上时， 直线是矩形的对称轴，， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 设， 由折叠的性质可知，，， ， ， 在中，， 即， 解得：，即； ②当点落在对称轴上，且在矩形内部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即； ③当点落在对称轴上，且在矩形外部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即， 综上可知，线段的长为或或． 易错题型二　菱形中的折叠问题 例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 易错题型三　正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 【答案】 /度 2 【分析】（1）根据折叠性质得到，得到，，证明，即可证明． （2）根据，得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵正方形，沿对折至， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据（1）得，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    易错题型四　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键． 由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值． 【详解】，点为的中点， ， ∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点 连接 ， ， ∴当共线时，的值最小， ， ， ∴， ， 的最小值为 故答案为： 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，过点作，交于点，交于点，根据，得到，点是线段上的一个动点，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 易错题型五　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质 连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，则，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 易错题型六　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、对称性、勾股定理等知识，根据题意，将求的最小值转化为的最小值，然后利用动点最值问题-将军饮马模型得到的最小值为线段，在中，由勾股定理即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型是解决问题的关键． 【详解】解：连接如，如图①所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值； 作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，如图②所示： 根据对称性可知， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴的最小值为． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大； （2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可． 【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合， ∴． 由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：， 则， 故答案为：4，； （2）证明：连接，连接交于点，过M作于E， ①如图，当点在线段上时， ∵正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∴点在线段的延长线上． ②如图，当点在线段上时，    同理， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴B、C、M三点共线， ∵点在线段上． 综上所述，点在射线上上． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和勾股定理；通过观察图可知，，，，由勾股定理可以求出的值，从而求出，，当点运动到的中点时，为的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此． 【详解】解：由图像可知，，，， 是， 解得 ， 运动到的中点时， 故选：C 2．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等．过点C作于D，先证是直角三角形，利用面积法求出，再证四边形是矩形，推出，可知当点P与点D重合时，最小，即最小，由此可解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，、、， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小， ∵， ∴最小值为，此时， ∴点E的坐标为， 故选C． 压轴题型二　菱形中动点与函数图象问题 例题：（2024·北京朝阳·二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（    ）      A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线上，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，    由图象可得， 当x从0到4时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴点P在对角线上 ∴由图象可得，， ∴ ∵在菱形中，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得，负值舍去 ∴ ∴菱形的边长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线上． 巩固训练 1.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为； 故选A． 2.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点作，根据函数图象求出菱形的边长为a，再根据图像的三角形的面积可得，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可． 【详解】解：如图所示，过点作于E， ∵在菱形中，，， ∴当点在边上运动时，的值不变， ，即菱形的边长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐增大， ， ． 在中，， ，解得． 故选：B． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 压轴题型三　正方形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键． 由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案． 【详解】解：由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·河南焦作·二模）如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与正方形的边之间的关系． 根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大， 当点在边上时，的值逐渐减小， ∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴是等腰直角三角形， 由题意知，当运动到时，最长，， 由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 故选：A． 3．（2024·河南周口·三模）如图1，点P从正方形的顶点A出发，沿直线运动到该正方形内部一点，再从该点沿另一条直线运动到顶点D，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，则正方形的边长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，函数动点图象，勾股定理，由图象知，当时，点P在的垂直平分线上，当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线，因此点P先运动到正方形的中心，然后到点D，据此列式作答即可． 【详解】解：∵设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象， ∴当时，点P在的垂直平分线上， 当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线， 如图：连接，且它们的交点为O， ∴， ∵四边形为正方形， 则， ， 故选：C． 4．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．    ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 压轴题型四　矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）利用证明，得出，，由得出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 2．