第七章 复数（拔高练）-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

进阶 第七章 复数 7.1复数的概念 7.3”复数的三角表示 ④7.2复数的四则运算 1.(2023·江西吉安高一期末)已知复数z= 知识点一》复数的加，减运算及其几何意义 2n 2 C08 +181n 2023 2023则(2-1)(2-1）.. 证明：等式1名1+212+1名1-212=21z112+21212 (22-1)= ( 对任意非零复数1,2都成立，且1≠入a2(入≠ A.2022 B.2023 0,入∈R),并给出这个等式的一个几何意义 C.-2022 D.-2023 2.（多选)(2024·山东省实验中学高三月考) 已知方程x”=1在复数范围内有n个根，且 这n个根在复平面内对应的点n等分单位 圆.下列复数是方程x=1的根的是( A.1 B.i G 22 D.cos40°+isin40° 3.n为不超过1996的正整数，如果有一个0， 使(sin0+icos0)"=sinn0+icos n0成立，则 满足上述条件的n值共有 个 4.已知1z11=1z21=1,且1,2满足5z1+5z2= 4+3i当a1,32的辐角分别为01,02时： 知识点二》复数的乘、除运算 (1)求tan(0,+02)的值： 1.设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).已知关于x (2)求证：2++12=0. 的方程f(x)=x有纯虚数根，则关于x的方 程ff(x)=x的解的情况，下列描述正确 的是 () A.方程只有虚数根解，其中两个是纯虚数根 B.可能方程有四个实数根的解 C.可能有两个实数根，两个纯虚数根 D.可能方程没有纯虚数根的解 2.已知k+2个两两互不相等的复数名1,2，…， 4,01,102,满足01-W2= -,且10-z.|e 101-1 {1,3},其中j=1,2;a=1,2,…,k,则k的最 大值为 A.3 B.4 C.5 D.6 O4黑白题数学1必修第二册·RJ 进阶 第八章 立体几何初步 8.1基本立体图形 A.四边形ABCD的面积为14 1.多面体的欧拉定理：简单 多面体的顶点数V、棱数 B与洞向的单位向量的坐标为（子）】 E与面数F满足V+F- C.AD在AB上的投影向量的坐标为 9 E=2.请运用欧拉定理解 12 决问题：碳60(C0)具有 超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁 D.I3PA+PB1最小值为13 性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构 十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所 示，碳60(C0)的分子结构是一个由正五边 形面和正六边形面共32个面构成的凸多面 体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位 (第1题) (第2题) 置，则32个面中正五边形面的个 2.(2024·湖北武汉华师一附中高一期中)如 数是 图，已知△A'B'C是水平放置的△ABC用斜 2.（2024·河北保定高一月考)如图，在圆锥 二测画法画出的直观图，A'B在x'轴上， S0的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B B'C'与x'轴垂直，且BC'=4,则△ABC的 在圆0上，且∠BAC=30°，OA=OS=√2，D 边AB上的高为 为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为 8.3简单几何体的表面积与体积 1.（2024·吉林通化高一期末)已知正三棱柱 ABC-A,B,C,与以△ABC的外接圆为底面 的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的 A: 高的比值为 () A.√5+1 B.5-1 A写 B.3 C.5+1 2 D.5-1 2 c D.43m 9 8.2立体图形的直观图 2.(2024·河北张家口高一期末)若分别以锐 1.(多选)(2023·浙江温州高一期中)如图所 角△ABC三边BC,AC,AB所在的直线为轴， 示，四边形A'B'CD'是由斜二测画法得到 旋转得到几何体的体积分别是Vc,VAc, 的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其 VB,且Vac:VAc:VB=2:√6：3，则△ABC 中，A'D'=5,CD'=CB=2,点P'在线段 最大内角的余弦值为 CD'上，P对应原图中的点P,则在原图中 6 6 下列说法正确的有 A. 24 b.2 24 进阶突破·拔高练5第七章复数 -(停)(}）1成立放c正确： 7.1复数的概念+7.2复数的四则运算 由于(c0s40+isin40°)3=(e%40°+isin40)2(es40°+isin40)= (cos240°-sim240°+2isin40°cos40°)(c0s40°+isin40°)=(c0m80°+ isin80°)(c0s40+isin40)=cs80°e0s40°+io0%80sin40°+ 知识点一复数的加、减运算及其几何意义 isin80°cs40°-sin80°-in40°=eos(80°+40°)+i(e0s80°sin40°+ 证明：设1=a+bi(a,beR),=c+fi(c,deR).则：1构=(a+c)+(b+d)i. -=(4-c)+(b-d)i,由复数模的定义可得11+12+1-22= m80e40°)=120°+in120°=-号+2，故D正确故 (a+e)2+(b+d)2+(a-e)2+(b-d)2=2(a2+2+2+2),2112+ 选ACD 2212=2(a2+h62)+2(2+2)=2(2+62+c2+d2),11+12+l31-3.498解析：(sin0+icos8)=[i(cos6-isin0)]"=i(cosa0- 2=21:112+222 ixin ne)=i(sin ne+icos ne),(sin 8+icos 8)"=sin na+icos ne. 几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和， ..i(sin ne+icos ne)=sin ne+icos ne..sin na+icos n0...i= 知识点二复数的乘、除运算 1,n=4k+1(去∈Z).即不超过1996且被4除余1的正整数都符合要 1.A解析：a,b,cER)=r2+r+e.关于x的方程八x)=x有纯虚 求，这种数共有498个. 数根，设纯虚数根为x=mi(meR,m≠0)，则有f(mi)=mi,即 43 4.(1)解：设，=es+iim8西=606，+iein,则根据a1+场=5+5i, -am2+e+bmi=mi.可得e=am2,b=1,a≠0、f八x）=x2+x+am2.方程 八x)=x化为x2+m2=0,方程有两个纯虚数根为x=±mi.方程 e01+tos%=5’ 代八x))=x化为a2x3+2x3+2(a2m2+1)x2+2m2x+a2m+2m2=0. 即 整理得(2x2+2r+2m2+2)(x2+m2)=0,于是得x2+m2=0或 0,920-4.2② a2x2+2ar+a2m2+2=0,因此方程ff（x)=x有两个钝虚数根x= sin 0 tsin 5 2sin-2 ±mi.而方程a2x2+2ax+a2m2+2=0中.4=4a2-4n2(a2m2+2)= 0+023 -4a2(a2m2+1)<0.因此方程a2x2+2x+a2m2+2=0无实数根， 2+0得.an24 4 有两个虚数根x:-L士m+,不是纯虚数根，所以选项A正 六m(8,+82)=7 确，选项B,C.D均不正确，故选A (2)证明：1·2=6os(0+0)+isin(0+4）,+号+·=(+ 2.C解析：设u1=a+i,a=e+di(a,b,c,de 为-又（)得m()=石8)归若 4 R.听-6-西（西-西）(0 a*-(传)广(3尝）- m2)=4.即[(a-e)-(b-d)i门·[(a-e)+(6 d)i门=4.化为(-0)2+(b-d)2=4,故01，仙 第八章 立体几何初步 对应平而内距离为2的点，如图中点F G.1斯∈1,3引，。与仙1，仙2对应点的距离为1或3，构成了 8.1基本立体图形 点A.B,C,D.E共5个点.故k的最大值为5.故选C. 1.12解析：由题意可知V=60,F=32,由V+F-E=2可得E=90. 7.3° 复数的三角表示 设正五边形的个数为，正六边形个数为y.则x+y=32 1B解桥2四(o品总 2四 =%2m+i*in2行=1，又因 ?一条棱连着两个断，足球娇表面的酸数=子(5x+6)=90, 为关于x的方程x22-1=0的根为1，，2，…，2四.而x2@-1=(x 1x+y=32 1)(x)(x-2)·(-2四).故(x)(x-2)·…·(x-2应)= 联立1 (2(5+6y)=90 解得/2 即32个而中正五边形而的个数 y=20, x203- =1+x++x2四，令x=1.可得(1-)(1-2)…·(1-2@)= 是12.故答案为12. x-1 1+1+…+12m=2023,且2022为偶数，所以(：-1)(2-1)·，· 2.A解析：由题意可知：AB⊥BC,AC=22,BC= (2m-1)=2023.故选B. 2,AB=V6,SA=SB=2,将△4BC,△S4B绕AB 2.ACD解析：方法一：由于x=1的n个根在复平面内对应的点m等 旋转至同一平面，如图所示，可知当且仅当8，D, C三点共线时，SD+CD取到最小值取AB的中 分单位周，因此x”=1的各个根在复平面内对应的点与原点的连线 点M.连接SM.可知SM⊥AB,可得SM 与x轴正半轴所成的角依次是0°，40°，80°.120°，160°，·，320°.由 =1可得1x91=1x9=1,即|x1=1.结合三角函数的定义可得 sBe-An 2 .simnLSBAS 2 SB 4 x1=cos0°+isin0°，x1=c0s40°+isin40°，3=c0s240°+isin240°.故 选ACD. 4 方法二：由于1”=1成立，故A正确：”=≠1.故B错误： 在△SBC中，由余弦定理可得SC=SB2+BC2-2SB·BCs∠SBC= 由题可知x”-1=0,即(x3-1)(x+x3+1)=0.令1=x3,则(1-1)(2+1+ 6+25.即SC=√5+1，所以SD+CD的最小值为5+1.故选 1)=0. 解得=1或1=1+3，即=1或2=1+国 8.2立体图形的直观图 2 1.AB解析：由题图可得，四边形ABCD为直角梯形.且AD=5.CD=4. ()-()'-()(片) BC=2,则四边形ABCD的面积为2+5)X4=4,故A正确： 2 参考答案黑白题093