精品解析：江西省重点高中2025届高三上学期1月份联考数学试卷

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，判断各元素与集合关系，即可得答案. 【详解】由题设， 结合各选项，A、B、D错，C对. 故选：C 2. 的内角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A. 3. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点处导数值为0求参数，注意验证，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得， 此时且， 所以时，时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 故. 故选：D 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各项中线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线线、线面的位置关系即可. 【详解】A：若，则、相交、平行、异面都有可能，错； B：若，则、平行、异面都有可能，错； C：若，则或，又，所以，对； D：若，则、平行、相交或都有可能，错. 故选：C 5. 已知变量和的统计数据如下表： 400 500 600 700 800 3 4 6 6 7 若线性相关，且经验回归方程为，则据此可以预测当时，（ ） A. 18.2 B. 19.2 C. 20.2 D. 21.2 【答案】B 【解析】 【分析】求出和，根据经验回归直线必过样本点中心求出，即可求解. 【详解】，， 因为在经验回归直线上， 所以，解得，即， 当时，. 故选：B. 6. 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得，结合函数单调性有，再由的单调性及零点确定不等式解集. 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 7. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可． 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为， 则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时， 有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近. 故选：D． 8. 已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式同构变形为，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于． 若，则，，显然恒成立． 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立． 令，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减， 则，从而，解得．综上所述，的取值范围为． 故选：B 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先对式子进行因式分解，解得，再分别对每个选项逐个计算得答案. 【详解】由得，， 所以或(舍) 选项A，因为，所以，A 正确； 选项B, ，B错误； 选项C, ， 所以C正确；选项D，，所以D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D. 【详解】 ，所以是的一个周期，故A正确； ， 由，可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，可得， 当时，，此时， 根据周期性可得与不能同时取得最大值， 所以的最大值小于，故B错误； ， 所以，所以是非奇非偶函数，故C正确； 由，可得， 所以，令， 由 ， 所以是以为周期的周期函数， 又，，所以有无数个零点， 从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确. 故选：ACD. 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对拉梅曲线的理解后，根据在特定参数下曲线的性质和所围成区域面积的计算，通过分析各个选项，结合拉梅曲线的基本定义和性质，逐一验证每个选项的正确性即可求解． 【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确． 当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形， 此时由可得，下证， 即证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证，这显然成立． 因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧， 所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为， 则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确． 当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时， 根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由， 整理得恰有1个正根，则， 解得，即，C正确． 若为拉梅曲线上第一象限内一点， 则，从而，D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量与单位向量共线，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线得，将两边同时平方，化简求出即可求解. 【详解】因为非零向量与单位向量共线，则，且， 因为，则，即， 整理得，解得（舍）或， 所以. 故答案为：. 13. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 设双曲线的右焦点为，因为为双曲线的左焦点，是双曲线上一点， 根据双曲线的定义知，， 因为是双曲线的右顶点，所以， 又，，所以， 所以， 在中，根据余弦定理得， 即， 整理得， 等式两边同时除以得，，解得（舍）或， 所以的离心率为. 故答案为：. 14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败. 用表示第行第列含有陷阱的方格， 则第1行含有陷阱的方格为， 第2行含有陷阱的方格为， 第3行含有陷阱的方格为， 所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件， 具体如下： ，，，， ，，，， ，，，， 玩家挑战失败的基本事件有，，， ，，，，共个， 所以玩家挑战失败的概率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲，乙，丙三人计划参加某项800米跑步比赛，规定比赛成绩不超过为优秀．为了预测三人中比赛成绩优秀的人数，收集了这三人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 丙 用频率估计概率，且甲，乙，丙三人的比赛成绩相互独立． （1）分别求甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率； （2）记为甲，乙，丙三人中比赛成绩优秀的总人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为，， （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）直接利用古典概型进行求概率即可； （2）根据相互独立求出，，，，列出分布列，利用分布列求出数学期望即可． 【小问1详解】 由题意可知，甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为： ，，， 故甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率分别为，，； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为， ， ， ； ， ， ， ， 故的分布列如下： 0 1 2 3 故数学期望为：． 16. 如图，在三棱台中，平面，， 为 的中点，. （1）证明：. （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接，， 因为 为 的中点，所以且， 又三棱台，，所以且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接，，证明四边形是平行四边形，再由线面垂直证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，，又， 则以为原点，分别以，，为 轴，轴， 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，，， ，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， 设平面的一个法向量为， ，取，则，，所以， 设平面与平面的夹角为 ，， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 【答案】（1）； （2）由题设，则，又， 所以是首项为，公比为2的等比数列， . 【解析】 【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围； （2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，即，恒成立， 而在上单调递减，则， 所以； 【小问2详解】 ， 所以，则， 所以 . 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 【答案】（1）（）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率的两点式及其乘积为定值，即可得轨迹方程； （2）设l的方程为，，，联立曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数m，即可得结果； （3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为，进而求出坐标及，应用正弦定理求外接圆半径，结合可得，最后应用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 设，由，得，整理得. 因为点P异于点A，B，所以C的方程为（）. 【小问2详解】 设l的方程为，，，则. 联立方程组，整理得， 则，即， 所以，， 则，解得，满足题设， 所以l的方程为. 【小问3详解】 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知，同理可得. 因为，所以， 从而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 19. 设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． （1）若函数，证明：不是“函数”． （2）若函数，证明：是“函数”． （3）对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 【答案】（1）证明：假设是“函数”，则， 即在上恒成立． 因为， 所以假设不成立，即不是“函数”． （2）证明：令，， 则． 令，，则在上恒成立，即在上单调递减． 因为，，所以，， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减． 由，可得在上恒成立， 故是“函数”． （3）证明：由为“函数”，可得， 即． 令，， 则． 由，且，可得． 令，， 则在上恒成立，则在上单调递增． 由，可得， 则，即． 【解析】 【分析】（1）不妨假设是“函数”，得出，通过取特殊值时，判断出不等式不成立，得出假设不成立即可判断； （2），求导后，进一步令，利用导数研究单调性，并且结合零点存在定理解决隐零点问题，进一步判断出原函数的单调性求解； （3）根据是“函数”，得出在区间上也满足题目给定的不等式的条件，利用导数研究函数的单调性，从而进一步求出的取值范围，最后再利用作差法比较两者的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题不仅验证了函数和是否满足给定条件，还进一步探讨了区间长度的比较，理解函数的凸凹性及其在不同区间的表现是关键的，解题时，应先明确题干信息中函数的性质，再根据性质和条件进行验证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的内角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知变量和的统计数据如下表： 400 500 600 700 800 3 4 6 6 7 若线性相关，且经验回归方程为，则据此可以预测当时，（ ） A. 18.2 B. 19.2 C. 20.2 D. 21.2 6. 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量与单位向量共线，且，则__________. 13. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲，乙，丙三人计划参加某项800米跑步比赛，规定比赛成绩不超过为优秀．为了预测三人中比赛成绩优秀的人数，收集了这三人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 丙 用频率估计概率，且甲，乙，丙三人的比赛成绩相互独立． （1）分别求甲，乙，丙三人比赛成绩优秀的概率； （2）记为甲，乙，丙三人中比赛成绩优秀的总人数，求的分布列和数学期望． 16. 如图，在三棱台中，平面，， 为 的中点，. （1）证明：. （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 19. 设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． （1）若函数，证明：不是“函数”． （2）若函数，证明：是“函数”． （3）对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $