精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2025届高三上学期期末考试（二模）数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理与概率外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据5，6，8，5，5，9，10，4的60%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将数据5，6，8，5，5，9，10，4按照从小到大的顺序排列为4，5，5，5，6，8，9，10， 因为，所以这组数据的60%分位数是排序后的第五个数，即6. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，判断各元素与集合关系，即可得答案. 【详解】由题设， 结合各选项，A、B、D错，C对. 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，则. 故选：D. 4. 设等差数列的前n项和为，已知为定值，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用等差数列的性质可得为定值，进而可得为定值. 法二：利用等差数列的通项公式可求得为定值，进而可得为定值. 【详解】法一：由，得，所以为定值， 所以，为定值. 法二，设等差数列的公差为， ，又为定值， 所以为定值，所以，为定值. 故选：B. 5. 函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将函数的零点个数问题转化为函数、的图象的交点个数问题. 【详解】由，得， 作出函数、的大致图象，如图所示， 由图可知，这两个函数的图象有5个交点，则的零点个数为5. 故选：A. 6. 若矩形ABCD的面积为4，则当取得最小值时，矩形ABCD外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，即此时的值，进而可求外接圆的半径，进而求得结论. 【详解】由矩形ABCD的面积为4，得， 所以， 当且仅当，即，即，时，等号成立， 所以矩形ABCD外接圆的直径为， 故矩形ABCD外接圆的周长为. 故选：C. 7. 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得，结合函数单调性有，再由的单调性及零点确定不等式解集. 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 8. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可． 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为， 则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时， 有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先对式子进行因式分解，解得，再分别对每个选项逐个计算得答案. 【详解】由得，， 所以或(舍) 选项A，因为，所以，A 正确； 选项B, ，B错误； 选项C, ， 所以C正确；选项D，，所以D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D. 【详解】 ，所以是的一个周期，故A正确； ， 由，可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，可得， 当时，，此时， 根据周期性可得与不能同时取得最大值， 所以的最大值小于，故B错误； ， 所以，所以是非奇非偶函数，故C正确； 由，可得， 所以，令， 由 ， 所以是以为周期的周期函数， 又，，所以有无数个零点， 从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确. 故选：ACD. 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对拉梅曲线的理解后，根据在特定参数下曲线的性质和所围成区域面积的计算，通过分析各个选项，结合拉梅曲线的基本定义和性质，逐一验证每个选项的正确性即可求解． 【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确． 当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形， 此时由可得，下证， 即证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证，这显然成立． 因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧， 所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为， 则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确． 当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时， 根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由， 整理得恰有1个正根，则， 解得，即，C正确． 若为拉梅曲线上第一象限内一点， 则，从而，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量与单位向量共线，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线得，将两边同时平方，化简求出即可求解. 【详解】因为非零向量与单位向量共线，则，且， 因为，则，即， 整理得，解得（舍）或， 所以. 故答案为：. 13. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 设双曲线的右焦点为，因为为双曲线的左焦点，是双曲线上一点， 根据双曲线的定义知，， 因为是双曲线的右顶点，所以， 又，，所以， 所以， 在中，根据余弦定理得， 即， 整理得， 等式两边同时除以得，，解得（舍）或， 所以的离心率为. 故答案为：. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，，角B的平分线与交于点D，求. 【答案】（1）. （2）2 【解析】 【分析】（1）已知等式利用正弦定理角化边，得到关系式，利用余弦定理将得出的关系式整理后代入计算求出的值，即可确定出的度数； （2）利用正弦定理求得，可求得，进而可求得. 【小问1详解】 因为， 所以. ，而， 所以. 【小问2详解】 在中，，所以，解得. 因为，所以，，， 所以. 16. 如图，在三棱台中，平面，， 为 的中点，. （1）证明：. （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接，， 因为 为 的中点，所以且， 又三棱台，，所以且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接，，证明四边形是平行四边形，再由线面垂直证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，，又， 则以为原点，分别以，，为 轴，轴， 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，，， ，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， 设平面的一个法向量为， ，取，则，，所以， 设平面与平面的夹角为 ，， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 【答案】（1）； （2）由题设，则，又， 所以是首项为，公比为2的等比数列， . 【解析】 【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围； （2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，即，恒成立， 而在上单调递减，则， 所以； 【小问2详解】 ， 所以，则， 所以 . 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 【答案】（1）（）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率的两点式及其乘积为定值，即可得轨迹方程； （2）设l的方程为，，，联立曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数m，即可得结果； （3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为，进而求出坐标及，应用正弦定理求外接圆半径，结合可得，最后应用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 设，由，得，整理得. 因为点P异于点A，B，所以C的方程为（）. 【小问2详解】 设l的方程为，，，则. 联立方程组，整理得， 则，即， 所以，， 则，解得，满足题设， 所以l的方程为. 【小问3详解】 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知，同理可得. 因为，所以， 从而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 19. 设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． （1）若函数，证明：不是“函数”． （2）若函数，证明：是“函数”． （3）对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 【答案】（1）证明：假设是“函数”，则， 即在上恒成立． 因为， 所以假设不成立，即不是“函数”． （2）证明：令，， 则． 令，，则在上恒成立，即在上单调递减． 因为，，所以，， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减． 由，可得在上恒成立， 故是“函数”． （3）证明：由为“函数”，可得， 即． 令，， 则． 由，且，可得． 令，， 则在上恒成立，则在上单调递增． 由，可得， 则，即． 【解析】 【分析】（1）不妨假设是“函数”，得出，通过取特殊值时，判断出不等式不成立，得出假设不成立即可判断； （2），求导后，进一步令，利用导数研究单调性，并且结合零点存在定理解决隐零点问题，进一步判断出原函数的单调性求解； （3）根据是“函数”，得出在区间上也满足题目给定的不等式的条件，利用导数研究函数的单调性，从而进一步求出的取值范围，最后再利用作差法比较两者的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题不仅验证了函数和是否满足给定条件，还进一步探讨了区间长度的比较，理解函数的凸凹性及其在不同区间的表现是关键的，解题时，应先明确题干信息中函数的性质，再根据性质和条件进行验证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理与概率外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据5，6，8，5，5，9，10，4的60%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前n项和为，已知为定值，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 5. 函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 若矩形ABCD的面积为4，则当取得最小值时，矩形ABCD外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量与单位向量共线，且，则__________. 13. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，，角B的平分线与交于点D，求. 16. 如图，在三棱台中，平面，， 为 的中点，. （1）证明：. （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 19. 设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． （1）若函数，证明：不是“函数”． （2）若函数，证明：是“函数”． （3）对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $