第20章 数据的初步分析（单元复习 5个知识点+14类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第20章 数据的初步分析 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 组距、频数与频数分布表的概念 1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）． 2．频数：落在各小组内数据的个数． 3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表． 特别说明（1）求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；④列频数分布表； （2）频数之和等于样本容量． （3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1． 知识点二 频数分布直方图 1．频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成． (1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)； (2)纵轴：直方图的纵轴表示频数； (3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数． 2．作直方图的步骤： (1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)列频数分布表；(4)画频数分布直方图． 要点诠释：(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种． (2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布． 3.直方图和条形图的联系与区别： （1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的； （2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数. 知识点三 频数分布折线图 频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点(直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距)；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图． 知识点四 平均数、中位数、众数 1、平均数 （1）算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。 （2）加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。 一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。 2、中位数:将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 3、众数:一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 注：一组数据的众数可以为一个或多个。 知识点五 极差、方差 1、极差：一组数据中，最大值与最小值的差称为极差. 2、方差:为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法： 设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用： 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 03 题型归纳 题型一　条形统计图和扇形统计图信息关联 例题：（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查的学生人数是______，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）为进一步提高课后服务质量，落实“双减”政策，某校利用课外活动时间开设了“厨艺”“园艺”“电工”“木工”“编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)本次共调查了_____________名学生． (2)补全条形统计图． (3)扇形统计图中，的值为_____________；“编织”所对应的圆心角的度数为_____________． 2．（24-25七年级上·四川达州·期末）人口老龄化是全世界热点问题．为了让学生感受到人口老龄化所带来的一系列社会问题，从而渗透尊老、敬老教育，达州市渠县某中学组织该校初一年级学生开展了一项综合实践活动．该校初一年级的全体学生分别深入社区的五个小区调查每户家庭老年人的数量（60岁以上的老人）．根据调查结果，该校学生将数据整理后绘制成的统计图如图所示，其中A组为1位老人/户，B组为2位老人/户，C组为3位老人/户，D组为4位老人/户，E组为5位老人/户，F组为6位老人/户． 请根据上述统计图完成下列问题： (1)这次共调查了______户家庭； (2)请把条形统计图补充完整； (3)若渠县约有100万户家庭，请你估计其中每户4位老人的家庭有多少户？ 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据上信息，解决下列问题： (1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； (2)本次共调查了 名学生；图②中项目E对应的圆心角的度数为 ； (3)若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生选择项目B（乒乓球）． 题型二　根据数据描述求频数/频率 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）某同学做摸球试验，红色球记为“红”，黑色球记为“黑”，结果统计如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结果 红 红 黑 红 黑 黑 红 黑 黑 红 红 红 黑 红 则红球的频数是 ，黑球的频率约为 ．（结果保留两位小数） 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 1 4 6 7 2 已知跳远距离为1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： (1)这次抽取了_____名学生的竞赛成绩进行统计，其中____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 题型三　频数分布直方图/折线图 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图：    时间t/h 频数 百分比（） 2 4 6 12 a 28 18 b 10 20 请根据以上所给信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，并补全频数分布直方图； (2)所抽取的学生中，参加社会实践活动的时间在哪个范围的学生人数最多？参加社会实践活动的时间不少于的学生有多少名？ (3)若将调查结果绘制成扇形统计图，求参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·期末）期末体育课上，体育老师对七年级（1）班50名同学和（2）班48名同学进行了一分钟仰卧起坐测试，制作了如下的（1）班频数分布表和（2）班频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 七（1）班仰卧起坐频数分布表 成绩（个） 频数 等级 中 良 优 (1)填空：________； (2)补全频数分布直方图； (3)伊伊同学根据（1）班的“优、良、中”三个等级制作了扇形统计图，请帮她计算出扇形统计图中等级为“中”的这一部分所对应的圆心角的度数； (4)如果一分钟仰卧起坐的个数不低于40个为优秀，求这两个班的优秀率． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）每年的5月20日为“中国学生营养日”，为传播正确的营养知识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“科学饮食，健康成长”知识考试，阅卷后，学校团委随机抽取了部分学生考卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计表和统计图（如图）． 分数段（分） 频数 所占百分比 a 18 b n 35 12 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生共有 名； (2) ， ， ； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)该校对考试成绩为的学生进行奖励，请你估算全校获得奖励的学生人数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学．为了解全校学生线上教学的学习效果，决定随机抽取八年级50名学生进行教学质量测试，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和条形统计图： 成绩/分 人数 第1段 2 第2段 6 第3段 9 第4段 第5段 15 请根据所给信息，解答下列问题： (1)_____； (2)此次抽样的样本容量是_____，补全条形统计图； (3)已知某同学测试的数学成绩为76分，则这次测试中，数学分数高于76分的至少有_____人，至多有_____人； (4)如果该年级800名学生全部参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）新考法  “地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量/度 频数（户数） 百分比 2 12 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)频数分布表中，______；调查总户数为______； (2)补全频数直方图； (3)尝试总结该小区的居民用电情况，并给出两条节约用电的建议． 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行文化遗产知识测试（测试满分为100分，得分均为不小于60的整数），并将成绩分为四个等级： ，，，， 绘制了如图统计图（部分信息未给出）． 所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图   所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图 请结合统计图，解答下列问题： (1)求测试成绩的等级为的学生人数，并补全频数分布直方图； (2)若全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩的等级为和的学生共有多少人？ 题型四　求一组数据的平均数 例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ． 巩固训练 1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节． 电池数量（节） 2 5 6 8 10 人数 1 4 2 2 1 2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为 ． 题型五　已知平均数求未知数据的值 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ． 巩固训练 1．（2024·湖南长沙·二模）已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则 ． 2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 3．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ． 题型六　利用已知的平均数求相关数据的平均数 例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ． 巩固训练 1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 2．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是 3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 题型七　求加权平均数 例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元． 巩固训练 1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分． 2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）“巨龙”腾飞逐天宫，神舟十八号载人飞船成功发射，见证我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹，校团委以此为契机，组织了系列活动，下面是甲班、乙班两个班各项目的成绩（单位：分） 班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲班 83 89 86 乙班 90 81 84 (1)若根据三项成绩的平均分计算最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？ (2)若将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？ 题型八　运用加权平均数做决策 例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 巩固训练 1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 题型九　求中位数、众数 例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 巩固训练 1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ． 2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．    3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 题型十　求方差 例题：（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）一组数据3，4，5，7，的平均数是5，则这组数据的方差是 ． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一组数据， ，，，的平均数是4，方差是6，则，，，，，的平均数和方差分别是 ． 2．（23-24八年级上·广东河源·期末）某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛成绩各选出10名选手参加学校决赛，成绩如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 90 39 八年级 90 (1)直接写出，，的值； (2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级选手的决赛成绩好． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 题型十一　利用方差求未知数据的值 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江西吉安·期末）在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 ． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果一组数据的方差，那么的值为 ． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 题型十二　根据方差判断稳定性 例题：（湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年上学期九年级期末数学检测试卷）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是，，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阳光中学体育队要从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们三人的平均成绩相同，方差分别是，，，如果学校要选择一名成绩最稳定的学生，应该选择 ． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是大同､运城今年5月份某周7天日最高气温统计图．为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是 ．    题型十三　运用方差做决策 例题：（山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）某单位要买一批直径为的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径如图所示，分析折线统计图，你认为该单位应该选择购买 厂生产的这批零件． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 . 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 3．（2024·山西长治·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.2 9.5 1.3 0.2 1.6 0.5 题型十四　求极差、标准差 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）有5名学生的体重（单位：）分别是41、50、53、67、49．这5名学生体重的极差是 ． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ． 题型十五　频数直方图、平均数、中位数、众数与方差的综合问题 例题：（23-24八年级下·全国·期末）某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图； (2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩； (3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆·期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对学生就校园安全知识的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了30名学生参与“校园安全”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：，，7，，） b．七年级成绩在的数据如下：（单位：分）85，80，85，89，85，88，85，85，81，85，85，85； c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题 (1)表中 ， ，请补全七年级成绩的频数分布直方图； (2)综合以上信息，请问七、八年级哪个年级校园安全知识掌握的更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有1500名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）秋天是桔子收获的季节，某班同学前往桔园开展综合实践活动，对甲、乙两个桔园的桔子大小情况进行调查统计， 【收集数据】从两块桔园采摘的桔子中各随机选取200个，测量每个桔子的直径作为样本数据． 【整理数据】将所收集的两个桔园样本数据分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组．桔子直径用x（单位：）表示，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 【分析数据】两个桔园样本数据分析统计如下表． 果园 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.90 5.8 6.5 1.33 乙 5.94 6.0 6.2 1.22 根据以上统计数据，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)结合市场情况，将C，D两组的桔子认定为一级，乙桔园有桔子树100棵，一棵桔子树平均结果500个，平均5个一级桔子重一斤，估计乙桔园的一级桔子产量约有多少斤； (3)从平均数、中位数、众数、方差中任选一个，说明其意义． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下：      c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； (4)某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 数据的初步分析 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 组距、频数与频数分布表的概念 1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）． 2．频数：落在各小组内数据的个数． 3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表． 特别说明（1）求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；④列频数分布表； （2）频数之和等于样本容量． （3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1． 知识点二 频数分布直方图 1．频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成． (1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)； (2)纵轴：直方图的纵轴表示频数； (3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数． 2．作直方图的步骤： (1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)列频数分布表；(4)画频数分布直方图． 要点诠释：(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种． (2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布． 3.直方图和条形图的联系与区别： （1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的； （2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数. 知识点三 频数分布折线图 频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点(直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距)；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图． 知识点四 平均数、中位数、众数 1、平均数 （1）算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。 （2）加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。 一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。 2、中位数:将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 3、众数:一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 注：一组数据的众数可以为一个或多个。 知识点五 极差、方差 1、极差：一组数据中，最大值与最小值的差称为极差. 2、方差:为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法： 设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用： 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 03 题型归纳 题型一　条形统计图和扇形统计图信息关联 例题：（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查的学生人数是______，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______． 【答案】(1)50，图见解析 (2)36 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）组人数除以所占的比例求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以组人数所占的比例进行求解即可． 【详解】（1）解：； 组人数为：，补全条形图如下： 故答案为：50； （2）； 故答案为：36． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）为进一步提高课后服务质量，落实“双减”政策，某校利用课外活动时间开设了“厨艺”“园艺”“电工”“木工”“编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)本次共调查了_____________名学生． (2)补全条形统计图． (3)扇形统计图中，的值为_____________；“编织”所对应的圆心角的度数为_____________． 【答案】(1)60 (2)见详解 (3)25； 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、由扇形统计图求某项的百分比、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用选择“园艺”劳动课程的学生人数除以其占比，即可获得答案； （2）首先求得选择“电工”劳动课程的学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）首先求得选择“厨艺”劳动课程的学生占比，即可确定的值；利用选择“编织”劳动课程的学生占比，即可获得答案． 【详解】（1）解：（人）， 即本次共调查了60名学生． 故答案为：60； （2）根据题意，选择“电工”劳动课程的学生人数为（人）， 故可补画条形统计图，如下图所示： （3）选择“厨艺”劳动课程的学生占比为， 所以； ， 即“编织”所对应的圆心角的度数为． 故答案为：25；． 2．（24-25七年级上·四川达州·期末）人口老龄化是全世界热点问题．为了让学生感受到人口老龄化所带来的一系列社会问题，从而渗透尊老、敬老教育，达州市渠县某中学组织该校初一年级学生开展了一项综合实践活动．该校初一年级的全体学生分别深入社区的五个小区调查每户家庭老年人的数量（60岁以上的老人）．根据调查结果，该校学生将数据整理后绘制成的统计图如图所示，其中A组为1位老人/户，B组为2位老人/户，C组为3位老人/户，D组为4位老人/户，E组为5位老人/户，F组为6位老人/户． 请根据上述统计图完成下列问题： (1)这次共调查了______户家庭； (2)请把条形统计图补充完整； (3)若渠县约有100万户家庭，请你估计其中每户4位老人的家庭有多少户？ 【答案】(1)500 (2)见解析 (3)28万户 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求条形统计图的相关数据、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）根据C组有100户家庭，所占的百分比是，据此即可求得调查的总户数； （2）利用总数减去其它组的户数即可求得D组的户数，从而补全条形图； （3）利用总人数乘以对应的比例即可求解． 【详解】（1）解：调查的总户数是：， 故答案是：500； （2）解：D组的家庭数是， （3）解：估计其中每户4位老人的家庭有（万户）． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据上信息，解决下列问题： (1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； (2)本次共调查了 名学生；图②中项目E对应的圆心角的度数为 ； (3)若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生选择项目B（乒乓球）． 【答案】(1)图见解析 (2)60， (3)300名 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）类人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出类人数，补全条形图即可； （2）由（1）即可得出调查人数，用360度乘以类人数所占的比例，求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：， 故类学生人数为：，补全条形图如下： （2）由（1）可知，调查总人数为60， E对应的圆心角的度数为， 故答案为：60，； （3）（名）； 答：大约有300名学生选择项目B（乒乓球）． 题型二　根据数据描述求频数/频率 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）某同学做摸球试验，红色球记为“红”，黑色球记为“黑”，结果统计如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结果 红 红 黑 红 黑 黑 红 黑 黑 红 红 红 黑 红 则红球的频数是 ，黑球的频率约为 ．（结果保留两位小数） 【答案】 8 0.43 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】本题主要考查频数与频率，从表格中找出红球出现的次数和黑球出现的次数即可求解． 【详解】解：从表格提供的数据可得，摸到红球有8次，摸到黑球的次数为6次， 所以，红球的频数是8； 黑球的频率约为：； 故答案为：8；0.43． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 1 4 6 7 2 已知跳远距离为1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为 ． 【答案】 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】本题考查了频数分布表，掌握优秀率的定义是关键．由优秀率的定义计算即可． 【详解】解：频数总和为：， 则该班女生获得优秀率为：； 故答案为：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率表和频数分布直方图，解答下列问题： (1)这次抽取了_____名学生的竞赛成绩进行统计，其中____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】(1)200，70； (2)见详解 (3)420人 【知识点】频数分布直方图、频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，读懂频数分布直方图和频数统计表是解题的关键． （1）用第一个分数段的频数除以它的频率可得到调查的总人数，然后用总人数乘以得到m的值，用24除以总人数可得到n的值； （2）利用表格可补全频数分布直方图； （3）估计样本估计总体，用1500乘以前面两分数段的频率之和可估计出该校安全意识不强的学生数． 【详解】（1）抽取的总人数为：人， ， ． 故答案为：200，70； （2）解：补全图形如下： （3）． 故答案为：该校安全意识不强的学生约有420人． 题型三　频数分布直方图/折线图 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图：    时间t/h 频数 百分比（） 2 4 6 12 a 28 18 b 10 20 请根据以上所给信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，并补全频数分布直方图； (2)所抽取的学生中，参加社会实践活动的时间在哪个范围的学生人数最多？参加社会实践活动的时间不少于的学生有多少名？ (3)若将调查结果绘制成扇形统计图，求参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数． 【答案】(1)14，36；见解析 (2)时间在范围的学生人数最多；不少于的学生有42名 (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、频数分布表、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，找出相关数据是解题关键． （1）根据时间段的频数和所占百分比，求出抽取学生总人数，进而求出、的值，补全频数分布直方图即可； （2）由频数分布表可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，将社会实践活动的时间不少于的学生人数相加，即可得到答案； （3）用乘以参加社会实践活动的时间在“”范围内的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取学生总人数为（人）， ， ，即， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由频数分布表可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多， （名）， 参加社会实践活动的时间不少于的学生有42名． （3）解：， ∴参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数为． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·期末）期末体育课上，体育老师对七年级（1）班50名同学和（2）班48名同学进行了一分钟仰卧起坐测试，制作了如下的（1）班频数分布表和（2）班频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 七（1）班仰卧起坐频数分布表 成绩（个） 频数 等级 中 良 优 (1)填空：________； (2)补全频数分布直方图； (3)伊伊同学根据（1）班的“优、良、中”三个等级制作了扇形统计图，请帮她计算出扇形统计图中等级为“中”的这一部分所对应的圆心角的度数； (4)如果一分钟仰卧起坐的个数不低于40个为优秀，求这两个班的优秀率． 【答案】(1)11 (2)见解析 (3) (4)七（1）班优秀率为，七（2）班优秀率为 【知识点】频数分布直方图、频数分布表、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，从图中获取必要的信息是解题的关键． （）用七（）班总人数减其他各组的人数即可求解； （）求出成绩在的频数即可补全频数分布直方图； （）用乘以等级为“中”的占比即可求解； （）用优秀人数班级人数即可求解； 【详解】（1）解：由七（）班仰卧起坐频数分布表可得， ， 故答案为：； （2）解：由七（）班仰卧起坐频数分布直方图可得， 成绩在的频数为， ∴补全频数分布直方图如图： （3）解：； （4）解：由频数分布表和频数分布直方图可得， 七（）班优秀人数为人，七（）班优秀人数为人， ∴七（）班优秀率为， 七（）班优秀率为． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）每年的5月20日为“中国学生营养日”，为传播正确的营养知识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“科学饮食，健康成长”知识考试，阅卷后，学校团委随机抽取了部分学生考卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计表和统计图（如图）． 分数段（分） 频数 所占百分比 a 18 b n 35 12 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的学生共有 名； (2) ， ， ； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)该校对考试成绩为的学生进行奖励，请你估算全校获得奖励的学生人数． 【答案】(1)100 (2)10；25； (3)见解析 (4)300人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、频数分布直方图 【分析】（1）用表格中分数段为的频数除以所占百分比可得本次抽样调查的学生人数． （2）用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为所占百分比可得a的值；用本次抽样调查的学生人数分别减去分数段为，，，，的人数，可得b的值；用b的值除以本次抽样调查的学生人数再乘以可得n的值． （3）根据（2）所求数据补全频数分布直方图即可． （4）根据用样本估计总体，用2500乘以表格中所占百分比即可得出答案． 本题考查频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生共有（名）． 故答案为：100． （2）解：，． 故答案为：10；25；25%． （3）补全频数分布直方图如图所示． （4）解：（人）． ∴估计全校获得奖励的学生人数约300人． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学．为了解全校学生线上教学的学习效果，决定随机抽取八年级50名学生进行教学质量测试，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和条形统计图： 成绩/分 人数 第1段 2 第2段 6 第3段 9 第4段 第5段 15 请根据所给信息，解答下列问题： (1)_____； (2)此次抽样的样本容量是_____，补全条形统计图； (3)已知某同学测试的数学成绩为76分，则这次测试中，数学分数高于76分的至少有_____人，至多有_____人； (4)如果该年级800名学生全部参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数． 【答案】(1)18 (2)50，见解析 (3)33，41 (4)528人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、频数分布直方图 【分析】本题考查频数分布直方图，总体、个体、样本及样本容量，掌握频数、总数之间的关系是正确解答的关键． （1）根据人数、总数之间关系求解即可； （2）由题意可知，样本容量为50，再计算出的人数，即可补全条形统计图； （3）根据人数分布直方图中的数据，可以得到数学分数的其他人都比多或者少时，得到至多和至少分别为多少人； （4）用总人数800乘以优秀的人数所占的百分比计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：18； （2）解：由题意可知，此次抽样的样本容量是50，补全条形统计图如下： 故答案为：50； （3）解：高于76分的至多由（人），至少为（人）， ∴本次测试中，数学分数高于76分的至少有33人，至多有41人， 故答案为：33，41； （4）解：（人）， 即估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的有528人． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）新考法  “地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量/度 频数（户数） 百分比 2 12 14 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)频数分布表中，______；调查总户数为______； (2)补全频数直方图； (3)尝试总结该小区的居民用电情况，并给出两条节约用电的建议． 【答案】(1)；40 (2)图见解析 (3)见解析 【知识点】频数分布表、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，读懂频数分布表是解题关键． （1）利用组的频数除以其百分比即可得调查总户数，再利用的频数除以调查总户数可得的值； （2）根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出的值，据此补全频数直方图即可； （3）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出两条节约用电的建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销；②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关． 【详解】（1）解：调查总户数为（户）， 则， 故答案为：；40． （2）解：， ， 则补全频数直方图如下： （3）解：由居民用电情况频数直方图可以得出，在72小时内，居民用电在15度以上的户数较多，所以用电较多的人群占比较大，说明大家用电较为浪费． 建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销，②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关．（答案不唯一） 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）某校为宣传中华民族的悠久历史和灿烂文化，激发学生传承非遗的兴趣，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行文化遗产知识测试（测试满分为100分，得分均为不小于60的整数），并将成绩分为四个等级： ，，，， 绘制了如图统计图（部分信息未给出）． 所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图   所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图 请结合统计图，解答下列问题： (1)求测试成绩的等级为的学生人数，并补全频数分布直方图； (2)若全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩的等级为和的学生共有多少人？ 【答案】(1)80人，见解析 (2)1260人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求总量、频数分布直方图 【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图的综合、用样本估计总体，理解题意，读懂统计图并获取有用信息是解答的关键． （1）先由等级A的频数和其所占的百分数求得抽样总数，再求得等级为B的学生人数，进而可补全频数分布直方图； （2）用全校总人数乘以样本中等级为A和B的学生所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：抽取的学生数为：（人）， 测试成绩的登记为B的学生数：（人）， 补全频数分布直方图如图所示； （2）解：（人）， 答：该校测试成绩的等级为A和B的学生共有1260人． 题型四　求一组数据的平均数 例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平均数，根据平均数公式求解可得． 【详解】解：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节． 电池数量（节） 2 5 6 8 10 人数 1 4 2 2 1 【答案】6 【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可． 【详解】解：， 10名中学生回收废电池的平均数是6． 故答案为：6． 2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数的计算公式，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．根据平均数的计算公式求出答案即可． 【详解】解：本， 故该小组平均每月阅读课外书为本． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平均数的应用，根据题意得到各组最中间值，然后根据一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数，计算得出答案即可，熟练掌握一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：各组最中间值为40，50，60，70， ， ∴这批木棉树树干的平均周长约为， 故答案为：． 题型五　已知平均数求未知数据的值 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：5． 巩固训练 1．（2024·湖南长沙·二模）已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查算术平均数的意义和求法，根据算术平均数的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：． 故答案为：． 2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 【答案】 6 7 【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可． 【详解】解：由题意，得： ， 解得：． ∴． 3．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案． 【详解】解：∵数据0，2，，3，5的平均数是， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键． 题型六　利用已知的平均数求相关数据的平均数 例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平均数； 根据数据a、b、c的平均数为5求出，然后根据算术平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 【答案】3 【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案． 【详解】解：，，，的平均数是3， ，，，的和是12， ， ，，，的平均数是， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键． 2．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是 【答案】13 【分析】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键．先根据a，b，c，d的平均数是6，求出，再用平均数定义求转化为整体代入即可． 【详解】解∵a，b，c，d的平均数是6， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：13． 3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为：． 题型七　求加权平均数 例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元． 【答案】21 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价． 【详解】解：由图可得， 所购买艾条的平均单价是：（元）， 故答案为：21． 巩固训练 1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分． 【答案】87.4 【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：她的最后得分是（分， 故答案为：87.4． 2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分． 【答案】9 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）， 故答案为：9． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）“巨龙”腾飞逐天宫，神舟十八号载人飞船成功发射，见证我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹，校团委以此为契机，组织了系列活动，下面是甲班、乙班两个班各项目的成绩（单位：分） 班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲班 83 89 86 乙班 90 81 84 (1)若根据三项成绩的平均分计算最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？ (2)若将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？ 【答案】(1)甲班获胜 (2)乙班获胜 【分析】本题主要考查了算术平均数和加权平均数的应用，理解并掌握算术平均数和加权平均数的定义是解题关键． （1）根据算术平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案； （2）根据加权平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：甲班三项的平均分为， 乙班三项的平均分为， ∵， ∴根据三项成绩的平均分计算最后成绩，甲班获胜； （2）解：甲班最后成绩为， 乙班最后成绩为， ∵， ∴将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，乙班获胜． 题型八　运用加权平均数做决策 例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取 (2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取 【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算． （1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）小明的平均成绩是：（分， 小张的平均成绩是：（分， ， 从他们的成绩看，小明将被录取； 故答案为：小明； （2）小明的平均成绩（分， 小张的平均成绩（分， 小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取． 巩固训练 1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 【答案】(1)90，90 (2)甲班：89；乙班：91 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数和加权平均数； （1）根据求平均数的公式即可求解； （2）根据求加权平均数的公式即可求解； （3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩． 【详解】（1）解：，，解得：； 故答案为：， （2）解：甲班：， 乙班： （3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则 甲班：， 乙班：， ∴乙班成绩更高； 2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 【答案】(1)甲将获胜； (2)乙将获胜； (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键． （1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （3）按第（2）问的标准即可． 【详解】（1）解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴甲将获胜； （2）解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙将获胜； （3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜， 理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩． 题型九　求中位数、众数 例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案； 【详解】解：由表可得， 出现3次，出现的最多， 故答空1答案为：， ∵，， ∴第5第6个数据是和， ∴中位数是：， 故答空2答案为：． 巩固训练 1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案． 【详解】解：∵这组数据的中位数是5， ∴， 解得：， 这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6． 故答案为6． 2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．    【答案】 3分 3分 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题的关键． 根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答． 【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分． 故答案为：3分，3分． 3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 【答案】10.6，10.6，10.6 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，10.8， ∴众数是10.6； 中位数是； 平均数是． 故答案为：10.6，10.6，10.6． 【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解答本题的关键． 题型十　求方差 例题：（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）一组数据3，4，5，7，的平均数是5，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【知识点】求方差、已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查的是方差、平均数的计算，先根据平均数的计算公式求出x，再利用方差的计算公式计算即可． 【详解】解：∵一组数据3，4，5，7，的平均数是5， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一组数据， ，，，的平均数是4，方差是6，则，，，，，的平均数和方差分别是 ． 【答案】16，54 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了平均数和方差的理解和应用，解题的关键是理解并掌握平均数和方差的定义及计算公式； 根据平均数的定义和性质，以及题目给出的原数据的平均数，推导出新数据的平均数，根据方差的定义和性质，以及题目给出的原数据的方差，推导出新数据的方差． 【详解】解：， ，，，的平均数是4， ，，，，的平均数， ； 原数据的方差为6，即： 新数据，其方差为： ， ， ． 2．（23-24八年级上·广东河源·期末）某中学举办“垃圾分类知识答题竞赛”，七年级和八年级根据初赛成绩各选出10名选手参加学校决赛，成绩如下： 七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 90 90 39 八年级 90 (1)直接写出，，的值； (2)结合两个年级成绩的平均数和中位数进行分析，哪个年级选手的决赛成绩好． 【答案】(1)；； (2)八年级选手的决赛成绩好 【知识点】求众数、求方差、求一组数据的平均数、利用平均数做决策 【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差，利用平均数作决策，掌握计算方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数，方差的计算方法求解即可； （2）中位数相同，比较平均数即可． 【详解】（1）解：八年级的平均数为： ， 因为90出现的次数最多，所以， ． （2）解：由表格可知，七年级与八年级选手的中位数相同，八年级选手成绩的平均数较高，所以八年级选手的决赛成绩较好． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)8，10 (2)； (3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【知识点】求方差、运用方差做决策、求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数平以及和方差，准确方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲成绩从小到大排序为：6，7，7，9，9，10， 甲成绩的中位数是（环， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，10； （2）解：甲的平均成绩是（环， 乙的平均成绩是（环， ； ； （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 题型十一　利用方差求未知数据的值 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 【答案】9 【知识点】求众数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江西吉安·期末）在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 ． 【答案】平均数 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：， ∴上述公式中的“38”是这组数据平均数． 故答案为：平均数． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果一组数据的方差，那么的值为 ． 【答案】15 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出的值． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8， ∴， ∴． 故答案为：15 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为 ． 【答案】17 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、 利用已知的平均数求相关数据的平均数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 题型十二　根据方差判断稳定性 例题：（湖南省长沙市雅礼集团2024-2025学年上学期九年级期末数学检测试卷）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是，，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，掌握方差越小数据越稳定是解题的关键． 根据方差越小数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两人进行射击测试的平均数都是8.5环，， ∴甲的射击成绩较稳定． 故答案为：甲． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阳光中学体育队要从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们三人的平均成绩相同，方差分别是，，，如果学校要选择一名成绩最稳定的学生，应该选择 ． 【答案】丙 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴如果学校要选择一名成绩最稳定的学生，应该选择丙． 故答案为：丙． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，，，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲"、“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙种秧苗长势更整齐， 故答案为：乙． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是大同､运城今年5月份某周7天日最高气温统计图．为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是 ．    【答案】方差 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，越稳定，方差越大，约不稳定，据此可得答案． 【详解】解：为比较两地这7天日最高气温的稳定情况，应选择的统计量是方差， 故答案为；方差． 题型十三　运用方差做决策 例题：（山东省济南市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是 ． 【答案】丙 【知识点】运用方差做决策 【分析】本题重点考查方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5， ∴从甲，丙中选取， ∵甲的方差是，丙的方差是， ∴甲的方差大于丙的方差， ∴发挥最稳定的运动员是丙， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙． 故答案为：丙． 巩固训练 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）某单位要买一批直径为的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径如图所示，分析折线统计图，你认为该单位应该选择购买 厂生产的这批零件． 【答案】B 【知识点】求方差、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．根据方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可． 【详解】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为： ， B厂生产的10个零件直径的平均数为： ， A厂生产的10个零件直径的方差为： ， ， ∵， ∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在附近， ∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件． 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 . 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 【答案】队员 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数和方差的意义求解可得． 【详解】解：在4名队员中，队员2和队员4的平均成绩少， ∴队员2和队员4的平均成绩好， 又队员2成绩的方差小于队员4成绩的方差， ∴队员2的成绩好，发挥稳定， 故答案为：队员2． 3．（2024·山西长治·模拟预测）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.2 9.5 1.3 0.2 1.6 0.5 【答案】乙 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：由表知甲、乙、丁射击成绩的平均数相等，且大于丙的平均数， 从甲、乙、丁中选择一人参加竞赛， 乙的方差较小， 乙发挥稳定， 选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 题型十四　求极差、标准差 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 【答案】 【知识点】求极差 【分析】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为17，最小值为10， 所以这5天中该市最低气温的极差为， 故答案为：7． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）有5名学生的体重（单位：）分别是41、50、53、67、49．这5名学生体重的极差是 ． 【答案】26 【知识点】求极差 【分析】本题考查的是极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义计算即可． 【详解】解：数据41、50、53、67、49中最大数据为67，最小数据为41， 则这5名学生体重的极差为：， 故答案为：26． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ． 【答案】或3 【知识点】 已知极差求未知数据 【分析】此题考查了极差，分两种情况讨论，当是数据中最小的数时和当是数据中最大的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：当是数据中最小的数时，； 当是数据中最大的数时． 则或3； 故答案为：或3． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】12 【知识点】标准差、求一个数的算术平方根、求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 4．（24-25八年级上·全国·期末）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ． 【答案】 8 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、标准差 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差的计算，根据平均数、方差的公式计算样本的平均数和方差，然后求方差的算术平方根得到标准差，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：样本的平均数， 样本的方差， 样本的标准差， 故答案为：，，． 题型十五　频数直方图、平均数、中位数、众数与方差的综合问题 例题：（23-24八年级下·全国·期末）某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩x（分）（合格：；中等：；良好：；优秀：），根据调查成绩绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的学生人数为___________，并补全频数直方图； (2)根据上面的频数直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估计所抽取学生的平均成绩； (3)若该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有多少名？ 【答案】(1)60，见解析 (2)分 (3)1530名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求加权平均数、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握由样本百分比估算总体数量，加权平均数的计算是解题的关键． （1）根据优秀组的人数及百分比即可求解； （2）根据加权平均数的计算方法即可求解； （3）先算出抽样中良好及以上的百分比，再根据样本百分比估算总体数的方法即可求解． 【详解】（1）解：直方图中优秀组的人数为人，扇形统计图中优秀的百分比为， ∴（人）， ∴抽取的学生人数为人， ∴中等组的人数为：（人）， ∴补全直方图如下， （2）解：合格组的平均值为，人数是人， 中等组的平均值为，人数是人， 良好组的平均值为，人数为人， 优秀组的平均值为，人数为人， ∴， ∴所抽取学生的平均成绩为； （3）解：抽样中成绩在良好以上（）的学生约有（人）， ∴（人）， ∴该校有名学生，请估计成绩在良好以上（）的学生约有名． 巩固训练 1．（24-25九年级上·重庆·期中）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对学生就校园安全知识的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了30名学生参与“校园安全”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：，，7，，） b．七年级成绩在的数据如下：（单位：分）85，80，85，89，85，88，85，85，81，85，85，85； c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题 (1)表中 ， ，请补全七年级成绩的频数分布直方图； (2)综合以上信息，请问七、八年级哪个年级校园安全知识掌握的更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有1500名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数． 【答案】(1)83，85，见解析 (2)八年级，见解析 (3)850人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求中位数、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了频率分布直方图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据中位数和众数的定义求m和n的值，求出成绩在的人数即可补全频数分布直方图； （2）根据八年级的方差低于七年级，判断即可； （3）利用样本估计总体求解可得． 【详解】（1）解：七年级30名学生的竞赛成绩的中位数是第15和第16个数据的平均数， ∵， 七年级成绩在的数据按从小到大排列如下(单位：分)：80，81，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89， 中位数在的数据中81，85的平均数， ， 根据题意得：这组中85出现了8次，均超过其余四组的人数， 在七年级30名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多， ∵， 第五组的人数是：(人)， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：83，85； （2）八年级校园安全知识掌握的更好；理由如下： 七、八年级的平均数和中位数相同，但八年级的方差低于七年级，说明八年级的成绩稳定，波动小，所以八年级校园安全知识掌握的更好（答案不唯一）； （3）（人）， 答：估计七年级成绩优秀的学生总人数是850人． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）秋天是桔子收获的季节，某班同学前往桔园开展综合实践活动，对甲、乙两个桔园的桔子大小情况进行调查统计， 【收集数据】从两块桔园采摘的桔子中各随机选取200个，测量每个桔子的直径作为样本数据． 【整理数据】将所收集的两个桔园样本数据分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组．桔子直径用x（单位：）表示，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 【分析数据】两个桔园样本数据分析统计如下表． 果园 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.90 5.8 6.5 1.33 乙 5.94 6.0 6.2 1.22 根据以上统计数据，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)结合市场情况，将C，D两组的桔子认定为一级，乙桔园有桔子树100棵，一棵桔子树平均结果500个，平均5个一级桔子重一斤，估计乙桔园的一级桔子产量约有多少斤； (3)从平均数、中位数、众数、方差中任选一个，说明其意义． 【答案】(1)见解析 (2)估计乙桔园的一级桔子产量约有斤； (3)见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、运用众数做决策、运用方差做决策 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体；平均数、中位数、众数、方差的意义． （1）先求出甲桔园中组别C的桔子个数，进而补全统计图即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：C组的人数有个， 补全频数分布直方图如图， （2）解：乙桔园的一级桔子的个数有个， 估计乙桔园的一级桔子产量约有斤； （3）解：平均数表示两个桔园选取200个桔子的平均直径； 众数表示两个桔园选取200个桔子中平均直径在某个范围的个数最多； 中位数表示两个桔园选取200个桔子中，将直径从小到大排列后，位于中间位置的直径； 方差表示两个桔园选取200个桔子的直径的稳定性（任选其中一个说明即可）． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下：      c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； (4)某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)③⑤ (4)件 【知识点】频数分布直方图、求中位数、 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求众数 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人）， ∴补全统计图如下； （2）解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴的值为； （3）解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． （4）解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$