6.4 平面向量的应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019)

直角三角形，且0为4B的中点.则A=u=了A2加2=子，故A错： 设B=ABi+1-A)B励，Bi=μ成，其中A,4∈[0,1] 对于选项B:由动-}d得3动-d,d成，所以d动-d-动， 因为配=i记=+2励所以=r成μ+之励， 2 C-Cd,则C=+0成，故0为△ABC的重心，又因为0为△ABC的 所以 3 1解得〈 外心，所以△ABC是等边三角形，故B对： 1-A=2, 2 故网：号+兮励：号花 3 对于选项C:若Ci⊥A,可得CA=CB,则A=4,故C对： μ3 对于选项D:若A>子>了则A>1,放点0在△C外，则 △ABC为钝角三角形，故D对.故选BCD. (2)因为四边形ABDC的面积为)×(2+4)×2=6，所以△ABE的面 8.3解析：取BC边上中点为0，则A01 BC,以点O为坐标原点.分别以BC,OA所 积为3设=a,则5a宁2a=3,解得a=3,则成：励 在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系， 则A(0.5),B(-1,0),C(1,0),因为点P 是正三角形ABC三条边上任意一点，不妨 假设点P在边AB上，侧存在实数x,使得 压轴挑战 A币=x(0≤x≤1).因为店=(-1，-3).所以市=(-x,-3x).则 C解析：对于①：若a=(2,4).b=(3.5),则2C3所以4<b,故 i=(,3x).P=(x-1,-3).P元=(x+1,3x-3).所以Pi+ 4<5. ①D正确： Pi+P元=(3x,33x-25),故1+Pi+P元1=√9+3(3-2)下= 对于2：取a=(1,1),b=(-1,-1),4=-1,A=2,满足a≥b,则a= V(3 (-1,-1),Ab=(-2.-2).满足a3Ab.但<A.故2错误： 对于3：若a2b,则≥2且y1>2,设c=(x00),则a+c=(x1+x, 当=之时，可成+的最小值为，5.故答案为 +o).b+e=(与2++o).可知≥所以(a+e)≥ y+yo>2+3o. 9.2-2√2解析：易知AF⊥AB.以点A为坐标 (b+c),故3正确： 原点，分别以AB,4F所在直线为x,y轴.建立如 对于④：取a=(-2,-2),b=c=(-1,-1),可知a<b,但a·c=4, 图的平面直角坐标系，正八边形内角和为(8 b·c=2,即a·c>b·c.故④错误.故选C. 2)×180°=1080°，则∠AB= 8×1080°=135， 6.4平面向量的应用 所以A(0.0),B(2,0),C(2+2,2),E(2,2+ 6.4.1平面几何中的向量方法 22).F(0,2+22).H(-2.2),A正=(2,2+22)，A=(0.2+ 白题 基础过关 22).Ad=(2+2,2).因为=Ad+红A市，则(2,2+22)=A(2+ 22)u(0,2+22).所以2=(242)A, 解得A=2 1.A解折：如图所示，由题意可得：（心办：（亦， (2+2W2=2A+(2+22)μ. 衣2，=即？ 19 ,解得AC=5故选A 2.4=22-2,所以A+μ=√2：设P(x,y),则-2≤x≤2+2，A币= 4 (x,y),亦=(2,0)，则币.=2x≥-22，所以.当点P在线段GH 上时，AP·AB取最小值-22.故答案为2：-22 10.(山)解：在成方向上的投影向量为.成 0亦=2×1+0x3 102 12+(3)2 2.35解析：由题意可知1D1=1房1=6，〈i.E)=60°，则D· u5=(分)】 函=66x子=1区因为点V是极的中点，点N是DE的中点，期 (2)证明：因为0元=(1-A)Oi+a0成.则0元-0=A(O成-0i). N=N市+i+ii=N+E房+i=-N+E-.两式相加可得 即AC=AA店，又AC与AB有公共点，所以A,B.C三点共线。 2Nd=D+E.则4N=(D+E求)2=D+2D,E店+E2=36+ 10元2=0心=(1-A)20+A20亦+2(1-A)a0.0成=4(1-A)2+ 36+36=108.即N亦=27.所以1N1=35.故答案为33. 3.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方 444-A=4a2-a+1D=4(a）广+，当A=时.0成 形的边长为1.DP=A(0<入<2).则A(0.1) 的最小值为万」 r(.号）)r(经.o 11.证明：令B武=a,C=b为一组基底由已知可得瓦=a,C=mb. A店=Ad+C=-a-b不=n店=-a-nh=成+成=(-1)a b①，Bi=B成+Ci=a+mb②，C=di+不=-na+(1-a)b③. 把①23代人d+B+C=0,则有(-n)a+(m-m)b=0.根据平面 向量基本定理，有-n=m-n=0.故l=m=m 12.解：(1)由题意可得AC⊥AB,AB⊥BD,因为1AC1=,0A=0C,所 mi=√(+（受=v2*. 以BC1CD,因为元=(2，-2)，店=(2,2)，所以1话1= Ad=2+2=2.B=√4+4=22.1B1=√8+8=4.所以 =√（停-1·(=-2. 励=2花-+成-+。励=+花 PA=EF. 必修第二册·RJ黑白题012 4.A解析：在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,E是边CD的中：6.解：(1)在A'的左侧，理由：如图①，8=120时，游船水平方向的速度 点亦=成正=+成=市+)店，=亦-店子市-破 大小为1,1eos(180°-0)-21=1(kmh),方向水平向左，故最终到 达北岸时游船在A'的左侧。 店.成：(+)·（号市-应)）号亦应 8c0LBAD=4..coLBAD= 2 5解：(1)设店=a,花=6，则而=破+励=访号配=访（花 (2)如图2，若游船能到A处.则有1，=书，1c%(180-0), 1212 2x3 6+号=号x9+2x号x3x3xm120+gx9=3 ,此时游船垂直于江岸方向的速度11=v,1血8 5 AD=3. d21 2v工(km),时间1可42(b (2)设∠D4C=B.则向量D与AC的夹角为B 6.4.3余弦定理、正弦定理 2 ·b 2 市，花 3 第1课时余弦定理 IADIIACI 3×3 35 白题 基础过关 1.A解析：在三角形中，已知两边及其一边的对角.可用余弦定理列出 3 3 ×3x3xs120P =0..0=90°，即∠DAC=90 第三边的方程，解方程得第三边，故A说法错误，符合题意： 33 余弦定理反映了任意三角形中的边角关系，它适用于任何三角形，机 6.证明：设店=a,A元=b,Ai=e,Di=c,Dd=d,则a=e+c,b=e+d, B说法正确，不符合题意： a2-b2=(ete)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d. 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边 由已知得a2-b3=e2-d,.c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2.即e·(c- 的问题，故C说法正确，不符合题意： d)=0BC=Bi+D=d-e.Ad.B成=e·(d-e)=0. 当夹角为0时，余弦定理就变成了勾股定理，故D说法正确.不符 合题总故选A. 市1B成，即AD⊥BC 2.B解析：因为B=120°，所以2=a2+c2-2 aceos B=a2+e2+ac,所以 6.4.2向量在物理中的应用举例 a2-b2+c2+ac=0,故选B. 白题 甚础过关 3.C解析：如图所示，D是BC边的中点，BC=4. .BD=2 1.A解析：因为一果飞机向西飞行400km.再向东飞行500km,则飞 在△ABD中.由余弦定理可得AD2=AB2+BD2 机飞行的路程s=400+500=900(km),位移为向东100km,所以1a1= 2AB·BD%B=12+22-2×1×2×c0%60°=3.∴.AD= 100km.所以s-1a1=900-100=800(km).故选A. 2.D解析：因为F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F1=(4,-3),所以F1+ 3.故选C F2+F3=(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)=(-1.-2).想要质点恰好达到 4.B解析：由余弦定理a2=b2+e2-2 bceos A可得 平衡状态，只需F,=-(-1,-2)=(1,2).故选D. BC2=1243-2XX3x名5，放C=5放选B 3.D解析：选项A.B表示的是向量（诡度），选项C,D表示的是向量 模的运算（速度的大小），1"，1+1v,1表示的是某人睛自行车顺风行驶 5.BD解析：·AB=AC+1=8,·.AC=7,由余弦定理得AB2+BC2 时的速度大小，，|-2表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度 2AB·BCmB=AC2,即64+BC2-8BC=49.解得BC=3或BC=5:经 检验，均满足题意放选BD 大小故选D. 6.AD解析：由余弦定理，得AC2=BC+AB2-2BC·AB·cmsB,即1= 四重难点拨 速度，加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而 BC2+3-2BCx5×5.解得BC=1或BC=2 2 运动的叠加也用到向量的合成， ①向量在速度，加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算船决 当BC=1时，此时△ABC为等腰三角形，BC=AC,所以A=B= 6 向量何题，最后再获得物理结果 ②2用向量解决速度、加速度和位移等同题，用的知识主要是向量的 当BC=2时，AB+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形，所以A仁2 加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解 放选AD 3b 4.C解析：根据力的平衡，F:,F2的合力为C。 1.A解桥：由a:6:c=3:2:4可得a=2,e=26,由余弦定理可 如图所示，由于1F,=IF2I.且F,,F2的夹角 9%2 为120°，则△4CB为等边三角形，则∠AGB= 60°，则F,与重物重力G之间的夹角为180° 得esC.2+2-2462-462 2ab 36 1故选 4 60°=120°.放选C 27 5.解：(1)根据题意，F,=5i+3=(5.3).F: 8.C解析：在△ABC中，由(a+b)2-c2=ab,得a2+62-2=-ab,由余弦 =-2i+=(-2,1),=(12,15),故F,对该质点做的功W,=F1· 定理得m6发之子商01圆所收C-优生 店=60+45=105()：F2对该质点做的功W2=F2·A店=-24+15= -9(J). 9.C解折：因为c=3a,且62=2c,由余装定理可得sB=+e2- (2)根据题意.F1,F2的合力F=F,+F2=(3,4),放F1,F2的合力F 对该质点散的功甲=F·A店=3x12+4×15=96(J). 心4od.号放选C 6a2 参考答案黑白题013 10,2 解析：设顶角为C,周长为：1=5c,a=b=2r,由余弦定理 2cmB,所以9=4242-22ce…m写，即2e21,所以c=35, 得msc.22-e242+42-心27 则a=63,所以△ABC的周长为a+b+e=93+9.故答案为93+9 2ab 2x2c×2e8 1.B解析：由2a·csB=e以及余弦定理得2n·2+2- 7.0<A≤牙解析：在△ABC中，由公+2-m2≥c及余弦定理，得 -■c,化简 3 ≥2而0<<，解得0<4≤牙，所以A的取值范国 2+e2-a21 得a=b.所以三角形的形状一定是等稷三角形，故选B. cos A= 12.A解析：由2an-b=2cosB,根据余弦定理，得2m-b=2· 所以-ab,所以mG=ce(0,).所以c 是0c1≤行故答案为01≤号 8.解：(1)在△ABC中，根据余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,即4=16+e2- 于，所以4+B=票因为mA+m肩=1，所以=4+=( 3 4W3e,得c=2W3,所1以AB的长为23. (2)在△ABC中，AB=23,AC=2,BC=4,可得AB2+AC2=BC2,所 2w4 2cos A+sinsin A=co 2 sin A=1. 以AB⊥4C,点D,E分别是AB,BC的中点，所以E=8C=2,CD= 4n41,所以血（1为4e(0).所 ADAC =J.AM=2AE=CM=CD =27 4 3 3,所以 以=所以=从面== 3 .所以△ABC为等 3 COs LAMC-AMPCAF-AC 边三角形，故选A 2M·CM=14 四重难点拨 压轴挑战 1.D解析：设CD=2BD=2m>0, 利用余转定理解三角形： 则在△ABD中，AB2=BD2+AD-2BD·ADs∠ADB=m2+4+2m (1)已如两边及夹角时，先用余弦定理魂立关于第三边的方程，求出 在△ACD中，AC2=C2+AD2-2CD·ADos∠ADC=4m2+4-4m. 第三边， (2)已知三边时，一般先用余弦定理的挫论求出最大角的余弦值 所以4C4m2+44_4(m+4+2m）-2(1+m）。412 Bm2+4+2m m2+4+2m (3)已知两边及一边的对角时，可以利用余弦定理求第三边长， (m+1)+ m+1 12 黑题 应用提优 子=425，当且仅当m+1=3 即m=3-1 1.AGD解析：依题可得m24+c- =eas A.2sin Acos A=cos A, 2/(m+1)· m+1 则40或血4：宁因为Ae(0,.所以4：后成号或后故 时，等号成立，所以当C取最小值时.m=厅-1.所以m=月-1.故 AB 选D. 选ACD. 2.(0,2)解析：因为a+1<a+2<a+3,所以此三角形的最大边为a+3, 2.BD解析：根据余弦定理可知a2+2-b2=2ac0sB,代人(a2+e2- 设此边所对应的角为心，则a为钝角，由余弦定理可得csa= 6)nB=原c,可得2amsB.血B-3c,即血B=5因为0 (a+1)2+(a+2)2-(a+3) eos B 2 -<0,即有(a+1)2+(a+2)2-(a+3)2<0,整 2(a+1)(a+2) B<,所以月=号或B=故选D 理得a2-4k0,解得-2<a<2又因为4+)+a2)>0+3.即a>0,所 3.B解析：b.e是方程x2-26x+5=0的两个根.4=24-20=4>0，则有 以4的取值范围是(0,2).故答案为(0,2). br=5,b+e=26,由余弦定理a2=b2+r2-2 beeos A,则有a= 第2课时正弦定理 e-2hA=,e)2-2k+c=√24g5=3i.故 白题 基础过关 选B 1.AC解析：由正弦定理可得mA,mB_nC,设nA.mB 4B解析：在△C中，之m号☒4则6=msA,由余弦定 6 2 2 血C=k,则m+nB_+地 =,故满足条件的为AC选项.故 理得6ec.+o2- ath -.整星得a2+b2=e2,则C=90°，所以△ABC是直 选AC. 角三角形故选B 2D解析：由正弦定理” 四方法总结 台r得a品合在△4c中，周为 1 解决别新三角形的形状问题，一板将条件化为只含角的三角面数的 0<sinB≤1.所以 B≥L,所以a≥inA故选D 关系式，然后利用三角屋等变换得出内角之偶的关系式：或将条件 化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系 另外，在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响， 3D解析：由可得血C=炉由正弦定理 in C=sinA→c 5.BC解析：在△4BC中，由余弦定理a2=2+c2-2eoA得a2=2+ ①44726.即-72+14-20，依题意，上述关于6的一元三次方 sin A 1 144-a2>0 程有两个不相等的正根，因此 4.C解析：因为a=3,A=60°，B=75°，所以C=45°是最小的角，所以 722 4=254144-a2)>0 解得8 △c中最小的边长为c,由正弦定理有DC的：会扇 12,所以a的取值可能为10,11，BC正确，AD错误.故选BC √23 22 6.95+9解析：已知6=9，a2,月=号，由余弦定理得=2- 得c=√2.故选C. 必修第二册·RJ黑白题014 52x 由正弦定理得46+c=b,即(a+h+e)(a+6-e)=b,整理得m2+ 22 ath-e 、5A解桥：由正弦定理可得CB放加B53 于A=60°.放0°<B<120°，故B=45°.C=180°-A-B=75°，故选A. 由余接我得mc:法号又0c 6.D解析：因为A+B=5C,且A+B+C=言，则5C+C=6C=T,可得C= 所以C-2放选入 3 6,由正弦定理 1*2 sin B sin C' 可得inB=inC 2 4 故选D. 3.B解折：因为asin B=n气A+号)由正弦定理得加AnB= 四重难点拨 血n(4+号）又因为B后(0，.可得0,所以A 利用正弦定理解三角形： (1)已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可 血(：号）之nA:号e4.可特nA=5mA,即mA=5, 以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可计算出三角形的另两边： (2)已知两边及其中一边的对角，首先用正弦定理求出另一边所对 因为Ae(0,=),所以A:号，又a=25,所以△4BC的外接圆的直 的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角” 径2R= 23 看能否判断所求的角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能 =4.可得R=2.所以△ABC的外接圆的半径 sin A T 到断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，别不 能判断，此时就有两解，再分别求解即可：然后由三角形内角和定理 为2.故选B. 求出第三个角：最后根据正弦定理求出第三条边， 4.AD解析：sin(B-A)+sin(B+A）=3sin2A,sin Beos A- 7.ABD解析：对于A.三角形中，已知三边，由三角形全等的判定知， coe Bsin A+sin Bcos A+cos Bsin A=3x 2sin Acos A.sin Beo A= 三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确：对于B,三角形中， 3 sin Acos A.当esA=0时，即A=T ，图为e=万，C=号，所以a 己知两个角及其夹边，由三角形全等的判定知，三角形的形状唯一确 mC3:当cmsA≠0时，imB=3mA,由正弦定理可得6=3a. e2√21 3 定，故仅有一解，即B正确：对于C,由正独定理52。可 息加合=气号因为>，则>，因为血尽=。2，结合正密 由余弦定理可得cC=b=2,3a=2,解得a=1.所 函数的图象可知B有两解，故C错误：对于D,三角形中，已知两边及 以a=1或a2y2T赦选AD. 3 其夹角，由三角形全等的判定知，三角形的形状唯一确定，故仅有一 解，即D正确.故选ABD. 5.D解析：由正弦定理可得6 ==mA=4三5.若6=4=4 8.D解析：△ABC有两解.∴.ACsin30°cBC<AC,.3<BCc23,故 5 选D. 则A=B,所以三角形的解只有一个，故A错误：若c=5.可得inC= 9.C解析：由正弦定理得inAx%C+sin Geos A=inC,in(A+ 1,又0°<C<180°，即C=90°，则三角形的解只有一个，故B错误：若 C)=inC,.sinB=inC.三角形内角和等于180°，∴.B=C,故选C. 10.B解析：因为bsin B=csin(A+B)-asin A,又sin(A+B)=sin(T- B=60,可得6：则A为锐角，三角形的解只有一个，故C错 C)=sinC,即bsin B=esin C-asin A,由正弦定理可得2=e2-a2,即 误：若C=45°，可得c= 2a,即445，又2 5v =sin45°<inAk1,所 a2+b2=2,所以△ABC为直角三角形且∠C为直角.故选B. 以A可以为锐角或钝角.