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转性质得，结合矩形性质得，再进行角的等量代换，即可作答． （2）由矩形性质得出，．结合旋转性质得，，证明，即可作答． （3）依题意，设，，，运用勾股定理得，以及，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转性质，矩形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·二模）在矩形中，，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形，旋转角为． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为________； (2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度； (3)如图③，设点为边的中点，连接、、，在矩形旋转的过程中，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可； （2）①利用直角三角形全等的判定证明即可； ②利用勾股定理计算即可； （3）连接，作于M，当与共线，且时，面积最大，勾股定理计算即可. 【详解】（1）如图①中    ∵ 四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：. （2）①证明：如图②中，    ∵当点E落在线段上， ∴， 在和中， ∴. ∴， 设 在中，， ∴ 解得 ∴ （3）解：如图3中，连接，作于，    当与共线，且时，面积最大 由题意：. ∵， ∴. ∵. ∴ ， 则， 的面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，面积的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 压轴题型五　菱形中的旋转问题 例题：如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得到，从而得到，进而得到，即可求证； （2）①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解； ②分两种情况讨论：和，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P， 由（1）得当菱形没有旋转时，AC平分∠BAD，AF平分∠EAG， ∴此时点A、F、C三点共线， ∴当菱形绕点按逆时针方向旋转时， ， ∴当时，， 在菱形ABCD中，AB=AD， ，BD⊥AC， ， ∴ ∴， ∴， 在菱形AEFG中，∠EAF= ，AE=AG， ， ∵． ∴△ABD和△AEG是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴AF=3， ∴AF=OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∴ ； ②由①得四边形AODF是平行四边形， ∵， ∴四边形AODF是矩形， ∴， 即为直角三角形， ∴此时旋转角的度数为； 如图，当点F在AD上时， 由①得AF=3， ∵AD=AB=6 ∴， ∴AF=DF， ∵△ABD为等边三角形， ∴BF⊥AD，即， ∴此时△DFB为直角三角形， ∵∠EAF= ， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，当为直角三角形时，旋转角的度数为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 压轴题型六　正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和判定即可； （2）根据正方形的性质求解即可； （3）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可； （4）根据正方形的性质和判定即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，平分， ，， ， ,四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）由（1）得：四边形是正方形， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ， 故答案为：； （3）不变，理由： 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 过作于点，过作交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 易得：， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ； （4）四边形是正方形，理由： 由（3）得， ， 点，，分别是，，的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　矩形中的折叠问题 1 易错题型二　菱形中的折叠问题 7 易错题型三　正方形中折叠问题 10 易错题型四　矩形中的最值问题 16 易错题型五　菱形中的最值问题 19 易错题型六　正方形中最值问题 25 【压轴题型】 30 压轴题型一　矩形中动点与函数图象问题 30 压轴题型二　菱形中动点与函数图象问题 33 压轴题型三　正方形中动点与函数图象问题 37 压轴题型四　矩形中的旋转问题 42 压轴题型五　菱形中的旋转问题 50 压轴题型六　正方形中旋转问题 57 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　矩形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 2.（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 3.（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为． (1)求点刚好落在对角线上时，的长； (2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长． 易错题型二　菱形中的折叠问题 例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 巩固训练 1．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 2.（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 易错题型三　正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 易错题型四　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 易错题型五　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 易错题型六　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 压轴题型二　菱形中动点与函数图象问题 例题：（2024·北京朝阳·二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（    ）      A． B．4 C． D．2 巩固训练 1.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 2.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 压轴题型三　正方形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 巩固训练 1．（2024·河南焦作·二模）如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 3．（2024·河南周口·三模）如图1，点P从正方形的顶点A出发，沿直线运动到该正方形内部一点，再从该点沿另一条直线运动到顶点D，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，则正方形的边长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 4．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 压轴题型四　矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 2．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 3．（2024·陕西西安·二模）在矩形中，，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形，旋转角为． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为________； (2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度； (3)如图③，设点为边的中点，连接、、，在矩形旋转的过程中，求面积的最大值． 压轴题型五　菱形中的旋转问题 例题：如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 压轴题型六　正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 1 学科网（北京）股份有限公司 $$