专题02 三角恒等变换（12类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以三角恒等变换公式体系为核心，构建从基础公式到综合应用的递进训练，突出运算能力与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两角和差公式|5题|公式辨析与直接应用|公式推导基础| |二倍角公式|5题|三角函数值计算与公式变形|两角和差公式的特殊化| |辅助角公式|7题|最值、奇偶性及参数求解|函数化归思想应用| |化简/求值/求角|各5-6题|代数式化简与条件求值|公式逆向与综合运用| |三角形形状判断|5题|边角关系转化|几何与三角结合| |综合应用|5题|函数性质与向量综合|知识横向联系|

专题02 三角恒等变换 考点 01 两角和与差的三角函数 考点 07 给值求角问题 考点 02 二倍角公式 考点 08 三角形形状的判断 考点 03 辅助角公式及应用 考点 09 三角函数与三角变换的综合 考点 04 三角恒等变换的化简问题 考点 05 给角求值问题 考点 06 给值求值问题 考点 01 两角和与差的三角函数 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则，即，C正确； 对于D， ，D错误. 3．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为， 所以，即，所以C正确； 因为，所以D错误. 4．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D. 【详解】A，根据两角和的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； B，根据二倍角的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； C，根据两角和的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，即， 所以，正确； D，根据两角差的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，正确. 5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 【答案】 【分析】根据，结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 所以 考点 02 二倍角公式 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，所以. 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先利用诱导公式化简. ，可得. 将代入计算，. 所以. 3．（25-26高一下·江苏徐州·月考）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ，， 4．（多选）（25-26高一下·江苏常州·期中）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 5．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列表达式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逆用两角和的余弦公式计算可得A；借助二倍角正切公式计算可得B；逆用两角差的正切公式计算可得C；借助平方差公式与降幂公式计算可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D： ，故D错误. 考点 03 辅助角公式及应用 1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 所以函数的最大值是5. 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，等价于，即， 则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知平面向量，，其中，则最大值与最小值的和是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】先求出的坐标，利用向量的模的计算公式与辅助角公式化简推得，再由正弦函数的性质求出其最大值和最小值即得． 【详解】因为向量，，则， 则 ； 因为，则，则， 即， 的最大值与最小值的和是4． 4．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·月考）函数，下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数关于对称 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】由二倍角公式和辅助角公式化简求出函数的解析式，再逐个判断函数的周期，对称性及单调性即可． 【详解】 . 选项A：最小正周期，正确； 选项B：，不满足奇函数的性质，错误； 选项C：将代入得，此时取最值，正确； 选项D：令，， 解得增区间为，， 时，在增区间内，则函数单调递增，错误. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】因为，其中，， 所以. 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将进行化简，根据角度范围求得． 【详解】根据辅助角公式：， 可得：；则，即； 因为，故时，． 7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）将化为形式，其中，则_____ 【答案】 【详解】由， 得， 所以，， 又，所以． 考点 04 三角恒等变换的化简问题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，再结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】 因为， 所以，，， 所以 2．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数，当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用辅助角公式确定中φ的三角函数值，再由求出θ，进而得到，最后用降幂公式（或平方差公式）计算的值. 【详解】由辅助角公式：，其中， ，则， ，同理，， 法一： . 法二：， . 3．（25-26高一下·上海·月考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】先求出原函数的定义域，再运用三角恒等变换与同角三角函数将其化成正切函数，结合周期公式和原函数定义域即可求得其周期． 【详解】函数有意义，需使且， 即函数的定义域为：且， 因 ， 该函数的周期为π，但原函数的定义域且， 不满足以π为周期，而满足以2π为周期，故原函数的最小正周期为2π. 4．（24-25高一下·北京西城·期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的周期即可判断A；由正弦函数的周期及奇偶性即可判断B；由二倍角公式化简函数，再根据正、余弦函数的周期及奇偶性即可判断CD． 【详解】对于A，的最小正周期为，故A不合题意； 对于B，的最小正周期为，令，定义域为， 因为为偶函数，故B不合题意； 对于C，，最小正周期为， 令，定义域为， 为偶函数，故C不合题意； 对于D，，最小正周期为， 令，定义域为， ，为奇函数，故D符合题意， 故选：D． 5．（多选）（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， , 所以，故D正确. 考点 05 给角求值问题 1．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期中）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用和差角的三角函数公式求解判断ABC；利用二倍角的正弦公式求解判断D 【详解】对于A， ，A不是； 对于B， ，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：BCD 3．（25-26高一下·江苏·月考）的值为______． 【答案】 【详解】 . 4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）_________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 考点 06 给值求值问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先判断角的范围，求得，再根据正弦定理确定的大小关系，从而判断角的范围求得，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算． 【详解】∵，∴为锐角， ， 由正弦定理，得， 所以，故为锐角， ∴， ． 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可； （2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性. 【详解】（1）因为角的终边过点，且， 则，， 所以. （2）因为， 又因为，则， 若，则； 若，则. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解； （2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值. 【详解】（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：， 由，代入得： 解得（为锐角，舍去），故， 由二倍角公式：. （2）因为为锐角，所以，由得： ， 因此. 由，代入，： ，解得. 所以. 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）（1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角和的余弦公式，求出结果即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角差的正弦公式，求出结果即可； 【详解】（1）因，，则； 又因，是第三象限角，则． 故． （2)，，， 因，则， 所以 ； 考点 07 给值求角问题 1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 4．（25-26高一上·安徽六安·期末）若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值； （2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以； 由正切和角公式：. （2）因为，，所以. 又因为，所以. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，，再代入计算可得； （2）首先求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 考点 08 三角形形状的判断 1．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 2．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【详解】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 3．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 4．在中，若，则的形状______． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】因为， 由可得， 即， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 5．（25-26高一下·上海·期中）在中，内角、满足，则为________. 【答案】锐角三角形 【分析】根据正切值的正负性可得、均为锐角，利用三角恒等变换可得，可得角为锐角，即可判断三角形形状. 【详解】因为，且， 则，，可知、均为锐角， 又因为，且， 所以为锐角，故为锐角三角形. 考点 09 三角函数与三角变换的综合 1．（25-26高一下·江苏徐州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，故. 2．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是___________. 【答案】 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知向量，，，设函数 (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式和三角恒等变换化简得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解； （2）参变分离转化为函数的最值问题求解. 【详解】（1） ， ， 由，得， ， 故的单调递增区间为. （2），恒成立，即，恒成立， ，，， ，， ，所以实数的取值范围是. 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）设函数． (1)求的值； (2)求方程的最小的9个正实数解之和； (3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为，，设，分类讨论的最小值，进而得出的最大值． 【详解】（1）， ． （2）已知，由（1）知， ，即，解得或， 此方程最小的9个正实数解之和为：． （3）已知恒成立，即恒成立， 设，则有，， 设， ①时，要满足题意则需，即， ，即； ②时，要满足题意则需，即， 设，则， ，即，整理得， 要满足题意则此不等式有解，即，解得， 当，时取等号， 综上所述，的最大值为2． 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）由时，，整体代换求解函数的值域即可. 【详解】（1）化简函数 所以， 令, 得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，， 因此， 故在区间上的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 考点 01 两角和与差的三角函数 考点 07 给值求角问题 考点 02 二倍角公式 考点 08 三角形形状的判断 考点 03 辅助角公式及应用 考点 09 三角函数与三角变换的综合 考点 04 三角恒等变换的化简问题 考点 05 给角求值问题 考点 06 给值求值问题 考点 01 两角和与差的三角函数 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 考点 02 二倍角公式 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏徐州·月考）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏常州·期中）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·期中）下列表达式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点 03 辅助角公式及应用 1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知平面向量，，其中，则最大值与最小值的和是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 4．（多选）（25-26高一下·江苏盐城·月考）函数，下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数关于对称 D．函数在上单调递减 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则______． 7．（25-26高一下·江苏淮安·月考）将化为形式，其中，则_____ 考点 04 三角恒等变换的化简问题 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数，当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海·月考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 4．（24-25高一下·北京西城·期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点 05 给角求值问题 1．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期中）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏·月考）的值为______． 4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 5．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）_________． 考点 06 给值求值问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）（1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 考点 07 给值求角问题 1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽六安·期末）若，，并且，，且，则的值为______. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 6．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 考点 08 三角形形状的判断 1．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 2．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．在中，若，则的形状______． 5．（25-26高一下·上海·期中）在中，内角、满足，则为________. 考点 09 三角函数与三角变换的综合 1．（25-26高一下·江苏徐州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是___________. 3．（25-26高一下·江苏·期中）已知向量，，，设函数 (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）设函数． (1)求的值； (2)求方程的最小的9个正实数解之和； (3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 5．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $