第十九章 一次函数（单元复习 5大易错+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十九章 一次函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　识图并分析图象信息 1 易错题型二　利用一次函数的定义求参数 6 易错题型三　根据一次函数的图象和性质求参数 8 易错题型四　含参数的一次函数的图象和性质 9 易错题型五　一次函数图象的共存问题 13 【压轴题型】 17 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 17 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 20 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 24 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 27 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 32 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　识图并分析图象信息 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 3.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 易错题型二　利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 易错题型三　根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 易错题型四　含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 巩固训练 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 易错题型五　一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 例题：（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 巩固训练 1．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求直线的函数表达式； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级上·河南·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)①求的面积S关于的函数解析式； ②把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　识图并分析图象信息 1 易错题型二　利用一次函数的定义求参数 6 易错题型三　根据一次函数的图象和性质求参数 8 易错题型四　含参数的一次函数的图象和性质 9 易错题型五　一次函数图象的共存问题 13 【压轴题型】 17 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 17 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 20 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 24 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 27 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 32 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　识图并分析图象信息 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 巩固训练 1．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等．过点C作于D，先证是直角三角形，利用面积法求出，再证四边形是矩形，推出，可知当点P与点D重合时，最小，即最小，由此可解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，、、， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小， ∵， ∴最小值为，此时， ∴点E的坐标为， 故选C． 2.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为； 故选A． 3.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点作，根据函数图象求出菱形的边长为a，再根据图像的三角形的面积可得，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可． 【详解】解：如图所示，过点作于E， ∵在菱形中，，， ∴当点在边上运动时，的值不变， ，即菱形的边长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐增大， ， ． 在中，， ，解得． 故选：B． 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴是等腰直角三角形， 由题意知，当运动到时，最长，， 由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 故选：A． 易错题型二　利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 易错题型三　根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 易错题型四　含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 易错题型五　一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元 (2)，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 例题：（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2)有四种购买方案 (3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）设种植工钱为，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)260 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 2．（23-24七年级下·全国·期末）某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支 (2)文具店共有3种进货方案 (3)当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，依题意得：，据此即可求解； （2）设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支，依题意得：，据此即可求解； （3）根据获利即可求解； 【详解】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔支， 依题意得：， 解得：. ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 【答案】(1)； (2)小时 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米． 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从函数图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：； 故答案为：； （2）当时，设， 把代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （3）当时，； 当时，，解得：； 答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是2或6 【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，在网格中表示出，代值求解即可得到答案； （3）设点的纵坐标为，由题中，先求出、，得到面积，从而得到，解出，由点在直线上，点的横坐标为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，，即； （2）解：点在直线上，点的横坐标为， 当时，， 由（1）知， ∴； （3）解：设点的纵坐标为， 直线与轴、轴交于点， 、， ∵， ∴， ∴，， 点在直线上，点的横坐标为， 当时，，； 当时，，； 综上满足条件的的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、已知自变量求函数值、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 【答案】(1)，的解析式为： (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，求一次函数解析式，坐标与图形． （1）将代入，即可求出n的值，在利用待定系数法即可求出的解析式； （2）根据题意得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， ， 将，代入，则， 解得：， 的解析式为：； （2）解：∵点为直线上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∵轴，在直线上， ∴， ∵， ∴ 解得：或． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：； （2）解：由题意可知：，， 在中，， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴， ∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得，或， ①当时，， ②当时，， ∴或； （3）解：设， ∵点，， ∴，， ， ①当时， 则， 解得（舍去）或， ∴点Q的坐标为； ②当时， 则，即或18， ∴点Q的坐标为或； ③当时， 则， 解得：， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 巩固训练 1．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【知识点】求一次函数解析式、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或． (4) 【知识点】一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、坐标与图形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于一次函数的综合题，主要待定系数法求函数解析式、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可； （4）如图：作，作垂足为K，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及已知条件可得；设，则、、，然后运用勾股定理列方程求得x，进而求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴令，则；令，则, ． （2）解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴． （3）解：由（2）知，可得， ①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴， ∴； ②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴或1， ∴或； ③如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时， 设，则， 根据勾股定理得，解得∶， ∴． 综合上述，点P的坐标为或或或． （4）解：如图：作，作垂足为K， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 4．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求直线的函数表达式； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)的面积为15或60 (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用； （1）设直线的函数表达式为待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得，，由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解，①当点在上运动，由折叠的性质，，则，由勾股定理求出，根据求解；②当点在轴的正半轴上运动时，根据折叠性质和勾股定理得，根据，即可求解； （3）轴，则轴，由题意得点P，点C坐标及长度；分当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别求解即可； 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 将，，代入得，，解得 直线的函数表达式为． （2）由勾股定理得，， 由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解： ①当点在上运动，如图①， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； ②当点在轴的正半轴上运动，如图②， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； 综上所述，的面积为15或60； （3）存在，点的坐标为或或或． 轴，则轴， 由题意知，，则， 当时，，则， ， 设，当时，是等腰三角形，如图③， ，解得，或， 或； 当时，是等腰三角形，则，解得，或， ； 当时，是等腰三角形，则，解得， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 5．（23-24八年级上·河南·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)①求的面积S关于的函数解析式； ②把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，或或． 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设直线解析式为，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）①当P在段时，底与高为固定值，求出此时面积；当P在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式； ②设，则，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，解方程即可； （3）存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可． 【详解】（1）解：∵，四边形为长方形， ∴， 设直线解析式为， 把，分别代入，得： ， 解得：， 则此时直线解析式为； （2）解：①当点P在线段上时，，高为6，， 即时，； 当点P在线段上时，，高为， ∴； ②设，则，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则此时点P的坐标是； （3）解：存在，理由为： 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得： ， ∴，即； ②当时，过点作于点F， ∴， ∴， 此时； ③当时， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴，即， 综上，满足题意的P坐标为或或．    【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的定义，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$