精品解析：黑龙江省哈尔滨市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

高一年级期末考试试题 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定求解. 【详解】由存在量词命题的否定知， ， 否定为：，. 故选：D 3. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解. 【详解】由题意可得，扇形的面积是， 扇形的面积是． 则扇面（曲边四边形）的面积是. 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式下被开方数非负以及真数大于零列方程组，解之即得. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 则函数的定义域为. 故选：D． 5. 已知函数则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接代值计算即可. 【详解】由题意，. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数单调性得到，，且，从而比较出大小 【详解】，即， 由于为第二象限角，故，故. 故选：D. 7. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解. 【详解】因为函数且在上为减函数， 所以， 函数的定义域为，故排除，； 且函数为偶函数， 当时，， 的图象由的图象向右平移一个单位得到， 且在定义域范围内是减函数， 故正确. 故选：. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性画出的大致图象，进而得到的大致图象，结合图象求得的取值范围. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 在上单调递减，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 的图象向右平移个单位长度，得到的图象，如下图所示， 由图可知满足的的取值范围是. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．） 9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性； 函数的定义域是，又， 所以函数为奇函数； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 又因为时，在上单调递增； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，在上单调递增. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若，则 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 的零点所在的一个区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 利用对数函数过定点求解判断；B.由判断；C.利用三角函数的定义求解判断；D.利用零点存在定理判断. 【详解】A. 令，得，所以函数（且）的图象恒过定点，故正确； B.当时， ，故错误； C.角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴， 若角的终边上有一点，则，故正确； D. 因为在上单调递增， ， 所以的零点所在的一个区间为，故正确； 故选：ACD 11. 已知函数，函数满足，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若实数、满足，则 D. 若函数与图象的交点为，，，…，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；举出反例，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为， 因为 所以，故A错误； 因为， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由， 则，此时，故C错误； 对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称， 若函数与图象的交点个数为偶数， 且与，与都关于点对称， 所以，， 所以， 若函数与图象的交点个数为奇数， 且与，与都关于点对称， 则，， 且，， 所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则，②函数的图象关于直线对称，则. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的意义和底的对数等于1得到结果. 【详解】因为：，，所以原式. 故答案为：2 13. 已知函数为奇函数.则_______. 【答案】1 【解析】 【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 14. 若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得. 【详解】由正数满足，得， 则，当且仅当时取等号， 由使恒成立，得， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可； （2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件． 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点. ，所以，即； 【小问2详解】 因为单调递增，所以， 即不等式的解集是． 16. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可． （2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可. 【详解】（1）若，则，得； （2）由，得，即， 所以，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 即，解得. 即实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键． 17. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由诱导公式结合计算即可得解； （3）结合诱导公式将代入计算可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. 【小问3详解】 当时，. 18. 近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. （1）求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； （2）当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10（千件），最大利润是8万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式； （2）由二次函数的值域即可得到的最值，再结合基本不等式代入计算，即可得到时的最值. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以 【小问2详解】 若，，即， 当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 19. 已知． （1）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）存在， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）换元令，代入后利用一元二次函数的图象和性质分类讨论即可； （2）根据的单调性联立方程组可得，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意，令，因为，所以， 则令，，对称轴为， ①当，即时，函数在为增函数， ，解得， ②当，即时， ，解得，不符合题意，舍去， ③当，即时，函数在为减函数， ，解得，不符合题意，舍去， 综上所述：存在使得的最小值为． 【小问2详解】 由题意，则在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②-①得：， 所以，即③， 将③代入②得， 令，所以， 因为，，所以， 所以，在区间单调递减，所以， 故存在实数，使函数在上的值域为， 实数的取值范围且为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末考试试题 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则（  ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．） 9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若，则 C. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D. 的零点所在的一个区间为 11. 已知函数，函数满足，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若实数、满足，则 D. 若函数与图象的交点为，，，…，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______. 13. 已知函数为奇函数.则_______. 14. 若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________． 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 16. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 18. 近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. （1）求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； （2）当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知． （1）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $