第19章 四边形与函数综合（单元复习 4大动点+4大函数几何综合）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第19章 四边形与函数综合 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 7 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 10 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 14 【压轴题型】 19 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 19 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 31 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 44 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 51 【易错题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点C处时，，即，当点M到达点D时，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：由图2得，当点M在点C处时，，即， ∴， 当点M到达点D时，，即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴的面积是． 故选：D． 巩固训练 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线交于点O，动点E从点B出发，沿着运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，则长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形与函数综合，涉及平行四边形的性质、勾股定理、30度直角三角形性质等知识，读懂题意，属性结合，从函数图象中得到相应线段长是解决问题的关键．根据平行四边形性质可知，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即，作，垂足为H，利用，，结合30度直角三角形性质可求出，进而在用勾股定理即可得到长． 【详解】解：在中对角线交于点O，则， ∵动点E从点B出发，沿着运动．设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示， ∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即， 当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为，即， 设在中，，则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：（不合题意舍去）， ∵，故， ∴，，， ∴在中，， 故选：D 2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，先根据图2得出，，根据直角三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由运动规律及题图2可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、动点问题的函数图象 【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图： 由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点运动，可得， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 故选：A． 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和勾股定理；通过观察图可知，，，，由勾股定理可以求出的值，从而求出，，当点运动到的中点时，为的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此． 【详解】解：由图像可知，，，， 是， 解得 ， 运动到的中点时， 故选：C 2．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等．过点C作于D，先证是直角三角形，利用面积法求出，再证四边形是矩形，推出，可知当点P与点D重合时，最小，即最小，由此可解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，、、， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小， ∵， ∴最小值为，此时， ∴点E的坐标为， 故选C． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（2024·北京朝阳·二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（    ）      A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线上，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，    由图象可得， 当x从0到4时， ∴ ∵四边形是菱形 ∴点P在对角线上 ∴由图象可得，， ∴ ∵在菱形中，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴在中， ∴ 解得，负值舍去 ∴ ∴菱形的边长是． 故选：C． 【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线上． 巩固训练 1.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为； 故选A． 2.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点作，根据函数图象求出菱形的边长为a，再根据图像的三角形的面积可得，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可． 【详解】解：如图所示，过点作于E， ∵在菱形中，，， ∴当点在边上运动时，的值不变， ，即菱形的边长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐增大， ， ． 在中，， ，解得． 故选：B． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键． 由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案． 【详解】解：由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·河南焦作·二模）如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与正方形的边之间的关系． 根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大， 当点在边上时，的值逐渐减小， ∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴是等腰直角三角形， 由题意知，当运动到时，最长，， 由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 故选：A． 3．（2024·河南周口·三模）如图1，点P从正方形的顶点A出发，沿直线运动到该正方形内部一点，再从该点沿另一条直线运动到顶点D，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，则正方形的边长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，函数动点图象，勾股定理，由图象知，当时，点P在的垂直平分线上，当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线，因此点P先运动到正方形的中心，然后到点D，据此列式作答即可． 【详解】解：∵设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象， ∴当时，点P在的垂直平分线上， 当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线， 如图：连接，且它们的交点为O， ∴， ∵四边形为正方形， 则， ， 故选：C． 4．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．    ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】坐标与图形、两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（）由直角三角形的性质可得，，由勾股定理得到，即可得到的坐标，再利用直角三角形的性质得到，可得，即可得到点的坐标，最后根据平行四边形的性质可得点的坐标； （）由角平分线和平行四边形的性质可得，，即得，得到，进而得，利用待定系数法求出直线和直线的函数解析式，联立方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：如图，为的角平分线，则， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，待定系数法求一次函数，一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② (3)的面积不变， 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． （2）①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q在边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ （3）的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，或， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解； （2）由“”可证，可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，分别为边，上的高， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图，点在轴的上方，过点作轴于， 点坐标为， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 如图，在轴的下方，过点作轴于， 由①可知：，直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设点的坐标为，证明，得到，，即可求出答案； （2）求出直线的解析式，表示出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数上， 设点的坐标为． ，． ， ， ． 四边形为矩形， ，． ． ． ， ． ，． 点的坐标为， ． 即． ． ∴ ∴ 点的坐标为； （2）解：设所在直线的解析式为，由（1）得，， ， 直线的解析式为 点在线段上， 点的坐标为． ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查待定系数法求一次函数参数、一次函数图象上点的特征、长方形的周长公式等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）设，根据“矩形的周长是12”建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线经过， ， ． （2）解：点P在直线上，设， ，， 矩形的周长是12， ， 解得， 点P的坐标为． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据非负性即可求出；根据勾股定理得出长； （2）由三角形面积求法可得，进而求出和，即可解答； （3）由待定系数法求出的解析式，进而求出M点坐标，再利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得， ∵线段的长分别是m，n且满足， ∴； 设，由翻折的性质可得：， ， 可得：， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得： ， 可得：； （2）过E作于点G， 在中， ， 即 解得：， 在中，， ∴， 所以点E的坐标为； （3）设直线的解析式为：，把，E代入解析式可得： ， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以， ， 即存在点N，且点N的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了算术平方根的非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有可能为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求一次函数解析式、等腰三角形的定义 【分析】（）过点作于，利用勾股定理求出即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解； （）分点为顶点、点为顶点、点为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，则， ∵的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作轴于，则四边形是矩形，，， ； 综上，； （3）解：有可能为等腰三角形． ∵，，， ∴， 当点为顶点时，如图，， ∴， ∴或； 当点为顶点时，如图，， ∴    ， ∴， ∴； 当点为顶点时，如图，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题 【分析】（1）先求出，由折叠的性质可知，再利用勾股定理求解即可． （2）过作交直线于，分在线段上和在的延长线上两种情况讨论求解即可． （3）分当以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形是平行四边形的边时，当四边形是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点坐标为， ，， 由折叠的性质得：， ． （2）过作交直线于，则， 由题意得：， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． ①当点在线段上时，如图所示： 的面积的面积的面积； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 的面积的面积的面积； 综上所述，． （3）存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）（2）得：，，，，， ， ∴，，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ①当是以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，连接， 则对角线与互相平分，如图所示： 平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ， 解得：， ∴，； ②当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ∴，； ③当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ，； 综上所述，存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出菱形的边长，即可得出答案； （2）y轴垂直平分线段，可得，当A，P，C共线时等号成立，作轴于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再求出直线的解析式，可得点P的坐标； （3）分、两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 设菱形的边长为a， 即， ， ， 顶点D的坐标为， ， ， ， ，顶点A在x轴上， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知， y轴垂直平分线段， ， ，当A，P，C共线时等号成立，如图，作轴于点H， ，， ， 的最小值为4； 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点P的坐标为； （3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况： 当时，如图： 此时点Q与点A重合，坐标为； 当时，如图： ，， ， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)、 (2)， (3) (4)或4或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）首先求出点、的坐标， （2）再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可求点、的坐标，把点的坐标代入直线解析式求出的值即可； （3）表示出设，，得，根据，可得答案； （4）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）解：在中，令，得； ∴． 令，得， ∴． （2）解：由（1） 得，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （3）解：， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （4）解：点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， （负值舍去）， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或4或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过A作轴于E，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）连接，交于，利用菱形的轴对称性可得，当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，利用待定系数法求出解析式，然后与的解析式联立方程组求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：过A作轴于E， ∵菱形的边长为10，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设对角线的解析式， 则， 解得， ∴； （3）解：连接，交于， ∵菱形， ∴B、D关于对称， ∴， ∴， 当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小， ∵，，，A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴运动时间为秒． 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【知识点】一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式； （2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线l：平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 解得，， 当直线l经过点时， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时． （3）解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下： ①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为； ②当时， ， ， 点P的坐标为； ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求正比例函数的解析式，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质求面积、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 四边形与函数综合 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 7 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 10 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 14 【压轴题型】 19 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 19 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 31 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 44 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 51 【易错题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（  ） A．20 B．10 C．15 D．12 巩固训练 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线交于点O，动点E从点B出发，沿着运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，则长为（　　） A．5 B．6 C． D． 2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，中，，点从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点运动到的中点时，线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（2024·北京朝阳·二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（    ）      A． B．4 C． D．2 巩固训练 1.（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（    ） A．5 B．6 C． D． 2.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C．9 D． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 巩固训练 1．（2024·河南焦作·二模）如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在正方形中，点P以每秒的速度从点A出发，沿的路径运动，到点C停止．过点P作，与边（或边）交于点Q，的长度与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3.5秒时，的长是______． A． B． C． D．2 3．（2024·河南周口·三模）如图1，点P从正方形的顶点A出发，沿直线运动到该正方形内部一点，再从该点沿另一条直线运动到顶点D，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，则正方形的边长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 4．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$