7.3.1离散型随机变量的均值课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过复习离散型随机变量及分布列，结合班级成绩均值、射箭运动员水平比较等情境，建立与数据均值的联系，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于以情境化实例（如猜歌名游戏、洪水防护决策）引导，通过推导均值线性性质培养数学思维，用分布列表格规范数学语言表达，助力学生用数学眼光观察、思考现实世界。方法归纳清晰，教师易操作，学生能掌握计算步骤与实际应用。

7.3.1 离散型随机变量的均值 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 ★ 离散型随机变量是什么？ 复习回顾 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量. ★ 离散型随机变量的分布列概念及其性质是什么？ X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①Pi≥0，i＝1，2， …，n； ②p1＋p2＋ … ＋pn＝1． 作者编号：32100 新课引入 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律。但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。 例如，要了解某班在一次数学测验中的总体水平，重要的是看全班平均分；要了解某班的数学成绩是否两极分化，则需要考察这个班数学成绩的方差。 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征。 作者编号：32100 新课引入 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 样本均值： ＝ x x1＋x2＋…＋xn n 样本方差： s2＝ n 1 [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2] x x x 问题： 什么是一组数据的均值和方差？ 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 作者编号：32100 情境引入 问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 作者编号：32100 情境引入 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 假设两人射箭 n 次，当 n 足够大时，频率稳定于概率。 所以，甲射中环数的平均值稳定于 7×0.1＋8×0.2＋9×0.3＋10×0.4＝9. 同理，乙射中环数的平均值为 7×0.15＋8×0.25＋9×0.4＋10×0.2＝8.65. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 作者编号：32100 概念生成 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示， 则称E(X)＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望， 数学期望简称期望. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 权数 加权平均数 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 作者编号：32100 1. 已知离散型随机变量X的分布列如表，则X的数学期望E(X)＝( ) A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 1.7 X 1 2 3 P 0.4 0.5 0.1 D 知识应用 2. 若随机变量 X 的分布列如下所示，且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是(　 ) X -1 0 1 2 P 0.2 a b 0.3 A．0.4，0.1 B．0.1，0.4 C．0.3，0.2 D．0.2，0.3 B 典例剖析 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得 1 分，不中得 0 分，如果某运动员罚球命中的概率为 0.8，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是多少？ 分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X＝1，不中时X＝0 解析：随机变量 X 的可能取值为1，0， P(X＝1)＝0.8、 P(X＝0)＝0.2 ∴E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. X 0 1 P 0.2 0.8 所以 X 的分布列为： ►课本P63 方法归纳 求离散型随机变量的均值的步骤： ①确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值； ②求概率：求 X 取每个值的概率； ③写分布列：写出 X 的分布列； ④求均值：由均值的定义求出E(X). 作者编号：32100 变式训练 练习1 在一次数学竞赛中共有三道题，答对一题得1分，如果某位参赛选手做对每道题的概率均为0.6，那么他做一题得分X 的均值是多少? 做一道题有命中和不中两种可能结果， 命中时X＝1，不中时X＝0，因此随机变量 X 服从两点分布 解析： 即该参赛选手做一题得分X 的均值是0.6 因为P(X＝1)＝0.6、 P(X＝0)＝0.4 所以E(X)＝1×0.6＋0×0.4＝0.6 典例剖析 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求 X 的均值. 解析： X 的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝1，2，3，4，5，6 6 1 所以E(X)＝ (1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5 6 1 ►课本P63 新知探究 思考：如果 X 是一个离散型随机变量，X 加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即E(X＋b)和E(aX)分别与E(X)有怎样的关系? 设 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn X＋b x1＋b x2＋b … xi＋b … xn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(X＋b)＝(x1＋b) p1＋(x2＋b) p2＋…＋(xi＋b) pi＋…＋(xn＋b) pn ＝(x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋…＋xn pn)＋b (p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn) ＝E(X)＋b. 作者编号：32100 新知探究 X x1 x2 … xi … xn aX ax1 ax2 … axi＋b … axn P p1 p2 … pi … pn 则E(aX)＝ax1 p1＋ax2 p2＋…＋axi pi＋…＋axn pn ＝a(x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋…＋xn pn) ＝aE(X) 同理 作者编号：32100 概念生成 离散型随机变量的均值的运算性质 (1)E(X＋b)＝E(X)＋b (2)E(aX)＝aE(X) (3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 作者编号：32100 变式训练 练习2 已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1)求E(X)； (2)求E(3X＋2). (1)E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8， (2)E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4. ►课本P66 解析： 变式训练 ►课本P66 练习3 抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得－1 分，求得分 X 的均值. 解析： 由题意得， P(X＝1)＝0.5、 P(X＝－1)＝0.5 ∴E(X)＝(－1)×0.5＋1×0.5＝0 变式训练 ►课本P66 练习4 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义. E(X1)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平 均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好. 解析： 典例剖析 ►课本P65 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 X 的分布列如表所示： 解析： 分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，A，B，C相互独立 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 典例剖析 ►课本P65 例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？ 典例剖析 ►课本P65 分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示． 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 典例剖析 ►课本P65 解析：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3 方案1，无论有无洪水，都损失3800元。因此，P(X1＝3800)＝1. 方案2，遇到大洪水时，总损失为2000＋60000＝62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此，P(X2＝62000)＝0.01，P(X2＝2000)＝0.99. 方案3，P(X3＝60000)＝0.01，P(X3＝10000)＝0.25，P(X3＝0)＝0.74. 所以，E(X1)＝3800，E(X2)＝62000×0.01＋2000×0.99＝2600， E(X3)＝60000×0.01＋10000×0.25＋0×0.74＝3100. 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2. 变式训练 ►课本P66 练习4 某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下： X 8 9 10 P 0.4 0.4 0.2 现进行两次射击，两次互不影响，运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为Y． (1)求该运动员两次命中的环数相同的概率； (2)求Y的分布列和数学期望E(Y)． 变式训练 练习5 某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下： X 8 9 10 P 0.4 0.4 0.2 现进行两次射击，两次互不影响，运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为Y． (1)求该运动员两次命中的环数相同的概率； (2)求Y的分布列和数学期望E(Y)． 两次都命中 9 环的概率为P2＝0.4×0.4＝0.16； 两次都命中 10 环的概率为P3＝0.2×0.2＝0.04， X 8 9 10 P 0.4 0.4 0.2 (1)求该运动员两次命中的环数相同的概率； 解析： (1)两次都命中 8 环的概率为P1＝0.4×0.4＝0.16； 则该运动员两次命中的环数相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝0.16＋0.16＋0.04＝0.36. Y 的可能取值为8，9，10，则P(Y＝8)＝0.4×0.4＝0.16， P(Y＝9)＝2×0.4×0.4＋0.4×0.4＝0.48， P(Y＝10)＝1－P(Y＝8)－P(Y＝9)＝0.36， Y 8 9 10 P 0.16 0.48 0.36 E(Y)＝8×0.16＋9×0.48＋10×0.36＝9.2. 则 Y 的分布列为： X 8 9 10 P 0.4 0.4 0.2 (2)求Y 的分布列和数学期望E(Y)． 解析： 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1. 求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？ 2. 离散型随机变量的均值有什么性质？ 作者编号：32100 $