精品解析：重庆市梁平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024年秋九年级数学质量监测卷 考生须知： 1.本卷共4页，三道大题，满分150分．时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、学生姓名、准考证号． 3.答案一律填涂或书写在答题卡上，在本卷上作答无效． 4.监测结束，请将本卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式．根据一元二次方程的一般形式，进行化简即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数图象的顶点坐标是．根据二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是：， 故选：D． 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 5. 如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 根据圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵与所对的弧是同弧， ∴， 故选：C． 6. 若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. －5 B. 5 C. －6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 7. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 8. 经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好两人都直行的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰好两人都直行的结果数为1， 所以恰好两人都直行的概率是． 故选：A． 9. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频率与概率，掌握大量重复实验下的频率即为概率是解题的关键． 【详解】A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率约为，不符合题意； B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为，不符合题意； C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为，不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率约为，符合题意； 故选D． 10. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图象的顶点坐标是；（2）当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ∴正确的有：①②共2个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 12. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是_______．（填写布袋对应的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键． 根据事件，进行分类分析，即可得解． 【详解】解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件； ②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件． 故答案为． 13. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集，正确数形结合分析是解题的关键． 【详解】∵直线与抛物线交于，两点， ∴根据图象可知，关于的不等式解集是， 故答案为：． 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 17. 如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“智慧数”．把“智慧数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴是“智慧数”．则．如果“智慧数”，则______；已知是“智慧数”，（，，，且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值是______． 【答案】 ①. 21 ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，二元一次方程的解．根据的计算方法，求出，，根据恰好能被7整除，列出方程组进行求解即可．理解新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵是智慧数， ∴， ∴， ∴， ∵恰好能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∵，，，且a，b，c，d均为不为0的正整数，， ∴，， ∴， ∴ ∵最大， ∴，， ∴当时，，不符合题意； 当，即：，当时，，此时， ∴为； 当时，，不符合题意； 故满足条件的S的最大值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】（1），另一个根为2 （2）证明：，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，． （1）将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出； （2）将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点的坐标； （3）在旋转到过程中，求走过的路径的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 如图，即为所求 （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图与旋转作图，弧长的计算，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，弧长公式是解题的关键． （1）分别作出A，B，C的对应点，再依次连接即可； （2）分别作出的对应点，再依次连接，再写出点的坐标即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：在旋转到过程中，经过的路径为一个的圆弧周长， 即． 23. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：____________，____________，____________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） （3）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 【答案】（1）84，，40 （2） 九年级更高．理由如下： 因为八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，， 所以九年级的学生对事件的关注与了解程度更高； （3） 【解析】 【分析】本题考查了数据统计分析，树状图或列表法求概率，以及用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； （3）依题意，先画出树状图，再求概率，即可作答． 【小问1详解】 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据， ； 九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数， 组数据从小到大排序后为： ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据， ． 故答案为：84，，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个， ∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 【答案】（1） （2） 函数的图象为， 性质：当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） （3）1或4 【解析】 【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可； （2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性质可以写正比例函数和一次函数的性质即可； （3）从图像直接观察即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当， 如图：当时， ∴， 综上所述：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象可得时或． 【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，在上截取，连接交于T ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，求出，得到，利用勾股定理得到，再证明，得到，则； （2）如图所示，在上截取，连接交于T，证明，得到，，证明，由旋转的性质可得，，进而推出，，则，，由此证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 26. 如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）面积的最小值为，此时 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： 【小问2详解】 由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， ∴ 【小问3详解】 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级数学质量监测卷 考生须知： 1.本卷共4页，三道大题，满分150分．时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、学生姓名、准考证号． 3.答案一律填涂或书写在答题卡上，在本卷上作答无效． 4.监测结束，请将本卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 4. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 5. 如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. －5 B. 5 C. －6 D. 6 7. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 8. 经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 10. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图象的顶点坐标是；（2）当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解是__________． 12. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于不可能事件的布袋是_______．（填写布袋对应的序号） 13. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 14. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 17. 如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为______．（结果保留π） 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“智慧数”．把“智慧数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴是“智慧数”．则．如果“智慧数”，则______；已知是“智慧数”，（，，，且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 20. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，． （1）将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出； （2）将绕原点逆时针旋转90°得到，画出，并直接写出点的坐标； （3）在旋转到过程中，求走过的路径的长度． 23. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：____________，____________，____________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） （3）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿着折线运动（点不与点重合）．设点运动的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值． 25. 在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 26. 如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $