第17章 一元二次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第17章 一元二次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B． C． D． 2．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 4．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 5．已知是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（   ） A． B．4 C． D．3 7．若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步……”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 12．已知，是方程的两实数根，则 ． 13．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 14．对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解方程： (1)； (2)． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 六、（本题满分12分） 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 七、（本题满分12分） 22．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 8、 （本题满分 14 分） 23．阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用提公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故选：A． 2．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式：（、、为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A：原方程可化为，是关于的一元二次方程，故此选项符合题意； B：，是二元一次方程，故此选项不合题意； C：，不是方程，故此选项不合题意； D：，化简得，是一元一次方程，故此选项不合题意． 故选：A ． 3．一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是(a、b、c是常数且)，叫二次项、叫一次项，是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项分别为，． 故选：B． 4．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程－配方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， 配方得，即． 故选：B． 5．已知是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键，利用根与系数的关系即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ． 故选：B． 6．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根的判别式．根据根的情况确定参数的取值．解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 7．若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的求值方法，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键，由是一元二次方程的解可得关于的方程，结合所求、变形方程即得答案． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， ， ， 故选：A． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 整理，得：， 解得：， 故选：． 9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步……”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 【详解】解：∵阔为步， ∴长为步， ∵矩形面积864步平方步， ∴． 故选：D． 10．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 12．已知，是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：，， ， 故答案为：． 13．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边的关系，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：， 整理得：， ， 解得：，， 当时，，不能构成三角形， 当时，三角形的周长为， 故答案为：． 14．对于实数a，b定义一种新运算“”如下：，例如，则关于x的方程的根为 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义，根据运算“”的定义将方程转化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，运用因式分解法求解即可； （2）按照移项，配方的步骤将原方程转化为，运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：， 配方得，即， ∴， ∴，． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． （1）根据根判别式或解方程即可证明； （2）根据根与系数的关系或解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：法1，∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴不论为何值，方程总有实数根． 法2，原方程可化为， 即， ∴，， ∴不论为何值，方程总有实数根． （2）解：法1：∵由方程的两个根，得，，． ∴， ∴． 法2：∵解方程， 得，． ∴． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 【答案】(1)，； (2)，，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解一元二次方程；如果一元二次方程的两个根分别为，，则有，． 把代入一元二次方程，可以求出，把代入方程可得原方程化为，解方程求出另一个根即可； 根据一元二方程根与系数的关系可知，又因为方程有两个根都是正整数，所以可知且为偶数，取，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有一个根为， ， 解得：， 原方程化为， 分解因式得：， 解得：， 方程的另一根为； （2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，， 则有， 方程的两个根都是正根， ， 解得：， 若， 解得：， 方程为， 整理可得：， 分解因式可得：， 方程的解为，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)100套 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 六、（本题满分12分） 21．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 七、（本题满分12分） 22．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长为，宽为； (3)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 8、 （本题满分 14 分） 23．阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【详解】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$