7.3.1 离散型随机变量的均值-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

四方法总结 (2)依题意X的可能取值为0,1,2,3， 求离散型随机变量的分布列的突破口： ,P(X=1)= A号A2 A号AA号 所以P(X=0)= 首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的 A A 0,P(X=2)= 意义： A号A号A号1 其火，利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如利 A=,P(=3)= 号A号1 A号10' 用吉典概型的概率公式求出随机变量取各个使时的概率： 所以X的分布列为 最后，列表格写出分布列，并注意用分布列的性质检险所求的分布 X 0 2 列成某事件的概率是否正确。 2 31 压轴挑战 510510 (n-1) 2 n-山，所 所以E(X)=0x 2 02x 1 *3x 1 解：()设袋中原有n个白球，由题意知号- 7C号7x6 7×6 2 黑题 应用提优 以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3个白球 1.A解析：由概率之和为1，得0.36+1-2g+g2=1,解得q=0.2或g= (2)由题意，的可能取值为1,2,3,4,5. 1.8(舍)，∴P(X=1)=1-2q=0.6,P(X=2)=g2=0.04,,E(X)=0× P(5=1)= 7P=2)77P(=3) 4x32 4×3x36 0.36+1×0.6+2×0.04=0.68.放选A 7x6x535:P(5=4)= 2.BCD解析：由分布列的性质，可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4 4×3×2×3 7x6x5x435P(5=5)= 4×3×2×1×31 万所以取球次数（的分布 因为E(X)=7.5.可得4×0.3+a×0.1+9×0.4+10x0.2=7.5,解得a=7 7×6×5×4×3 则E(a)=aE(X)=7×7.5=525,且E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4= 列为 7.9.故选BCD. 3 5 四方法总结 3 31 E(ax+b)与E(X)关系如下： 77353535 1.当a=0时，E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身， 2当a=1时，E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等 7.3离散型随机变量的数字特征 于X的均值与这个常数的和. 3.当b=0时，E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于 7.3.1离散型随机变量的均值 这个常数与X的均值的乘积。 白题 基础过关 3.D解析：设机器狗能够进入古嘉的总尝试次数为X,则X的所有可 1.A解析：E(X)=1×5%+0×(1-5%)=0.05.故选A. 2.AC解析：由0.3+m+0.1+m=1,得m=0.3,则E(X)=1×0.3+2×0.3+ 能取值为1,234，所以PX=1)-P以x=2)-CG A4，P( 3×0.4=2.1.放选AC 3.4760解析：设可获收益x万元，如果成功，x的取值为5×12%.如果 g-e- 3)= cccc1 A ,所以B(0=1K+2x 失败，x的取值为-5×50%，一年后公司成功的概率估计为224 20025 3x4x=放选n 1 42 失败的概率估计为0=5，所以一年后公司收益的期望为E()归 4号 解析：因为x+y+:=8,所以随机变量X可能取值为1和2，用隔 24 5x12%×255×50%×25×10000=4760(元).故答案为4760. 板法可求得：事件总情况为C种， X=1时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有C吲·C4种：②三个 4.1解析：编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个 座位..有123,132,213,231,312,321，共6种结果，设与座位编号相 数中有两个1，有c种，所以X=1时A,-·C+S。三 同的学生个数为东，则5的可能取值为0,1,3， X▣2时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有C种：②三个数 “的分布列为 中有两个2，有C好种，所以X=2时，P2 C+C号.2 C号7 326 所以(0=1K号2x号号故答案为号 5.解：(1)若用方案甲，设化验次数为X,则X可能取值为1,2,3,4,5， 1 1 .E(=0x- 2*3 =1.故答案为1 6,7,8,9,若用方案乙，设化验次数为Y,则Y可能取值为2,3,4.5，由 1 5.A解析：E(X)=-1× 2+0 6*1 3、 6,所以E()=2E(X)+ 题意可得P(X=5)= 9×8x7x6x1-1 09*8×7*610所以，若用方案甲， 化验次数为5次的概率为」 1 9x1=1 6. (2)1)可知，P(X=1)=10P(X=2)10×g10P(X=3) 3 6 解折：因为80=28()+3=子，所以80= 3则有 9811 9.8.7.11 9 1 1 -1× -+0xa+1×h=- 3 a= 故答案为1,1 3 0*9×g0P(x=4)=0×g×70P(X=5)=0 解得 36 87611 9876511 1 2+@+6=1, 1 分g*7石0P(X=6=10*9*g*7x6x了i0 61 7.解：(1)记检测过程中两件次品不相邻为事件B,即将5件芯片排列 求其中两件次品不相邻的概率，所以P(B)=AA_3 7654311 98765 A5 8*7×6*5*4×310P(X=9)=10*9*g×76 选择性必修第三册·R黑白题16 4321 0D(x0=（-15)2x=425,所以D(2Y-10)=22D(y)=4×42 364 所以随机变量X的分布列如下表所示： 425.故答案为425. 23456789 7.A解析：由已知E()=48×0.1+49×0.1+50×0.6+51×0.1+52×0.1= 50.E(n)=48×0.2+49×0.2+50×0.2+51×0.2+52×0.2=50,所以 111111 11 1 D()=(48-50)2x0.1+(49-50)2×0.1+(50-50)2×0.6+(51-50)2× 10101010101010105 0.1+(52-50)2×0.1=1,D(7)=(48-50)2×0.2+(49-50)2×0.2+ 1 27 (50-50)2×0.2+(51-50)2×0.2+(52-50)2×0.2=2,所以D()=1. 所以E()=10*(1+2*3+4+5+6+7+8》 59= 5 D(n)=2,所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小，故 由题意可知，随机变量Y可能取值为23,4,5，则P(Y=2)=1× 1 远A 5 ，PY=3)=1xgx-5P(y=4)=1 1 11 4311 8.6 解折话的可能取值为54,3.2，P(=5)-×GP( -X- -X- 5 4322 P(Y=5)=1×5X4X35' (-)(-）小名则=六4名x高2 9 所以随机变量Y的分布列如下表所示： y2345 县周=(）名()4)》高 P 1112 5555 ()品总答案为 1 219 所以E(n=5×(2+3+4)+5x5=5 需题 应用优 则E(X)>E(Y),所以方案乙更好. 1 1.C解析：由题可知，m+2m+m=1,解得m=4,则E(X)=0Xm+ 压轴挑战 (0,）解折：由题意，可得P(=I)=p.P(=2)=(1-p）·p, 40m+40m=80m=20:故D(0=子×(0-20)2+宁×(20-202+ P(X=3)=(1-p)2·p+(1-p)3=(1-p)2,所以E(X)=1×p+2(1- 4x(40-20)2=100+0+100=200.故选C p)·p+3(1-p)2=p2-3p+3,令p2-3p+3>1.75,即4p2-12p+5>0,解 得p<或p>.又由0nc1,可得pe(0,2） 5 2D解折：由题意，随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=子， ,即p的取值范围 所以P(x=)=子，则E()=0x号+1x子-子，D(X) 为(0，)故答案为(0，)） 7.3.2离散型随机变量的方差 (0号)×(1子)×号=子对于A,D(32)=3 白题 基础过关 0(0=9x号-2，所以A不正确，D正确：对于B,曲于D(X)=号 1,A解析：方差反映了随机变量偏离于期银的平均程度，方差越大， 随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确： 所以B不正确：对于C,由P(X=)=子，E()=子，所以P(K 标准差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则 1)=E(X),所以C正确.故选CD. 偏离变量的平均程度越小，故D正确.故选A. 2.D解析：由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,.E()=1× 3A解折：根据随机变景的分布列得E()=(-1)x+0x(号。）片 0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴.D()=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+ (5-32)2×0.5=3.56,∴.专的标准差为√D(G)=√356.故选D. 1￥3 =3 -,则(x)=【()] ·a 2号解折：由题童知a=1号号-号由8以=1得0aN [(兮)门·（号）小-（兮）]'x对- 4 .2 1 9+2xg+3n=1,解得n=27m=27,放0(5)=(0-1)2×2习 8 ；号一（名）广，器由于汤数D(0的周象为关于。的开日 1-号(21号0-10分产号故答案为号 ,2 方向向下的抛物线，且0a<子，函数的对称轴为直线a=名，故当。 1 4.D解析：由x的分布列得E(X)=(-1)×2+0x3+1×6-3 在(0，号)内端大时，()增大故选入 u0=(）空（时）广好）gg因 4.C解析：因为一共有3个盒子，所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-)= 3-E(Y),D(X)=D(3-=(-1)3×D(Y)=D(Y), 为Y之+2.则Dn=0(0=0故选D A号62 A 由题意可知X=0,12,P(X=0)=3x3g7号P(K=2)=3x33 5.AC解析：E(2X+1)=2E(X)+1=5,则E(X)=2,故A正确.B错误： D(3X-1)=9D(X)=9,则D(X)=1,故C正确.D错误.故选AC. 279PK=1)=1-P(X=0)-px=2)=121.2 31 993 0-号0g2号x1-号.所以(=3-8(0=3 91 3=a8(0+3石+3=7解得a-15又D(0-（1-g）广× 号，放选C 合(）广好(-古)对品n=e 5号 解折：根据题意，B(X)=2,名Pn=,所以D()=营n, 参考答案黑白题177.3离散型随机变量的数宇特征 7.3.1离散型随机变量的均值 白题 基础过关 限时：25min 题组1离散型随机变量的均值（数学期望） 题组2离散型随机变量的均值的性质 1.(2024·河南开封高二期末)一批产品中次品 5.(2024·广东广州高二月考)已知随机变量X 率为5%，随机抽取1件，定义X= 的分布列为 1,抽到次品， 则E(X)= 0,抽到正品， A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095 设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是 2.(多选)已知随机变量X的分布列为 3 3 D.、3 3 0.1+m 6.已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望 0.3 则 E(Y)= 3X的分布列如下，则a= A.m=0.3 B.m=0.4 b C.E(X)=2.1 D.E(X)=2.6 3.(2024·湖南岳阳高二月考)某公司有5万元 资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可 题组3离散型随机变量的均值的应用 获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金 7.(2024·安徽六安高三月考)有5件型号和形 的50%，下表是过去200例类似项目开发的实 状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次 施结果： 品，现对产品随机地逐一检测 投资成功 投资失败 (1)求检测过程中两件次品不相邻的概率： 192次 8次 (2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个 数为X,求X的分布列和数学期望 则该公司一年后估计可获收益的期望是 元 4.(2024·河北石家庄高二期末)编号为1,2,3 的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座 位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同 的学生的个数是专，则E()= 选择性必修第三册RJ黑白题32 黑题 应用提优 很时：35min L,(2024·湖南娄底高二期未)已知离散型随机4.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知x,y,×∈N°， 变量X的分布列如下表所示，则E(X)的值为 且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,:中的最小 ( 值，则E(X)= 0 5.(2024·江西上饶高二期末)已知10只小白鼠 2 中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来 0.36 1-2g 确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性 A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88 的为患病小白鼠，下面是两种化验方案.方案 2,(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)已知 甲：将10只小白鼠的血液逐个化验，直到查出 随机变量X的分布列为 患病小白鼠为止.方案乙：先取5只小白鼠的 10 血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只小 P 0.30.1 b 0.2 白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白 鼠：若不呈阳性，则对剩下的5只小白鼠再逐 若E(X)=7.5,则下列结论正确的是( 个化验，直到查出患病小白鼠. A.a=7.5 B.b=0.4 (1)若用方案甲，求化验次数为5次的概率： C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方 3.(2024·安微淮南高二期中)如图，某考古队 案甲、方案乙哪个更好 在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂 空间，且有4个形状、大小均相同的人口1,2， 3,4,其中只有1个入口可以打开，其他的入口 是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路， 从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到 后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到 出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆 的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于 1次，且每次选择哪条路线是等可能的，则它 压轴挑战Ⅱ 能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是 (2024·河南郑州高三月考)体育课 ( 的排球发球项目考试的规则是：每 人J3 位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止 路我3 路线1 路线2 发球：否则一直发到3次为止.设学生一次发球 入口1 入日2 (出发点) 成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X,若X的 路线4 数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围 入口4 是 4 7 5 A 3 B.2 C. D. 3 2 进阶突破拔高练P0g 第七章黑白题33