第十八章 平行四边形（单元复习 6大易错+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十八章 平行四边形 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　矩形中的折叠问题 1 易错题型二　菱形中的折叠问题 11 易错题型三　正方形中折叠问题 18 易错题型四　矩形中的最值问题 25 易错题型五　菱形中的最值问题 28 易错题型六　正方形中最值问题 33 【压轴题型】 39 压轴题型一　平行四边形中的新定义型问题 39 压轴题型二　矩形中的新定义型问题 46 压轴题型三　菱形中的新定义型问题 55 压轴题型四　正方形中新定义型问题 61 压轴题型五　中点四边形问题 69 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　矩形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、利用矩形的性质求角度 【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形中的翻折问题，并根据题意分类讨论是解题的关键．分两种情况：①当的延长线过的中点时；②当过的中点时，利用翻折性质，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：①当的延长线过的中点时，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； ②当过的中点时，如图，    同①，可得，， 在中，， ∴； 故答案为：或． 3.（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】5或2 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， ∴． 故答案为：5或2． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿折叠，点落在点处，设与相交于点， (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等角对等边． （1）由矩形的性质得出，，，推出，由折叠的性质可得：，，，，推出； （2）设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下， 四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质可得：，，，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， 由勾股定理得，即， 解得：， ． 5．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 易错题型二　菱形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，P为中点，，折叠菱形，使点C落在所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的大小为 ．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质与判定，以及内角和定理的综合运用．连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接，   四边形为菱形，， ∴，， 为等边三角形， 为的中点， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为 ． 【答案】/72度 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质． 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、二次根式的除法、折叠问题 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 3.（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为.若菱形的边长为2，，求的长. 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【详解】解：如图，连接. 四边形是菱形，，平分. ，， ，. 根据勾股定理，得. 沿折叠后点与点重合，，平分. ，，为的中位线， . 5．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）八年一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片，要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论． 同学们在边上取点E，连结，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 小明发现：当点F落在边上时，． 小红发现：当点E是的中点时，连结．若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决： 同学们根据小明和小红的发现讨论后提出问题，请你回答问题． 问题：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点F在边上时，求证：； (2)如图3，当点E是的中点时，连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据菱形的性质和等边对等角得到，根据折叠的性质得到，，利用三角形内角和定理即可证明结论； （2）过点A作于H，于K．利用中点和折叠的性质得．由等腰三角形的性质得到 ，勾股定理得到．证明，则，勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴ ∴， 而，， ∴． （2）解：过点A作于H，于K． ∵E是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴． ∵，， 而， ∴，， 即． 而， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， 而， ， ∴． 易错题型三　正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 【答案】 /度 2 【分析】（1）根据折叠性质得到，得到，，证明，即可证明． （2）根据，得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵正方形，沿对折至， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据（1）得，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    易错题型四　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键． 由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值． 【详解】，点为的中点， ， ∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点 连接 ， ， ∴当共线时，的值最小， ， ， ∴， ， 的最小值为 故答案为： 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，过点作，交于点，交于点，根据，得到，点是线段上的一个动点，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 易错题型五　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质 连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，则，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 易错题型六　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、对称性、勾股定理等知识，根据题意，将求的最小值转化为的最小值，然后利用动点最值问题-将军饮马模型得到的最小值为线段，在中，由勾股定理即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型是解决问题的关键． 【详解】解：连接如，如图①所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值； 作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，如图②所示： 根据对称性可知， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴的最小值为． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大； （2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可． 【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合， ∴． 由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：， 则， 故答案为：4，； （2）证明：连接，连接交于点，过M作于E， ①如图，当点在线段上时， ∵正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∴点在线段的延长线上． ②如图，当点在线段上时，    同理， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴B、C、M三点共线， ∵点在线段上． 综上所述，点在射线上上． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【知识点】多边形内角和问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 巩固训练 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、四边形其他综合问题 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 压轴题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 【答案】(1)矩 (2) (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，可得四边形是矩形； （2）由勾股定理可求，由“”可证，可得，由折叠的性质可得，，即可求解； （3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）双层四边形为矩形， 理由如下：由折叠的性质可得，， ， ， ， 同理可得， 四边形是矩形， 故答案为：矩； （2）四边形为矩形， ，，， ，， 又为平行四边形， ，， 由折叠得，， ， 在与中， ， ， ， 由折叠得，， ， 又， ， 又，， ． （3）有以下三种基本折法： 折法1中，如图所示： 由折叠的性质得：，，，，， 四边形是叠合正方形， ， ， ，； 折法2中，如图所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ， 四边形是叠合正方形， ，正方形的面积， ， ， 设，则， 梯形的面积， ， ， ， ， ， 解得：， ，． 折法3中，如图所示，作于， 则，分别为，的中点， 则，，正方形的边长， ，， ． 综上所述：或11或． 【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)作图见解析，点E的坐标为 (3)点F的坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质，以及转角三角形的定义进行判断作答即可； （2）如图②，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，即可，由题意知，，由勾股定理得，则，进而可得点坐标； （3）由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解：①当在上，由题意知，当与重合时，此时面积最大；②当在上，由（2）可知，当与重合时，此时面积最大；③当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；④当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；然后分别求解各情况下的坐标，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）解：如图②；    由题意知，， 由勾股定理得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解： ①当在上， 由题意知，当与重合时，，，此时最大面积为，； ②当在上， 由（2）可知，当与重合时，此时最大面积为，； ③当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； ④当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； 综上所述，最大为3，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的理解题意并分类讨论． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解； （3）分在和在上，两种情况进行求解，即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴“折痕”一定是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）“折痕”，如图所示：    ∵点F与点C重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当F在边上时，如图②所示，，    即当F与C重合时，此时，面积最大为4． ②当F在边上时，如图③所示，过F作交于点H，交于K，    ∵，， ∴．即当F为中点时，此时，面积最大为4． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 压轴题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分情况讨论，从或者两种情况讨论，算出的值； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，连接交于点，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形．求出，得到，再根据勾股定理计算出的值，最后根据菱形的面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得， 当时， ， 根据三角形的内角和为， ， 综上所述，或； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 正好为一个准直角三角形， ， ， ， ， 连接交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 故， ， ．    【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解“准直角三角形”是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可解答； （2）①根据菱形的性质及勾股定理得到，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义，再根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，　　 ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 即菱形为菱形的伴随菱形； （2）解：①理由如下 过点作于点、于点， 过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∴平分， ∴， ∴点在的平分线上，　　 即， 又∵，　 ∴， ∴；      ②∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键． 压轴题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【答案】(1)假 (2)是，见解析 (3)8 【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可； （2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形； （3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：假命题，如图， ∵，， 又∵， 而四边形不是平行四边形． （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是奇特四边形． （3）如图，过作于， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∵四边形的面积为16 ∴ ∴ ∴，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 压轴题型五　中点四边形问题 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)③④ (2)详见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、正方形性质理解 【分析】本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三角形中位线性质、菱形、正方形的性质． （1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解； （2）根据三角形中位线的性质得到，则可判断四边形是平行四边形，再证明，然后判断四边形是矩形； 【详解】（1）解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意． 故答案为：③④． （2）证明：∵点分别是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， 又， ， ， ∴平行四边形是矩形． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）是；（3）； 理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）连接交于， 连接交于，先证明，再证明得到，再证明，得到，即可得到； （2）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； 【详解】解：（1），理由如下； 如图所示，连接交于， 连接交于， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，； （2） 如图， 设四边形的边的中点分别为， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”， 故答案为：是； （3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 【详解】证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形为菱形，理由见解析 (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （3）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （4）证明和都是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，证明，利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， 故答案为：是； （2）证明：∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点， ∴，， ∴； （3）解：四边形为菱形，理由如下： 由（2）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （4）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，含30度角的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　矩形中的折叠问题 1 易错题型二　菱形中的折叠问题 11 易错题型三　正方形中折叠问题 18 易错题型四　矩形中的最值问题 25 易错题型五　菱形中的最值问题 28 易错题型六　正方形中最值问题 33 【压轴题型】 39 压轴题型一　平行四边形中的新定义型问题 39 压轴题型二　矩形中的新定义型问题 46 压轴题型三　菱形中的新定义型问题 55 压轴题型四　正方形中新定义型问题 61 压轴题型五　中点四边形问题 69 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　矩形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    3.（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿折叠，点落在点处，设与相交于点， (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 5．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 易错题型二　菱形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，P为中点，，折叠菱形，使点C落在所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的大小为 ．    巩固训练 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 3.（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为.若菱形的边长为2，，求的长. 5．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）八年一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片，要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论． 同学们在边上取点E，连结，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 小明发现：当点F落在边上时，． 小红发现：当点E是的中点时，连结．若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决： 同学们根据小明和小红的发现讨论后提出问题，请你回答问题． 问题：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点F在边上时，求证：； (2)如图3，当点E是的中点时，连结，若，，求的长． 易错题型三　正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 易错题型四　矩形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 2．（2024·西藏日喀则·二模）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 易错题型五　菱形中的最值问题 例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 易错题型六　正方形中最值问题 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 巩固训练 1．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 巩固训练 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 压轴题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 巩固训练 1．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 压轴题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 压轴题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 压轴题型五　中点四边形问题 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图，在四边形中，，四边形就是“对角线垂直四边形”． (1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______； ①平行四边形  ②矩形  ③菱形   ④正方形 (2)如图，在“对角线垂直四边形”中，点分别是边的中点，求证：四边形是矩形． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 问题解决： 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，． （1）连接，，问，的数量关系和位置关系是什么?请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$