第10章 三角恒等变换 真题演练&章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

R=4+6云店= =8血(a）=(号)故答案为(）月 33-1 第10章真题演练 (5+1)=2+5.放选D 1.D 3-1 解折：因为ma=1-2如受1a为角，所以受为能 2 8居解折：令信moma万m(受)则-万].因为 35.5-D5-故选D 角，所以m2√8√16 (sin xtcos x)2=sinx+coex+2sin xcosx=1+2sin xcos 2.B解析：因为m:=5,所以，1=5，所以ma=1- inx.s王.二'.即f八x)=sinr+osr+insx=4+二 cos a-sin a I-tan a 2 所以一（子）-把。-1做法 3 2+1)之-1.因为1e[-2,5].所以八x)的最大值为2× 3.A解析：因为cos(a+B)=m,所以cos acos B-sin asin B=m.又 （2+12-1宁区放选B tan ortan B=2,所以sin asin B=2 cos ccos B.所以%c0sB- 2 cos acos B=m即cos ae0eB=-m,所以sin asin B=-2m,故cos(a 2sin B)=-3m.故选A. 解析：原式= 2sm20 4.C解析：由已知得sin arcos B+cos csin B+c0sac0sB-sin asin B= ()3 -2 sin2 0 2(csa-sina）sinB,即sin acos B-s crsin B+s Crcos B+ina· cos 2-sin2 2 sinB=0,即sin(a-3)+cs(a-B)=0,所以tan(a-B)=-1,故选C. 8 1+tan- 5.C 211-31 解析：将式子进行齐次化处理得，血(1+in20。 1 sin 8+cos 8 ,故答 B 01+3-3 6 sin 8(sin26+cos28+2sin 8cos 0) sin8+c0s日 =in8(in9+cs日）= 案为石 ,”格数c sin 0+00s70 6 10. 4 解析：依题意，i血a=-了且a为第四象限角，所以ms= 6B解折：因为血(a=血in月=mamB= 6 、所以in aco B=】,所以n(a+B)=na5B+ssnB=,所】 sim(a+B》)=2.所以sin(a+B)=2mB,即inB+sasinB 以em2a*2p0=m2a9=1-2an(a9=1-2x(g）'-号 Cos B 故选B 2c0s 4 cos B+sin B=2c0s B,3sIn B=14c0s B.tan B= 7.、22 3 解析：方法一：由题意得m(a+B)=ma+m月 1-tan artan B 414 10 4 tan o+tan B 其，所以amn(a+B)=-thmg,hmB 33 3 1-(2+1) -22,因为=(2,2m+号）B(2mm+, 2nm）t.meZ..所以a+Be(2n+2)+,(2m+2)时 口x合故答案为 36513 2m）.k,m∈Z.又因为am(a+B)=-22<0,所以a+Be(2m 1行解折：因为n电2026=C.血C 1-2cm11+om2c2s2CC所以 2),(2m+2+2=）kmeZ.所以m(a+8)<a因为 2 sin Acos C+sC=inC-V2 cos Asin C,即、2sin(A+C)= 血Gmc又4c=-8所以a=区n(c-晋）-号 m(a+B)。-22,联立m2(a+B)+eme2(a+p)=L,解得i血(a+ cos(a+B) 6·一<C-<,,.所以G =2技答案为2 412 方法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角.所以osa>0.%B< ，c故答案为 0,cos a=- 0s 12 12 Vsin ate a cB √inB+%B 2( -1 】解析：由题意可得B=+ =,所l以in(a+B)=sin acos B+cos asin B=cos acos B· √T+tan' 2π -4 3为=ima,力=i加B=m（a+ (tan a+tan B)=4cos acos B= √个+1ana√小+tanB ）ma+ +2as&,所以 -4 -4 (tan atlan B)(tan atan B-1) 。2故答案 力=ina+2na-a 为29 83m 4 10 5 解折：a+B=受咖B=ma3na-血B 以a石e(云号）则血(a石)e(号，）所以 而d=，即而(0） 参考答案学霸029 v0,令sm0=0m 70,eos8=3a0,则osim(a-)=10, fx)=2 sin xeosx+2cs2x的最大值是2+1.故选C a-0=号+2m,keZ,解得a=0+号+2，keZ血a 5.B解折：因为0e(0.:）所以0m0<号， 所以cm件m0>0,m9-m0>0.因为m（年-0） 放答案为31而4 m(任），所以经(m0:血)=经a(m。-咖)，所 105 以m>0.上述等式两边平方可得1+2csin8=m2(1-2c%in). 2 因为血20号所以2如0=号所以1：号(-号)月 解得m=3.故选B 0),所以当x)=0时，甲n（0r-年)=0.所以x= 6B解指调为ae0,e)品台0所以0ac受 (.2m)kez.所以ue(g)）u(g）u(骨 T或0<R<T,T 号a<m者0<a<号8<则-<a-B<0,此 u=(g4)u(g*）所以oue(0,g]y 时a-B0(合)：若0B<号，号<a<,则0a-B<,此时 [子]故选n m(>0特合道多).所以0<B受号<a,所以+B 10.2解折x)=m月cm=2n(号）当xe[0,m]时 (行智）周为咖a名合片所以ma一B 号e【号]当x于号时，即xg时e)=2故 cos a sin B=- 且sin B1 6 coe asin B ，解得nasB= 6 cos a. 答案为2. sin B=- 3 ，所以in(a*g)=masB+B=- 2 1.(答案不唯一）解析：因为八x)=inx+(如p+1)sx 又a+B后 (号）所以a8=放选 3π √cspt(ng+1)产in(x+8)(8为辅助角).所以 Vmp+(sn+1了=2，解得np=1,故可取e=号（答案不 7.D解析：原式-n20(sm50+3m50). c0s50° 2in20°sin(50+60)_2in20°sin(90°+20） 唯一 cos 500 sin(90°-50°) 121解（）-04=1=咖 2in20°cs20°sin40° sin 400 m4001放选D 5m=2m(号）÷f(8)-2如（臣-号） 8.B解析：由3cos(140°-a)·cosa+sin(100°+a)=sin(a-20),可 得3cms(180-40°-a)·cosa+sin(180°-80+x)=in(c-20°)，可 -2m号-反故答案为1：-2 得-3cos(40°+a)·s+in(80°-a)=n(a-20).所以 -3os(40+a）·c0sa+cos(10°+c)=%im(a-20),可得 13号解折：因为)=m2x -3os(40°+a)·c0sa+cos[30°-(20°-r)]=sin(a-20°)，即 2 (1-%4x)= 所 2s4r+ 以八x)的最小正周期T=2知。元 -3om(a)(2-a)ain(a- 42 4解桥：)=血2+3）3=-2-3 20.可得-3（物a）ma=号血(a-29)- 2 cos(a- 20)=√5in(a-20°-30)=-3im(50°-a)=-30%(40°+a),所 3217 -2m2-3om1=-2m+子）+8-1≤ml. 以me=停所以m2a=2ma-1=2x(得）广-1-号故 六当sx=1时J八x)m=-4,故函数八x)的最小值为-4 选B. 第10章章末检测 ◆ 9AC解析：A选项，血15m15e:号血30=}A正确： 1C解折号m15+m15=如5o-154om5如15- B选项，2sim222.50-1=-cos45°=- 只B错误C造现 ia(45+15)=im60= 放迷C n71◆-tan260 +an71an26em(71°-26)=am45°=1，C正确：D选项， 2.c解折：a=-m2(）子选c im26034+o26ain34=in(26°+340)=n60=5 ,D错 3B解折：令石-，放m0=石-，放n(石+20 误故选AC 6 10.ABD解析：f(x)=3sim2x+2sin'x=V3in2x-s2x+1= 血（任2）m2a1-2an=1-2x(任）广'名放选R 2m(2看）1，对于A,)的最小正周期为受=，放正 4,C解析：/八x)=2 sin xcos x+2e0s2x=in2x+es2x+1=/2in2x 确：对于e(0写）时，令=2石e(石）此时 年1≤万1，且存在=号时：有)=万+1，也就是说函数 关于x单调递增因为)y血：在（石，号）上单调造增，所以 必修第二册，SJ学霸030 f八x)=2im (2-石1在(（0，号)上单调递增，放B正确：对 (2)是钝角，sina= 54ema=-个-sima.25 于c.因为/(）-2如(）1=1对痘的函数位 m2a=2如amma=-m(2a-g）m2am 4 6 不是最值.所以x= :不是x)的对称轴，故C错误：对于D,￥e 12 6 0,2)时2e（ 23 66 ,此时：关于x单调速增.即 10 t与x是一一对应的，当x=0时，即2im+1=0,im1三2因 16.解：(1)因为a=(1,5),b=(sina,cmsa)且a∥b,所以esa= 为关于！的三角函数方程血1在1（石答）时，给好 3 3sin a,tan a= 3,所以n2a 2tan a 有三个银，石5，g又：与：是一对应的，青以在K同 1-tan2a ( (0,2m)上有3个零点，故D正确.故选ABD. 11.AC解析：对于A,因为sinB=in(a+B-)=in(a+B)csa- (2)因为a=(1,3),b=(sina,c%)且a·b= 5,所以a 6 s(a+β)ina,又sinB=2cw(a+B)sina,所l以in(a+β)cosa= 3cs(aB)sina,所以tan(ax+B)=3ana,故A正确：对于BCD,令 ma=.则m(a*g)=3a=,图为aBe(0,号）所以 号）所以(+号）子所以m[(-)） ma>0,即p0.所以amB=tm[(a+8)-a=an(ap)-tana。 1+tan(a+B)tan a 2 —=兮，当且仅当3动=，即1=， 2/3· 又ae(行)所以ae(gg)所以咖(c） 3 ama=子，m(ap)=5,即a=8=石时取等号，所以mB有最 (g=;.所以m（a+） 大值，故C正确，BD错误放连AC mIe）号]-(-g)=号-e） m31453-43 21精桥：=(。-石)=血(g-2a）=如[号-2(a m35×25210 )]小m2(a-若）小2am2(-君）1，解得m（e 2 2 又因为ae(0,受）所以ae（号）所以m( 令一2=血(-号）所以r受=所以到的最木正周 6 ）小0，所以m(）L放答案为1 期为 13.-1解析：因为an&,anB是方程x2+4r-3=0的两根，所以 （2)因为e[号]所以2号[号]当2号 ana+tanB=-4,tan otan=-3,所以n(a+B)=ana+nE- 即x时，()=-1，故)有最小值-1，此时x= I-tan atan B 12 -4 ■-1.故答案为-1. 1-(-3) (e调为（品）小-所以血（子）-酒a又 14.2+5 6 解析：因为O=(eosa,na),而=(cwB,inB),所以 因为[任]所以2子[子智]所以2 cos(P,0) cos acos B+sin asin B cos crcos B+ 1 cos-a+sin al1 cos-B+sin'BI e【]曲s(2。-）m2(2年）=1，可 血asn月=o(a-),所以1-os(-)=了，同理可得cm(0, -(）0所以一4m【(a号） R=oa9),所以1-m(a+B)=,郭得om(a+9)= ]-()w)m om(arg-号因为0a9c号所以0aak,80.所 18.解：(1)由∠ABC=∠PCB=B,在R△ABC中，AC=inB,BC=os9: 在Rt△PBC中，P℃=BGC·es8=cosB·es8=es28.PB= 以h(ae-h(a-g=-5所以om2a=(a8a BC·sinB=sin8·os0=sin dcos. AC+CP sin 0+cos0 sin 0+I-sin20=-sin0+sin 8+1 B)=co(a+B)co(a-B)-sin(a+B)sin(a-B)= 2 23 + (血0-）+子所当血9=号即0=0时，4c+P取最 1125 (）2故答案为2 6 大值}，即=30时，工艺礼品达到最佳观赏效果 15.解：1)ma=5 3 5cos 2a=1-2sina= (2)在△ABC中.由Sae=之CA,CB=宁，C,可得CI 1 5 参考答案学霸031 in8·cost=sin6keoe0 1 故当a=时a)(a受)取得最大值，2 在△PBC中，PC=BG·in(60°-8)=%8·(in60eo%8- (2/八a)ra+B)>B),证明如下： s60°sin9). 由题意可知，代a)+机a+B)=sina+sin(a+p)>0f八B)=sinB>0, 3 所以CH+CP=sin Beos+cos8· 因为a8e(0,号） 所以CM+CP=I 3 2sin 20+ 2s0- 2 sin 0cos 0= 1 4sin 20+ 所以1+sB>imB>0,所以+mL.所以a)a2 sin B B) 4s20、1 3 sin a+sin acos B+sin Beos a 4 2n(20+60°)+ 4,所以当n(20+60)=1. =eos sin a(1+eos B) >eos a+sin a= sin B sin B 即0=15时，CH+CP取得最大值，且最大值为}，3.2+ 24 4 >1,所以f(a)+f八a+ 19,解：)因为八)=m,且a,Be(0. .所以a)+fa B)>β). (3)f代a),八B),f八a+B)能作为△AC的三边长，证明如下： 2=sin a+sin 2 由(2)知，八a)+a+B)>(B),同理B)+/代a+B)>a). + 2 sina+cs=√2 2 sin a+ 又f八a）+fB)=sina+sinB>sin acos B+sin Bcos=fra+B),即任 2 意两边之和大于第三边.()，(B)八在+B》能作为△ABC的三 =2sin a+4 .因为0<a<2 所以 T 3T 4<at 441 边长. 第11章 解三角形 11.1余弦定理 即e2-4c+10=0,则4=16-40=-24<0.所以方程无实数根.即满足 条件的三角形有0个.故答案为0. 第1关（蛛谗度） 1.C解析：曲余弦定理得sC-+-_5+4-()2 9.7解折：由条件知6mA1B+AC-C+82-7.2 2·AB·AC2x9×8 3,设中线 2ab 2×5×4 2 长为x,由余弦定理知2= ·ABeos A=42+ 因为0°<C<180°，所以C=60.故选C 2.D解析：c2=a2+2-2 eosC=25+4-2×5×2×2=19,所以e= 2 92-2x4×9× -=49,所以x=7,所以AC边上的中线长为7.故答案 √19故选D. 为7. 方法总结 10.(1,3)解析：a+2>a+1>,.a+2所对的角为三角形中最大的 厢余弦定理解三角形的适用茶件：已扣三边，已知两边及其夹角，已 内角.由三角形三边关系得a+(a+1)>a+2,解得a>1.设边a+2所 知两边及其中一边的对角时也可以选用余弦定理，但是可能会出见 对的内角为0.则o0=+(a+)-（a+2》<0.即-2a-3<0. 多解， 2a(a+1) 解得-1<a<3.综上所述，a的取值范围为(1,3) 3.D解折：由于AB=7,BC=5,CA=6,则msB=25+49-36_19 则 故答案为(1.3) 2×5×735 11.267解析：设该扇形的半径为r米，连接C),由题意，得CD=5× 店：成-，威（月=xx(8）-9故选n 60=300(米)，DA=3×60=180(米)，∠CD0=60°.在△CD0中， CD2+0D2-2CD·0D·e%60°=0C2.即3002+(r-180)2-2×300× 4.C解析：在△BC中，由(a+b)2-2=b,得a2+b2-2=-b,由余 弦定理得sC.+-t2。-因为0°<C<180,所以C=120 (-180)x号P,解得=290 267.故答案为267 11 2 第2关（练准确率） 故选C. 12.A解析：由a2+e2+ac=2.得a2+2-2=-ac,由余弦定理得 5.AGD解析：依题可得m21=+e2一- -=eusA.即2sinA· 2bc 2ae 2ae A=mA,则=0或mA=弓因为A后(0，)，所以A= 6 以4+C=牙，s(A-C)=sAsC+in Asin C=cos Ac C 或或。故选ACD, +2x- 1 sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=- 4 6.ACD解析：因为2+e2-a2=√/2bc,b=2a.将b=√2a代人b2+e2 a2=2,得a2-2ar+e2=0.所以m=c,故b=2e,a2+c2=22=b2 故选 2 故选ACD. 7.D解析：由题意及图形可设三角形的直角边为3，则斜边为3√2 18。D解折：设三条高的长度分别为站立7，所对的三边分别为 又因为E.F为边AB的三等分点，所以AE=EF=BF=√2，△ACE四 a,bc,则由三角形面积公式可知 △BCF在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC· 2公分分放可设0=2,6 AEo645°，所以CE=5=CF在△CEF中，由余弦定理得 22x.c▣7x,则a>b>,故A>B>C,则最大角为A,由余弦定理 m4.0号号在A年中.利用月相 得msA=-n2_7x)2+(22)2-(25x2 2he 2×7x×22x <0,则A为纯 2CF·CE 25×w5 角，故此三角形为饨角三角形故选D. 4 14.ABD解析：对于A选项，由0A=c0sB和余弦定理，得a· 间的三角函数关系可知tn∠ECF= b2+c2-e2 故选D. 6.02+2-6 4 2be .即a2(b2+2-m2)=b2(2+2-2).整理 得a2c2-a2-622+6=0.即(a2-62)(c2-a2-b2)=0,故得a=6 8.0解析：由余弦定理可得a2=2+c2-2 ceos A=16+e2-4e=6, 或e2=2+2,故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A选项错 必修第二册·SJ学霸032第10章真题演练 考点口三角函数的化简求值 7.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限 1.(2023·新课标全国Ⅱ)已知a为锐角， 角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tanx· cos a=1+/5 a ,则in ( tanB=√2+l,则sin(a+B)= 435 B.-1+5 8.(2022·浙江)若3sina-sinB=√10，ax+B= 8 8 习则血a cos 28= c.35 D.1+5 4 4 考点口三角恒等变换在三角函数中的综合应用 co8a一=√3，则 9.(天津高考)已知函数∫(x)= 2.(2024·全国甲理)已知 cos a-sin a sin2 w 1 +sin x-2 w>0),x∈R 2 若f(x)在区间(T,2π)内没有零点，则w的 A.23+1B.23-1C.3 D.1-3 取值范围是 3.(2024·新课标全国I)已知cos(a+B)=m, A.(.g] B.(o.[) tan atan B=2,cos (a-B)= ( A-3mB号 D.3m c.(0.] D.(0.g[l 4.(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(a+B)+ 10.(2024·全国甲文)函数f(x)=sinx-√/3cosx es(a8)=22oas(a+好)inB,则 ( 在[0，π]上的最大值是 11.(北京高考)若函数f(x)=sin(x+p)+cosx A.tan(a-B)=1 的最大值为2，则常数P的一个取值 B.tan(a+B)=1 为 C.tan(a-β)=-1 D.tan(a+B)=-1 12.(2022·北京)若函数f(x)=Asin x-√3cosx 5.（全国高考)若tan0=-2,则in9(1+sin20) sin 0+cos 0 的一个零点为，则A ( c号 6 f()- 0. 13.(北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周 6.(2023·新课标全国I)已知sin(a-B)= 期是 3 in=石期om(2a+29g)（ 14.(全国高考)函数x)=血2r+3）-3cs A.g B.g C.-g n号 的最小值为 必修第二册·SJ学霸044 第10章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 g D. 符合题目要求的。 7.(2024·江苏宿迁高一月考)sin20°（√3+ 1.(2024·江苏南京师大附中高一期未) 2c0s15+ tan 50)= () 1 ② .2 B.2 C.3 D.1 2 sin 150= 8.(2024·江苏镇江高一月考)已知锐角α（α≠ B③ 50°)满足3cos(140°-a)·cosa+sin(100°+ D.1 3 a)=sin(-20°)，则cos2a= () 2.(2024·江苏南通海门中学高一期中)已 c 知cos2ax= 2,则sin'a= N.3 ( 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 A. B c 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 3.(2024·江苏苏州高-月考)已知m(行 选错的得0分. 9.(2024·江苏准安高一期中)下列等式中正确 o）4则m(g+20)归 的是 A B.8 D.1 A.sin15c0s15°= 4 4.(2024·江苏扬州中学高一期中)函数 B.2sin222.5°-1= √2 f(x)=2 sin xcos x+2cos2x的最大值是( 2 A.1 B.√2 C.2+1 D.22 tan71°-tan26o C 5.(2024·江苏南京高一期末)已知sin20= 1+tan71°tan260=1 D.sin 26%cos 34+cos 26%sin 34 则实数m的值为 10.（2024·江苏连云港高一期中)已知函数 ( A.-3 B.3 C.2 D.-2 f八x)=√3sin2x+2sin2x,则 () 6.(2024·江苏常州前黄高级中学高一月考)已 A.f(x)的最小正周期为 B(0).sin (a-B)=5am a=1 6'tan B 4' B.x)在(0，)上单调递增 则a+B ( A. C八)的图象关于直线x对称 B. m 6 D.f代x)在区间(0,2π)上有3个零点 第10章学霸045 11.(2024·江苏镇江高一月考)已知a,B∈(0， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 ),且血B=2as(a+B)na,则以下结 15.(13分)(2024·江苏扬州高一期中)设a是 论正确的是 纯角知a-得 A.tan (a+B)=3tan a (1)求cos2a的值： B.tanB有最大值3 (2)求cms(2a石)和sn(2a)的值 CmB有最大值号 DmB有最小值号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.(2024·江苏连云港高一期中)已知α为锐 角，且ms(c-)=sn(石-2a小，则os(a 16.(15分)(2024·江苏徐州高一期末)已知向 13.(2024·江苏准安高一月考)已知tana, a=(1,3),b=(sin a,cos a). anB是方程x2+4x-3=0的两根，且a,Be (1)若a∥b,求tan2a: (0,T),则tan(ax+B)的值为 14.(2024·江苏常州高一月考)我国人脸识别 (2)若ab=且ae(胥m),求as(at石} 技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就 是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦 距离是检测相似度的常用方法.假设二维空 间中有两个点A(x1,y),B(x2,2),0为坐 标原点，余弦相似度为向量0,0夹角的余 弦值，记作cos（A,B),余弦距离为1- cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cosB, sinB),R(cosa,-sina),若P,Q的余弦距 离为}Q,R的余弦距离为分，且0<a6c号 则cos2a= 必修第二册·SJ学霸046 17.(15分)(2024·江苏南京高一期中)已知函 (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收 数=2mo）5eR 藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到 最大.当0为何值时，CH+CP取得最大 (1)求(x)的最小正周期： 值，并求该最大值. (2)求x)在区间[巧，π]上的最小值并指 出此时x的取值： （)若)=-e[匠] 求cos2x。的值， 19.(17分)(2024·江苏扬州高一月考)已知函 数fx)=sinx,且a,Be(0,7)月 (1)求fa)+f(+)的最大值， (2)写出f(ax)+f(a+B)与f(B)的大小关系， 并给出证明. (3)试问f(a),f(B),f(a+B)能否作为 △ABC的三边长？若能，给出证明：若 18.(17分)(2024·江苏苏州高一月考)某公司 不能，请说明理由 欲生产一款迎春工艺礼品回馈消费者，工艺 礼品的平面设计如图所示，该工艺礼品由 Rt△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成， 点P为半圆上一点（异于B,C),点H在线 段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB= 90°，AB=1,设∠ABC=0. (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需 满足∠ABC=∠PCB,且CA+CP达到最 大，当0为何值时，工艺礼品达到最佳观 赏效果： 第10章学霸047