6.1.3 共面向量定理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第3课时 共面向量定理 第1关练速度 5mn为准，你的时间： 5.(多选)(2024·江苏徐州高二月考)若a,b,c 是空间中不共面的一组向量，则下列向量共 1.(2024·四川成都高二期中)对于空间中的任 意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是( 面的是 () A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b A.共面向量 B.共线向量 C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 6.(2024·广东广州高二期末)在下列条件中， C.不共面向量 一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是 D.既不共线也不共面的向量 () 2.(多选)下列命题中是真命题的为 A.若p与a,b共面，则存在实数x,y,使p= A.0M=20i-0B-0C xa+yb B.omi-4oi+}oi+od B.若存在实数x,y,使向量p=xa+yb,则p与 a,b共面 C.0M+0A+0i+0元=0 C.若点P,M,A,B四点共面，则存在实数x, D.0m=oi+oi+od 6 y,使M=xMA+yM厉 7.(2024·河南郑州高二期中)在棱长为1的正 D.若存在实数x,y,使MP=xM+yM店，则点 方体ABCD-AB,C,D1中，E,F,G分别在棱 P,M,A,B四点共面 BB1,BC,BM上，且满足B配=BB,BF=BC, 3.(2024·江苏泰州高二月考)0为空间任意一 点，若-+0i0元，若A,RC,P四 B成=成，0是平面B,6R,平面4CE与平面 点共面，则= B,BDD,的一个公共点，设Bd=xBG+yB丽+ A.1 B. zBE,则x+y+z= () D.4 4.下面关于空间向量的说法正确的是( D.s A.若向量a,b不平行，则a,b所在的直线一 8.已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平 定不共面 面内的-一点，且0示=】Oi+m0B-n0C(m,n∈ B.若向量a,b在正方体的任意两条棱所在的 直线上，则a,b不一定共面 R),且m=),写出一组满足条件的m C.若A,B,C,D四点不共面，则向量AB,CD不 n:m= ,n= 共面 9.以下命题： D.若A,B,C,D四点不共面，则向量AB,AC ①两个共线向量是指在同一直线上的两 AD不共面 个向量： 第6章学霸007 ②共线的两个向量互相平行： x0i+y0+z0元(x,y,zeR),则x=2,y= ③共面的三个向量是指在同一平面内的三个 -3,z=2是P,A,B,C四点共面的() 向量； A.必要不充分条件 ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三 B.充分不必要条件 个向量 C.充要条件 其中，正确命题的序号是 10.(2024·安徽安庆高二期中)已知ij,k不共 D.既不充分又不必要条件 面，AB=i-2j+2k,BC=2i+j-3张，C⑦=Ai+3列-5k, 15.(2023·湖南永州高二期末)如图，在四面 体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD, 且A,B,C,D四点共面，则入的值为 DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空 11.(2024·山东济南高三月考)在三棱柱 间任意一点0都有0A+0B+OC+OD=kOM, ABC-A,B,C,中，Ai=2M元，AN=mAC,且 则k= () BN∥平面A,CM,则m的值为 A. B. C.2 D.4 第2关练准确率日题为准，你做对 题 12.(2024·江西新余高二期末)已知点D在 △ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意 一点，正实数x,y满足0i=30元-x0A-y0店 则2+的最小值为 (第15题)》 (第16题) x y 16.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所 A.1+2 在的平面互相垂直，点M,V分别在对角线 C.1+22 D.3+22 BD,AE上，且BW=BD,AN=AB则下列 3 13.(多选)对于空间任意一点0和不共线的三 说法正确的是 点A,B,C,有如下关系：60=0i+20B+ A.向量M,CD,DE共面 B.向量BA,C心，EC共面 30C,则下列说法错误的是 C.向量F,D正，M共面 A.四点0，A,B,C必共面 D.向量B,C,M共面 B.四点P,A,B,C必共面 17.(2024·河北保定高二期中)已知圆锥P0(P C.四点O,P,B,C必共面 为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长 D.五点O,P,A,B,C必共面 为2的等边三角形，A,B,C为底面圆周上三 14.(2024·安微准北高二期末)对于空间任意 点，空间一动点Q,满足P0=2xP+yP店+ 一点0和不共线的三点A,B,C,且有0P= (1-2x-y)PC,则1P01的最小值为 选择性必修第二册·SJ学霸008 18.下列命题中为真命题的是 (填 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆女☆ 序号) 21.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平 ①若A1A+A2A+AA1=0,则A1,A2,A3三点 共面； 面外-点，点日为C上一点，且记点 ②若A1A2+A2A+A3A+A4A1=0,则A1, G在上，且份m,若G,BP,D四点共 A2,A3,A四点共面； 面，则m的值为 ③若A1A2+A2A3+A3A4+…+An-An+AnA1=0, 则A1,A2,A3,…,An这n个点共面. 19.如图所示，已知A,B,C及A1,B1,C1分别是 异面直线l1,l2上的三点，点M,N,P,Q分别 是线段AA1,BA1,BB,CC1的中点.求 22.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的 证：M,N,P,Q四点共面. 重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于 点D,E,F,若Pi=mP,P元=nP店，P=tP元， 求证：+上为定值，并求出该定值 m n t 20.(2024·福建福州高二期中)如图所示，四面 体O-ABC中，G,H分别是△ABC,△OBC的 重心，设0A=a,OB=b,OC=c,点D,M,N分 别为BC,AB,OB的中点 (1)试用向量a,b,c表示向量M,0元： (2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四 点共面。 第6章学霸00911.1,1,1,113 1 72*721836183636 行子，所以+号故选 第3课时共面向量定理 8.1 2(或号-）解：桥-m成n(m.ne 第1关（练速度） 1.A解析：若a,b不共线，则由空间共面向量定理知，a,b,2a+4b共 R.且P,.C共面之ma=1=mn=分又m=分解 面：若a,b共线，则a,b,2a+4b共线，也共面.故选A 2.BD解析：对于A项.若a=b=0,P≠0，则不存在实数x,y,使得p= 得m=1,=之或m=-2n=一1 xab,故A项错误： 9.②④解析：根据共线向量，共面向量的定义易知②④正确， 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数x,y,使向量P= 10.1解析：因为A=i-2+2k.B武=2i+j-3k,C=Ai+3-5k.所以 xa+b,则p与a,b共而，故B项正确： 对于C项，若=M=0.币≠0，则不存在实数，y,使币=x+ A花=成+B元=3-j-k,i=A花+C⑦=(3+A)i+2对-6k yM币，故C项错误： 因为A,B,C,D四点共面，所以存在唯一的(x,y),使得币=x应+ 对于D项，根据平面向量基本定理，可知若存在实数，y,使M亦= yA元.即(3+A)i+2j-6k=x(i-2j+2h)+y(3-j-k),即 x+3y=A+3, (x=-2 x+y则M币，M共而，所以点P,M,A.B四点共而.故 2x+y三-2，解得A=1,故答案为1 D项正确 2xy=-6. (y=2 故选BD. 3.C解轿：因为-亦-.所以：可，g成，成可化简 1.立解析：如图，不妨设市=a,心=b,不=c,依题意矿=名 为0-ig成成，即0亦i+成 网--不号访=e-号.成=花-b号a.因为 为A么.C,P四点共面.所以子号1，解得=令放选C A不=mA,C=mb,所以示=B不+A,=c-a+mb.又因为BN∥平 面A,CM,所以B,M四，心必共面，即存在A,eR,使B= 4.D 5.ABD解析：由共面向量的充要条件可得： A红成.即c-a*b=A(e-子）r(b-子从面有 对于A选项，B=号（e)宁6-e).所以B+c6,6e三个向量 2(ap)=- 共面： u=m, 解得m=放答案为】 对于B选项，a子(ab+ （a-b).所以a,a+b,a-b三个向量 A=1, 共面： 对于C选项，假设a+b,a-b,c三个向量共面，则存在x,y(x,ye R),使得c=x(a+b)+y(a-b),则c=(x+y)a+(x-y)b.即c,a,b 三个向量共面，这与已知a,b,c是空间中不共面的一组向量矛盾， 故假设错误，即a+b,a-b.c三个向量不共面.故C不正确： 对于D选项，a+b+c=(a+b)+c,所以三个向量共面. 故选ABD 重难点拔 易错提醒 BN∥平面A,CM即B与平面A,CM内的任意向量均共面 如果两个向量a,b不共线，邪么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在实数对(x,y),使p=x阳+b在判断空间中三个向量共面时， 第2关（练准确率） 注意“两个向量：，b不共线”的要求 12.B解析：因为O币=30元-xO-y0成.且A,B,C,D四点共面，所以 6.D解析：对于A,0=20i-0成-0元中，2+(-1)+(-1)=0≠1，A 由空间四点共面的性质可知3-x-y=1,即x+力=2又x>0,>0,所 不是： 子宁*w(2）小()小 不是： ·)+，当且仅当即=4-2= 对于C,0+0+0+0元=0化为0i=-0i-0-0元.-1+(-1)+ (-1)=-3≠1，C不是： 2-2时等号成立，所以名的最小值为+2赦连取 对于n.成冲。时1.0是 13.ACD解析：因为60币-0+20成+30元.所以0币-=2(0 0币)+3元-币)，即币=2P+3P元根据共面向量基本定理.可 故选D. 方法总结 得A,P,P元共面，所以P,A,B,C四点共面. 1,在平面中，A,B.C三点共线的充要条件是Oi=x0成+yO元（其中 14.B解析：对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,且0币 x+y=1),0为平而内任意一点 xOi+yO+:O心(x,,aeR),则P,A,B,C四点共面等价于x+y+ 2在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是O币=xO+yO成+ z=1,若x=2,y=-3,:=2,则x+y+a=1,所以P,A.B,C四点共面： 若P,A,B,C四点共而，则x+y+=1,不能得到x=2,y=-3,=2. :0C(其中x+y+:=1),0为空间中任意一点， 所以x=2,y=-3,z=2是P,4,B,C四点共面的充分不必要条件 7.B解斩：因为=成，成：成=x成成丽，0在平面 故选B. 15.D解析：因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，所以 EH∥FG,EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面，且四边形EFCH为平 BGF内.所以+受=1同理可得子子女=1y.解得= 3: 行四边形，故M为G的中点所以0+0丽=20呢，0元+币=2元 参考答案学霸05 0亦0=20，所以i+0+0元40币=2(0亦+元=40m.故k=4.第3关（练思维宽度） 故选D. 21. 解析：连接D,BG店=P-P,店=D元.元=PP武 16.A解析：因为M在BD上，且M=号BD,所以应=成 成+应同理市成。 成成成成成成成成肥 市成所(-i励=}i成成 所以=丽++不=（兮+兮应）+（兮而 -i成成市成：格花 m”ig市，成底==-心成 又Ci与D成不共线，根据向量共面的充要条件可知.市.成 共面。 (智)i(g-)成+号成又：GB,PD四点共面， 17.5解析：因为P=2xP+yP+(1-2x-y)P元.所以P风-P元= 2x可-2xP元+yP-y元C=2xC+yC.所以C或CC共面 1智=0，解得m子 又A,B,C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点由已 22.证明：如图，连接AG并延长交C于H,由题意，令P可.P成P元为空 知P0⊥平面ABC,所以P1≥PL.又圆锥P0的轴截面是边长 间向量的一组基底。 为2的等边三角形，所以1P可1=√5，所以1P可1的最小值为3，故 答案为5. 18.①解析：在空间四边形A1A4A。中，有A,+A2+A+ AA=0,但四点不一定共面，故23都不正确. 19.证明：图，连接NM,P,PQ,A0,PC,PC.易知N=, …威-2.瓜-2d.成成)=（成 成m+aC)-=威，BC() 配成成可)元-成成成 2 4 4 A,B,C三点共线及A,B,C,三点共线。 六存在实数A,m,使得B武=Ai=2AN,B,C=mAB=2aN 连接DM,点D,E,F,M共面，存在实数A 代人(*)式，得P成=(2Ai+2加=A丽+w币 满足D=AD泥+μD亦，即Pi-P元=A(P2-Pi)+μ(P-P元)， AN前+(+1)市.NN共面 因此P=(1-A-u)Pi+AP尼+uP序=(1-A-a)mP+AnP+ 又N0,NiN币过同一点N, P元， M,X,P,Q四点共面。 由空间向量基本定理知.(1-A4)m=An=山=4 C 故,11 =4(1-A4)+4A+4μ=4.为定值 n t 6.2空间向量的坐标表示 第1课时空间向量基本定理 方法总结 第1关（练速度）】 1.A解析：向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，期一 妻证四点共面，可先作出从间一点出发的三个向量，由向量共面推 定有a与b共线，故选A 如点共面，应注意待定系数法的应用。 2.A解析：对于A选项，不存在x,y@R使得a=m+n=x(b-2c)+ 20.(1解：=，因为0成=花而花=号市.市 y(b+2)成立，故能构成空间的另一个基底： 对于B选项：宁宁宁o-2)+宁b+2).故不能构成 成-可，又D为Bc的中点，所以成=（成+0心，所以成： 空间的另一个基底： 成+号i+(成-di=+号x(成+d}可： 于C法项c字= b-20)+（b+2c).放不能构 成空间的另一个基样： 号0i+d)=(abe 对于D选项，bte=1m+3n= -2x)+(62c),故不能构 2证明：为i=成-成成：号励=号兮( 成空间的另一个基底 故选A 3.D解析：a,b.c是空间的一个基底，故a,b,c不共面.A选项，设 子be).周uai宁re0)-宁aey=寸=号a又 n=1, a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(mtn)c,则m=1,无解.故a+ 因为-.所以应所以M,NG,H同点共面 m+n=0. b,b+c,c+a不共面，故a+b,b+c.c+可以构成空间的一个基底： 选择性必修第二册，SJ学霸06