精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

26届高二上学期期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【详解】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 3. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】记甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 则，，， 所以 . 故选：B 4. 如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】取AC的中点M，连结EM，FM，则，， 又，而，则，所以．故选C． 5. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可知直线过圆心，求得，根据点结合点到直线距离以及等面积法可得结果. 【详解】由圆可得， 所以圆心，半径为； 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 所以，解得，即； 因此， 所以切线长； 由圆的性质可知，所以四边形的面积为， 可得. 故选：D 6. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在等边中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 故选：C. 8. 定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为 C. 点到原点的距离的最大值为5 D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程求得，然后根据椭圆的性质求解判断． 【详解】由椭圆方程知，，则， 点是椭圆上一个动点，点到右焦点的距离的最大值为，A正确； 焦距是，B错误； 点到原点的距离的最大值为5，C正确； 离心率为，D正确． 故选：ACD． 10. 过抛物线C:的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，则（    ） A. 的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由可得； 由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由，可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确；， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 11. 已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则直线平面 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的取值范围为 D. 当，且时，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】由时，得到为的中点，可判定A错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定B正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定C正确；求得点的轨迹在内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定D错误． 【详解】对于A中，由于时，则，此时为的中点， 在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以A错误； 对于B中，在上取点，使，在上取点，使， 因为，即，可得点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示， 连接交于，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，所以，则， 所以，所以， 即此时的最小值为，所以B正确； 对于C中，当时，可得点的轨迹在平面内（包括边界）， 在正方形中，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以，又由， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，当时，可得点的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，可得， 又因为平面，故平面， 因为平面，可得，同理可证， 又因为平面，所以平面， 设与平面交于点，由于， 为边长为的正三角形，则点到平面的距离为， 若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上， 此时点到三边的距离均为， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率求、，根据互斥事件有，即可得结果. 【详解】由题设，事件的基本事件有，事件的基本事件为，而抛掷一次的所有可能事件有， 所有，，则. 故答案为： 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 14. 设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心M(1，3)，半径r＝， 过定点E(2,1)， 过定点E(2,1)， 且⊥， 如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形， 设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 【答案】（1）乙､丙两人各自命中的概率分别； （2） 【解析】 【分析】（1）设乙､丙两人各自命中的概率分别为，由题意得到方程组，求出； （2）求出甲､乙､丙三人均命中的概率和2人命中的概率，相加得到答案. 【小问1详解】 设乙､丙两人各自命中的概率分别为， 故，，解得， 故乙､丙两人各自命中的概率分别； 【小问2详解】 甲､乙､丙三人均命中的概率为， 甲､乙､丙三人中2人命中的概率为 ， 故甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率为. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 17. 如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题： （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值； （3）求的长度. 【答案】（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意得，，，， ，， 因为，， 所以， 所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明线线垂直； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求异面直线夹角余弦值； （3）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求向量模长即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以 . 故异面直线与夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得， 故. 18. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点M在线段上，且平面，求出M点的坐标. 【答案】（1）证明：因为平面，又平面, 所以. 因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面， 从而平面. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值； （3）结合（2）中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是正方形，所以, 又平面，DA，DC都在平面内， 所以 所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系， 如图所示. 因为与平面所成角为，即， 所以. 由，得, 所以，又，. 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即. 令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，. 所以. 所以所求角的余弦值为. 【小问3详解】 点M是线段上一个动点，设.则. 因为平面，所以，即，解得. 此时，点坐标为， 即当时，平面. 19. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 【答案】（1） （2）面积为. （3）证明：设，且 设过点的直线与椭圆相切，联立 化简得 由得 点在直线上，得代入上式 化简得 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得. 由得 所以 又 所以. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出a和b，即可得椭圆的方程； （2）设， 由可得轨迹方程，再求面积即可； （3）过点的直线与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出为定值. 【小问1详解】 由题设知椭圆中，得 由得 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由得 化简得. 表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26届高二上学期期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ） A. 7 B. C. D. 6. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为 C. 点到原点的距离的最大值为5 D. 椭圆的离心率为 10. 过抛物线C:的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，则（    ） A. 的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 11. 已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则直线平面 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的取值范围为 D. 当，且时，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则______． 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 14. 设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 17. 如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题： （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值； （3）求的长度. 18. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点M在线段上，且平面，求出M点的坐标. 19. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $