第19章 四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第19章 四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．平行四边形中，，则（     ） A． B． C． D． 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 4．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，若，则菱形的边长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 7．用一些全等的正五边形按如图的方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，图中所示的是前三个正五边形拼接的情况（每两个正五边形所夹的锐角都相等，即），拼接一圈后，若中间形成一个正六边形，则每两个正五边形所夹的锐角为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 9．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，在矩形中，若对角线，则 ． 12．如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下空窗的轮廓是一个正八边形，这个正八边形的一个外角 ． 13．已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 14．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． (1)若的周长为36，．求的周长； (2)若，，求的度数． 16．如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件_______时，四边形是正方形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 18．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． (1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， (1)请直接写出　　°，α6=　　°； (2)请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； (3)爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 六、（本题满分12分） 21．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 七、（本题满分12分） 22．已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． (1)若点在边上，如图． ①证明：； ②猜想线段与的关系并说明理由； (2)取中点，连结，若，正方形边长为6，求的长． 8、 （本题满分 14 分） 23．【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．平行四边形中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行四边形性质得到，，再结合建立等式求出，即可解题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 解得， ； 故选：B． 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n， 因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定，熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键． 根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案． 【详解】解：A、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； B、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是应为矩形，故本选项错误，不符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 4．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 5．如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，若，则菱形的边长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据菱形的性质可得，根据“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”可得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 是边的中点， ， ， 即菱形的边长为6， 故选：D． 6．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由正方形的性质得，而，则，即可根据“”证明，得，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．用一些全等的正五边形按如图的方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，图中所示的是前三个正五边形拼接的情况（每两个正五边形所夹的锐角都相等，即），拼接一圈后，若中间形成一个正六边形，则每两个正五边形所夹的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角和等知识，求出正五边形和正六边形的每个内角，即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正五边形的每个内角为： ， 正六边形的每个内角为： ， ∴每两个正五边形所夹的锐角为： ， 故选：C． 8．如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是正方形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 9．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的判定和性质、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 10．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图， ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的对角线相等即可得解，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线， ∴， 故答案为：． 12．如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下空窗的轮廓是一个正八边形，这个正八边形的一个外角 ． 【答案】/45度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】此题考查了正多边形内角问题，利用正多边形的内角和除以边数得出每个内角的度数，然后结合图形即可求解． 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， ∴， 故答案为：． 13．已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、含30度直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；作轴于，作轴于，作于，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求解即可； 【详解】解：作轴于，作轴于，作于，如图， 与轴的夹角为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． (1)若的周长为36，．求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)15 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质可得，，，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵的周长为36， ∴． 又∵E是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∴的周长为． （2）解：∵，， ∴． 由（1）知，是的中位线， ∴， ∴． 16．如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件_______时，四边形是正方形． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)或 或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定等知识， （1）由得，证明得，则四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）当时，四边形是正方形，由，点与点重合，则，所以当或时，四边形是正方形，于是得到问题的答案；证明是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵为中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵， ∴点与点重合， ∴， 则 即当或 或 时，四边形是正方形． 故答案为：或 或 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 18．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． (1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质是解题的关键； （1）分别令和，然后代入进行求解即可； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论． 【详解】（1）解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴； 故答案为，； （2）解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，， 解得， 点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 若以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则分以下两种情况讨论： ①当为菱形的边时，则，且， 点是第一象限内的点， 点在点A右侧， 点的坐标为； ②当为菱形的对角线时，则，，且点在轴的负半轴上， 设点的坐标为，则，解得， 点的坐标为， ，即， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 20．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， (1)请直接写出　　°，α6=　　°； (2)请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； (3)爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 【答案】(1)108；120 (2) (3)同意，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用， （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）设与的交点为F，利用全等三角形的判定得，进而得即可得出结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 由正六边形，可得∶ ∴，， ∴， ∴； 故答案为∶108，120； （2）根据（1）中的结果发现，等于正n边形一个内角的度数， ， 故答案为∶； （3）解：同意，理由如下： 设与的交点为F， 由正五边形，可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴；                    ∴， ∴我同意小敏的观点． 六、（本题满分12分） 21．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动， 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于直线对称， ∴，，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于直线对称， ∴， 在中，， ∴ ， 在中，，， ∴， 解得， ∴菱形的边长为； 当点与点重合时， 如图，点离点最近， 由知，此时； 当点与点重合时， 如图，点离点最远， 此时四边形为正方形，， ∴点在边上移动的最大距离为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22．已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． (1)若点在边上，如图． ①证明：； ②猜想线段与的关系并说明理由； (2)取中点，连结，若，正方形边长为6，求的长． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①只要证明，即可解决问题； ②只要证明，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题：①当点F在线段上时，连接；②当点F在线段的延长线上时，连接．分别求出即可解决问题． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分以下两种情况： ①如图，当点F在线段上时，连接． 由（1）得， ∵中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形边长为6， ∴， 在中，， ∴； ②如图，当点F在线段的延长线上时，连接． 同法可知是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8、 （本题满分 14 分） 23．【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）；； （2），见解析 （3） 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， ∵四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是矩形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， 设，，则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴由（2）结论可得， ，，， ， ∵，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理证明平方关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$