则三角形的解有两个，故D正确故选D, 重难聚焦 6.B解折：设△C的最小内角为a,由正孩定理得品。品0整 a+6 1l.A解析：因为asB-bosA=c+,由正弦定理可得 sin Acos B-sin Beos A=sin C 4sinB 2a,由余弦定理得msa=a+3》2+(a+62-r 理得cma=+6 2(a+3)(a+6) 2a*6,所以96.+15 a+15 sin C=sin[(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+eos Asin B. +6解得a=2,则ma=故连B l sin Acos B-sin Beos A sin Acos B+cos Asin B+ m,即1.2 解析：由2 in Asin Beos C=in2C得2 abeos C=e2,又根据余 -2sin Beos A= inB,又Be(0,T),所以inB>0,所以esA= 弦定理可知c2=a2+2-2absC,2 abeos C=m2+62-2 abeos C,即 名故害人 =daleo C.dabeo C 2absc=2又mc=a2+b2-e 2ab 2+6203+6 思题应用提优 2 -+2261 2ab 4ab 产462，当且仅当a=6时等号成立，以0< 1,B解析：由题意可知，因为A+B+G=m,4+B=2C,所以C= 3 号放角C的最大值为号 G 又因为m4a3,焉以4(a号）所以血4手 8.解：(1)因为C-sin CinB=l,所以n2G-nG,inB=mr- cos-B-c0s"A 3× cos'A=1-sin'B-1+sin'A,sin'B+sin'C-sin'A=sin Csin B, 2 由正弦定用得 9 .故选B. sin A 2,放c 2 由正弦定理可得+2-a2=k,由余弦定理可得cA+2- 2be 3 4e(0).可得4号 1 asin B 2.A解析：由题意可知a+b+cmA+in-sinC (2)如图.延长AF交BG于点D,延长BF交AC于点E,延长GF 参考答案黑白题015 交AB于点P,AF=6,根据题意可得BC⊥AD ,所以∠EB=∠ACP= 折以BD29+二三=1.解得x=63, BE⊥AC,因为∠CAB= c04+x2-2W3x 5故答案为 5 设∠B=a,e(0,）在△F中， 4B解桥：依题意可得SA)enR)x1××号=公故 选B 由正弦定理可得 AF BF m∠EBAn∠EAB,即，”。、 可得BF= 四方法总结 1 sin a' 三角形的面积公式： 12na.同理.在△CA中，可得cF=12n(行·） 所以，=i[ma+血（号-a)小(ma受 2（a+be)r(共中r为三角形内切国丰径)=V风pbp可 n）2(行如e…小2m(a号）月 (共中p-）号(m24+m28+m20)=2r4恤B… sin C='sin Bsin C 因为ae(o,号）所以a+号e(行智)所以血(a） 2sin A (停小，所以+Fe(68,2 36指小m4妄宁商4e@ 压轴桃战 ,可得号血4 乞Sa4re=2 esinA=3.故选C ABC 解析：由正弦定理可得” 6.B解析：由·A花=2S,得ec%A=besin A,即csA=sinA,因 故ainB=22sinA=2. sin A sin B' 为sA≠0，所以A=1.因为0°<A<180°，所以A=45°.故选B, 因为△ABC有且仅有一个解，故a≥6或a=bxsin A=2, 由a≥b可得A≥B,由a=2可得nB=1,结合B为三角形内角可得B= 7B解折：m=子B后(0.)血B=个万：号 4 子放8(0]~侣}由正孩定理得a2【一(@， △ABC的面积为6= 2 desin B= 00c,解得ac=20.又y2b=a+e, 于）]小2*2 B 由余弦定理，可得b2=a2+e2-2acsB=(a+c)2-2ac- 5ac=462 sin B =2-2an e[4-22,2)U10,面 72.解得6=26.故选B. 22>2.4-20-；520,故420<<2，故选C 8.C解析：由余弦定理得a2+b2-c2=2 abeos C.又三角形面积公式5= 22 第3课时三角形中的几何计算 ac.放bmc=2gS又>0，b6>0.mC0.故C 4 白题 基础过关 1.即anC=1,又Ca(0.T).故C=45故选C 1.A 解析：在△BCD中，由余弦定理得C-BC+D-D .5疗解折：银据圆，由三角形的面积公式.得宁1Xam45e2。 2BC·CD 2教名，因为∠c=空所以G为能角，所以血C 4+4-17 解得e=42,再由余弦定理，得2=1+(4,2)2-2×1×42os45°= 25,,b=5,设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理，得2R= mBm4557,故答案为55. 5 10.w660 在△ABC中，osA=-m(C+∠ABC)=sin Csin∠ABC- 解析：因为∠ADB=120°，所以∠ADC=60°，S△c= cos Ccos∠ABC= 557x17435故选A 子0·c·m∠0c=2c=3-S,敌C=25-2.D 8x28*216 2.B解析：设∠BCD=,则∠ACB=3∠BCD=3,∠ACD=2 2DC=,5-1.根据余弦定理得AB2=AD2+B0P-24D·0s120P= 在△4CD中，由正孩定理，得0 CA sin 2a sin ZADC 4+4-2w3+23-2=6,故AB=6.在△ADC中，AC2=AD+GD2- 24D·CDs60°=4+16-83-4√3+4=24-123，在△4CB中 在△BCD中，由正弦定理，得BD。 CB sin a sin∠BD BC2=AB2+CA2-2AB·CA0s∠BAC,即(33-3)2=6+24-123 CA CB 又因为AC=BC,∠ADC+∠BDC=T,所以 in∠ADC sin∠BDC 26×V24-125∠BC,所以m∠BC=.所以∠B4C=60, 所以D。BD AD sin 2a=2cos a. 故答案为v6:60 即 sin 20 sin a'BD sin a 黑题应用提 又因为4而=5成，所以” 5 5 D2a=手，放a8 1.AD解析：A=5.AC=1,B=石，由余弦定理得AC=AB 所以mL40-2a=2c1-221:梳tB BC2-2AB·BC·%B.∴BC2-3BC+2=0,BC=1或BC=2. 3 3.6v3 六由△C的面积公式8比=之，AB,BC·血B得SA医= 5 解析：依题意，设AD=x,因为AD是△ABC的角平分线，所以 3 ，∠BAD=∠CD=7∠BAC=30°，且CDAC2, 1 或SAm=之，放选AD. 2.B解析：由余弦定理可知2=a2+2-2abwC=32+12-2×3×1× 在△ABD中，由余弦定理得BD2=9+杠2-6%30°=9+x2-3w3x 在△ACD中，由余弦定理得CD=4+x2-4x%30=4+x2-2√3x, (号）12.即c-26汉mG=寸ce0a)则c- 3 必修第二册·RJ黑白题016 2sin Acos A=2sin Acns B-C)-2sin Acos(B+C)=2sin A[cos(B- 3 C)-cos(B+C)=4sin Asin Bsin C= 2 子，所以血Asin Bsin C=6 又△c的而积5ac子·，即，万=号×25k,解得6= ,故 1 选B. 段AC外接圆的半名为多2C b AC CD 3.C解析：设∠C4D=0.在△4CD中，由正弦定理可得 ① sin LADC sin 0 sin C=2 ·inA·inB·sinC= 上故容案为 由AB⊥AD可得∠BD=T」 2,则∠MC= 2-8,∠AGB=T-∠ABC- 7.解：(1）因为2n2A所以2=20即 3m sin B sin B sin A ∠BAC=m- 0=0牙在△ABC中，由正弦定理可得 42 血B=mA因为A,B.C为△BC的内角，所以A:B=或月-A AC sm∠4cmZA0B②. AB 因为C=石所以4+B=一G=气+B=号不合是多，合去） 2 5 3π 6 ①②两式相除，得m∠ABC_GD.sinLAC sin 4 ,即 sin∠ADC AB sin 0 3, 而B-4受所以B= 61 sin 6 （2)由()可知，B-4受攻4+B=受当B-4=受时，有B=+ 2” ,整理得in8=2cosB,化简得tnB=2,故nn∠CAD=2. 这与△ABC不是纯角三角形相矛盾，不合题意，含去：当A+B=T 2 sin 故选C 时，G=Σ，所以△ABC是直角三角形，所以a2+=2,即a2+8=1 4ACD解桥：在△ABC中.b=rmA.b=ex2- ,整理得2+ 而Sac=2 b,因为1=a2+b2≥2ab,所1以b≤ 2 当且仅当a= =2C=受由=倍角公式mLB4C=2om∠C0-1 1 ,解 6=时等号成立 .又a>0.b>0,所以ab>0,所以0< 3 3 2 得cs∠C4D=子在△AGD中，AC=AD∠CD= 车，故远 3 △ABC面积的取值范围是(0，年于 AC 4 项A正确：在R1△ABC中，则AB= =6,故选项B错误： 压轴挑战 c0s∠BAC1 解：(1)在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB+AD2-2AB·ADeos a= 20-16ea,在△BCD中，由余弦定理.得BD2=BC2+CD-2BC· 由题意可知∠CAD=∠BD,即sin∠CAD=in∠BAD,由 SAACD SAAD8 CDeos B=8-8osB.所以20-16csa=8-8osB.所以8(2csc-cosB)= 3 cD·AC)AC·AD·sin L CAD 2 解得D4C。1 12,2cos a-cos B=- 2 2BD·AC24B·A:s血LBD 'DAB8,故选项C正 (2)由题意知S=子·A0n∠D=4加a,S=子C CDsin∠BCD=2sinB.所以S号+S=16sim2x+4sin2B=16(1-cos2a)+ 确：在△ABD中，：s∠BAD= 4sin∠B10=V√/1-sB1D= 41-m四g=20-16a-4om2A.由（知，2sa-mB=子，所 7 1 7_37 子Sam2MD:AB·in 2BAD=之X1x6X ,故选项 44 以o一B=2am&-子mae(行1）所以+号=20-16oa 3 D正确.故选ACD. 5.√3解析：因为2%B=asA+asC, 由正弦定理得2 sin Beos B=sin Coos A+sin Acos C, 整理得2 sin Beos B=sin(A+C),即2 sin Beos B=sinB. 所以当sa=令时，s+号取得最大值，最大值为引 因为0<B<m,所以inB≠0.得csB= 2则B=3 第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 3 白题 基础过关 因为Sac=2ucsi血B=ae=3,所以ac=4 1.A解析：因为∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠ABC=30°，根据正 如图.设AC边上的中点为E,在△BAE中，由余 弦定理可知，2G原0 AC AB AB 弦宠理得能一（台）厂-·宁小 in30en45a,解得4B= 502m,故选A 又w4=6r2-a2 2c,所以E=c2+ 2.D解析：因为∠ADB=135.∠BDC=∠DC1=15,所以∠ADC= 150°，∠DAC=∠DCA=15°，所以AD=CD=80.又因为∠ACB=120°， 6b2+e2-a2-62+2c2+2m2 2 所以∠BCD=135°，∠CBD=30°.在△BCD中，由正弦定理得 2he 4 由m=得a-=a,所以Be2=≥-3. BD CD 2 4 4 in∠BCD sin.∠CBD,所以BD= =802,在△ABD中，由余弦 1 当且仅当a=e=2时取等号，所以AC边上中线长的最小值为5故答 2 案为5 定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDo∠ADB=802+(80√2)2-2×80× 6.,二解析：因为2 sin Acos(B-C)+sin2A=2 in Acos(B-C)+】 802× √2 2 =6400x5,所以AB=80v5.故选D 参考答案黑白题017 3 解析：在B△ACD中，∠CAD=45,CD=20m.则AD=20m. m(停x对三号）m(a,6)a则地度的位置在A 在R1△BCD中.∠CBD=30°，CD=20m.则BD=20W3m 地正东100(2+√石)km故选C 在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD+BD-24D·BD·cos∠ADB= 2.A解析：因为∠MAV=∠BAN=30, 2 ∠ABM=60°，所以△ABM是等边三角 202+(203)2-2×20×205× =2800.解得AB=20w7m.所 形，BM=2千米.记直线AV与直线BM的 以步行速度为20w7÷60=7 7 交点为O,如图，∠AOB=180°-∠BAN- （).故答案为 ∠ABM=90°，所以AN⊥BM,D为BW的 4.B解析：在△ABC中，∠ACB=30°，∠BAC=75°-30°=45°，BC=60, OB 中点，所以△BMN为等腰三角形，BN=MN= eos∠NBMc0s75o 则∠ABC=180°-450-30°=105°，sin1050=in(60°+45)= √32 22 又60s75■0%(45°+30°)= 23巨x1.6-巨所以N= 222X2 4 BC 60xv6+v3 1 AC 4 =(6+W2)千米.故选A 因为 4 in∠B4 Csin LABC,所以AC= 6-√2 4 2 3,B解析：在△ABC中，AB=100,BC=35,∠ACB=53.2,因为 30(5+),所以气球的高度为AC·n∠ACB=30(5+1)×2 in53.2°=0.8，所以%53.2°=0.6.由余弦定理得AB2=CB2+ CM2-2CA·CB·%53.2°.所以1002=352+C12-2CA×35×0.6→CA2 15(3+1).故选B. 42CA-8775=0→C4▣117或CA=-75(合去）.因为135-117=18.所 5.322解析：因为在△BAD中，∠DAB=75°，∠ABD=45°，AB=96m, 以AnA=I8mm.故选B 所以∠ADB=180°-75-450=60°.由正弦定理得 AB 4.AD解析：如图，连接A,B2,依题意，A1A2=25× in∠ADB im∠hD卿6。 AD ,解得AD=326m.在△ACD中，∠CAD= =5(海里)，而B4=5海里，∠4B, 60 60°，则△A,4,B1是等边三角形，∠AA,B2= 22 60°，A,B=5海里.在△A,B,B:中，∠B1A,B2= 30°，所以CD=ADan30°=322m,即塔高CD为322m故答案为 45°，A:B,=52海里，由余弦定理得B,B2= 322. /A,B+A,B房-2A,B,·ABc%45°= AD AB 6.C解析：如图.在△ABD中，B=45°，由正弦定理得 sin 45 sin 60 √(52)2+5-2x52x5x 2 =5(海里).且有∠A,B,B:=45°，所以 126=242,所以A0=24海里 3 乙船的行驶迷度是2=25（海里时），A正确，B不正确； 2 60 在△ACD中，由余弦定理得CF= 延长BB,与AA2的延长线交于点0，显然有∠A,B,B,=90°， AC+AD-2ACxADxcos 30. 即AB1⊥0B,0A1=10海里，0B2=53海里，0B1=5(3+1)海里， 因为AC=123海里，AD=24海里，所以 CD=12海甲 759 甲笔头出发到点0用时，一号（时）.乙每从出发到店0用时 CD AC 由正弦定理得 in30° in∠CD解 4=53+.3 25 5(时)，44，即甲船先到达点0，所以甲，乙两船 不可能相遇.C不正确，D正确.故选AD 得in∠CDA= 2,故∠CD=60或∠GD4=120 2 因为AD>AC,故∠CDA为锐角.所以∠CDA=60°，此时灯塔C位于游 m120m9得仙= 5,A解析：在△BCD中，由正弦定理得，BD sin 轮的南偏西60°方向.故选C 故BD路段用时= 7.A解析：因为∠BAD=15°，∠BED=45°，所以∠ABE=30°， mg因为∠BC=180-(0+120),则 在△E中由正孩定理料F解得能=3石-)米 DC DC 2 in∠DBcn+120)分，放DC=2mA02.因此A0=4 sin BE BD 在△BD中，由正弦定理得n乙BDEm45,所以血LBDE: 2im(+120)故A0路段用时2 4sin6-2-in(8+120）_ sin 8 tsin 8 6 4sin 8-2 2in 2 =3-1 5sin 0-/3com 8 侧此方案所用时间 20 "1sin 0 又∠ACD=90°，所以sin∠BDE=in(∠DAC+90),所以eas∠DAC= 为1=11+h2= 35sin 0-3cos 6 5 33 3-1.故选A. 2sin0,in81sin01an0还A.】 黑题应用提优 6.1 23 23 解析：由s∠4'0B=分则w∠AOB .又0A=0B=12. 32 1.C解析：如图，由题意得A=45°，C=30° B=200km,则B=105由正弦定理C 则1=0408-200B分s-212x12x受=8，即A9 32 sin B nC·imB200 sm300×sin105°.200 又物距：像距=6：1.则公名=号，甲像高为子故答案 sin(45°+60)= 1 为号 必修第二册·RJ黑白题018 ,没解折：如图，注B作1CE于点F则 3PB2-2h2 ◇ 23h·PB 四边形BHEF是矩形.在Rt△ADE中，iana= 又因为∠APC+∠APB=T,所以cos∠APC+eos∠APB=0.即 4-EE所以E=32m 3 AE 8 3 m. 9P- 3PB2-2h2 1 在R1△ABH中，n∠BAH= ,极=2V而m,所以s∠BH= 23h·PB23h·PB 0,可得P8=1g。 -,所1以AH=6m,BH=√AB-A=√40-36=2m= 所以由PB=50米，得=√停×50-150，故答案为0，厅 /18 7 10 AB 210 EF,所以BF=IE=AH+AE=6+8=14(m). 专题探究1余弦定理、正弦定理的应用 在Rt△BCF中，tan∠CBF=an(∠ABC-∠ABF)=tan(∠ABC- 171 里题 专数通化 乙BH=tan LABC-an∠B 113 4 1.ABC解析：对于A,由余弦定理可得c=√香2+-2besC= 1+n∠ABCtan∠BAH 1+17x15 113 √16+4-2x4x2x乏2,5，由于=+2，赦△Bc为直角三角 CFCF 4 而tan∠CBF= F“日，所以CF= m,所以CD=CE-DE= 形.A正确 5 对于B.因为三角形的三边长分别为a=5.b=7,c=8,所以csB= )-=(号，故答案为 15 子因为Be0,,所以B=号放4G=则该三角 52+82-72 1 AC 1 82232解析：在△4G0中，0n83a7示（米). 形最大角与最小角之和为号B正确 BD AD BD 在△ABD中，由正弦定理.得 即 sim∠BAD sin∠ABD in(83°-23y AD 3 对F6,南正弦定理可得智一。血B:之，由于eO 23所以BD=2im2397示米) 2 因为in30°=sin(23°+7)=in23°0%7°+s23°in70.且 sin16°=inm(235-7)=in23cos7-0s23°sin7°，所以2in23e. 号），故=c正确 o7=n30°+in16°=0.776，所以-732 2.232(米).故答案 0.776 对于D,由行<sA可得e<mA曰血G<nBA台(B+ 为2.232 A)=sin Be0aA+cos Bsin A<sin Beos A,所以cos Bsin A<0.由于A.B∈ 9（5+三）m2解折：在△06中，∠40B=8,0B=1a O,所以血B0,进面mB0,故Be(受=），因此△AC为 0A=2 km,..AB2=0B2+042-20B.0A cos 0,AB=/5-4cos 0. 钝角三角形，D错误.故选ABC 六5a0a=5anw5a度=0i,0B:s血rf, 2 、2.C解析：由题意知.SA微=26nC=2 46,又SAm= 8所以 六SR0a=im在2os+号，则Sm边形0m=5n(0-p)+2(共 5 5 2 g,得e2=22ad.由余弦定理得e2=a2+6-2bsC=r2+62 中mp=2),当m(0-y)=1时，S06取最大值5+ 2“直 2b,所以22=2+6-2h.得2+6。 =32.故选C 接痘测覆盖以城面积的最大值为(5+三）km二放答案为(5+ 2c 3.C解桥：r=185 -1-18当且仅当 nt. a=c时取等号， 3 10.150v年 .c0sB≥1 解析：设孔明灯的高度A=h米，通过解直角三角形得 B,即5nB43mB≥3，即m(号）≥ 在点B处测量这个孔明灯的仰角∠0BA=45°，则BA=米；在点C 80.)B号e(5)B+号e(得号]Bc 处测量这个孔明灯的仰角∠OC1=30°，则AC=3h米：在点P处测 量这个孔明灯的仰角∠0PA=60°，测AP= 3米 (0,牙]故选c 4.B解析：由a=1,eosA=1+osB,得bsA=u+e0sB.由正弦定理 由基线BC上靠近B的四等分点处有一点P,且BC=200米，则 可得sin Beos A=RinA+inAe%B.即inBe%A-sin Acos B=inA.所 PB=50米.PC=3PB. 以im(B-A)=sinA,所以B-A=A或B-A+A=(会去)，所以B=2A. +PC2-(3h)2 AP2+PC2-AC2 由正弦定理得6=9nB_n24.2A面0<A<行.0<B=24<行.0< 由余弦定理得s∠AP℃= sin A sin A 24P·PC 3hP G=-3M<m,所以0<A<3,所以2<sAKl,所以6=2A 9.F (1,2),所以b的取值范围为(1,2).故选B. 5.D解析：如图.由题意可知D为AC的中点，设 23h·PB GD=1.1>0,则AC=BD=2,则在△BCD中 2 o∠APB=4P+PB2-4e CO LBDC=CD+BD-BC-2 2CD·BD 42 2AP·PB 24 3h·PB 2w3 h·PB 则△BGD的面积S=21·2 Dsin ZBDC= 参考答案黑白题0196.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 白题 基础过关 很时：30nin 题组1平面几何中的长度问题 L1.(2023·福建宁德高一期中)在△ABC中，点D 是边BC的中点，∠BAC=120°，AB=3,AD= 2,则4C的值为 W1 A. B.15 ( 4 08 5. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°， A.5 B.6 C./3I D.√/33 AB=AC=3,点D在线段BC上，且DC=2BD. 2.如图，△ABC中，∠C=60°，AC>BC>6,点D,E (1)求AD的长： 分别在边AC,BC上，且BE=AD=6,连接DE, (2)求∠DAC的大小 点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线 段MN的长为 3.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB 上的一点（不包括端点），点E,F分别在边 BC,DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量 法证明：PA=EF 题组3利用平面向量证明 6.如图所示，若D是△ABC内的一点，且 AB2-AC=DB2-DC,求证：AD⊥BC. 题组2平面几何中的角度问题 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3, 6为边CD的中点，示=，若花，所= -4.则cos∠BAD= ( 第六章黑白题023 6.4.2向量在物理中的应用举例 白题 基础过关 限时：30min 1.(2024·广东茂名高一期中)如果一架飞机向 (2)F,F2的合力F对质点所做的功 西飞行400km,再向东飞行500km,记飞机飞 行的路程为s,位移为a,那么s-lal=( A.800 km B.700 km C.600 km D.500 km 2.(2023·江苏南京高一月考)已知三个力F,= (-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用 于某质点上，若对质点再施加一个力F,该质 6.(2024·安徽安庆高一月考)如图，长江某地 点恰好达到平衡状态（合力为零），则F4= 南北两岸平行，江面的宽度d=1km,一艘游 ( 船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在 A.(-1,-2) B.(1,-2) 静水中的航行速度，的大小为1y,!= C.(-1,2) D.(1,2) 10km/h,水流速度"2的大小为12I= 3.某人在无风条件下骑自行车的速度为"，风速 4k/h,设"1和y2的夹角为0，北岸A'在A 为(1"，1>21)，则逆风行驶的速度大小为 的正北方向. ( (1)当0=120°时，判断游船航行到北岸时的 A.v+V2 B.F1-V2 位置是在图中A'的左侧还是右侧，并说明 C.lv 1+lv2I D.Ivl-lvl 理由 4.(2024·浙江金华高一期末)哥哥和弟弟一起 (2)当cos0多大时，游船能到达A'处？需航 拎一重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起）， 行多长时间？ 哥哥用力为F,弟弟用力为F2,若1F,1= 1F2J,且F,F2的夹角为120时，保持平衡状 态，则此时F,与重物重力G之间的夹角为 A.60 B.90 C.120 D.150 5.(2023·陕西咸阳高一月考)已知两个力F,= 5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点，使 该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其 中i材分别是x轴正方向、y轴正方向上的单 位向量，力的单位：N,位移的单位：m)试求： (1)F,F2分别对质点所做的功： 必修第二册：RJ黑白题024 6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时余弦定理 白题 基础过关 限时：30min 题组1余弦定理的理解 可能取值为 ( 1,下列说法中错误的是 ( C.2m A.在三角形中，已知两边及其一边的对角，不 3 能用余弦定理求解三角形 题组4已知三边或三边关系解三角形 B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关 7.(2024·河北廊坊高一月考)已知在△ABC 系，因此它适用于任何三角形 中，a:b:c=3:2:4,那么cosC的值为 C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求 ( 角的问题 A.- B. C、2 D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 4 4 2.在△ABC中，已知B=120°，那么下列式子等 8.(2024·广东惠州高一月考)已知△ABC的 于0的是 ( } 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+ A.a2-b2+c2-ac B.a2-b2+e2+ac b)2-c2=ab,则角C= ( C.a2-b2+c2-3ac D.a2-b2+c2+3ac A.30° B.60° C.120° D.150 题组2已知两边及其夹角解三角形 9.在△ABC中，若c=3a,b2=2ac,则cosB= 3.已知△ABC的内角B=60°，且AB=1,BC=4, ( 则边BC上的中线AD的长为 ( A. 3 4 C 2 3 A.1 B.√13 C.3 D.2 10.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那 4.(2024·福建三明高一期中)已知在△ABC 么它的顶角的余弦值为 中，4B=3.4C=1,sA名则BC=（ 题组5利用余弦定理判断三角形形状 11.(2024·陕西咸阳高一月考)若在△ABC A.1 B.5 c 3 中，2a·cosB=c,则三角形的形状一定是 题组3已知两边及其中一边的对角解三角形 ( 5.(多选)(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC A.直角三角形 B.等腰三角形 中，B=写，AB=AC+1=8,则边BC的长可能为 C.等腰直角三角形D.等边三角形 12.(2023·江苏南通中学高一月考)在△ABC ( 中，若2a-b=2 ccos B,cosA+cosB=1,则 A.2 B.3 C.4 D.5 △ABC一定是 6.(多选)(2023·山东泰安新泰一中高一期中) A.等边三角形 B.直角三角形 在△ABC中，4B=3,AC=1,B=石则角A的 C.等腰直角三角形 D.无法确定 第六章黑白题025 黑题 应用提优 限时：35min 1.(多选)(2024·湖南衡阳高一期中)在△ABC 7.(2024·河北保定高一月考)在△ABC中，内 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2+c2-a2≥ 2 besin2A=b2+c2-a2,则A的大小可能为 bc,则A的取值范围是 ( 8.(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)已知在三角 n 形ABC中，AC=2,BC=4,B=30°，且边AB,BC 上的中线CD,AE交于点M. 2.(多选)(2024·江苏淮安高一月考)在△ABC (1)求AB的长： 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 (2)求cos∠AMC的值. (a2+c2-b2)tanB=√3ac,则B的值为( B号 C.5m 6 D. 3 3.(2024·云南昆明高一期中)已知a,b,c分别 是△ABC内角A,B,C所对的边，b,c是方程 -26x+5=0的两个根，且coA=-号则a日 ( A.5 B.32 C.25 D.11 4.(2024·山东菏泽高一月考)在△ABC中， sin2 A=cb 22,则△ABC的形状为 压轴挑战 A.正三角形 1.(2024·广西河池高一月考)已 B.直角三角形 知△ABC中，点D在边BC上， C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 ∠ADB=120,AD=2,CD=2BD.当1C取得最 AB 5.(多选)(2024·四川南充高一月考)在△ABC 小值时，则BD的值为 ( 中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c= A.1-2 B.3 12,cosA=0.6,且满足条件的三角形有且仅有 C.3+1 D.3-1 两个，则a的取值可能为 ( 2.(2023·天津武清区高一月考) A.9 B.10 C.11 D.12 已知a+1,a+2,a+3是一个钝 6.(2023·陕西西安高一期中)△ABC的内角A, 角三角形的三边长，则实数a的取值范围 B,C的对边分别为a,b,c,若b=9,a=2c,B= 是 寻则△4C的周长为 进阶突破拔高练P网 必修第二册：RJ黑白题026 第2课时 正弦定理 白题 基础过关 限时：30mim 题组1正弦定理的理解 题组4三角形解的个数问题 1,(多选)(2024·浙江嘉兴高一月考)在△ABC 7.(多选)(2024·江苏扬州高一期末)在△ABC 中，下列式子与加 的值相等的是 中，角A,B,C所对的边为a,b,c,根据下列条 件解三角形，其中仅有一解的有 A.sin A+sin B B. sin B A.a=4,b=5,c=6 a+b sin A B.A=30°，B=45°，c=5 C.sin C D.c C.a=3,b=2.A=45 sin C D.a=3,b=2.C=60° 2.(2023·安徽六安一中高一月考)在△ABC 8.(2024·黑龙江哈尔滨三中高一期中)在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是 ( A.a>bsin A B.a=bsin A 中，A=30°，AC=23,满足此条件的△ABC有 C.a<bsin A D.a≥bsin A 两解，则BC边长度的取值范围为 ) 题组2已知两角和一边解三角形 A.(23,4) B.(3,23) 3.(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中，内 C.(23,+3) D.(3,23) 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√2，A= 题组5利用正弦定理判断三角形形状 9.(2024·辽宁朝阳高一月考)在△ABC中， 3,则c 6,0sC= ( 角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos C+ C.83 ccos A=c,则△ABC的形状为 9 A.直角三角形 B.等边三角形 4.(2024·重庆第八中学高一期末)在△ABC C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 中，a=3,A=60°，B=75°，则△ABC中最小的 10.(2024·河南周口高一月考)在△ABC中， 边长为 ( 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B= csin(A+B)-asin A,则△ABC为 B.6 2 C.2 D.√6 A.等腰三角形 B.直角三角形 题组3已知两边及其中一边的对角解三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.(2024·湖北武汉外国语学校高一期末) 重难聚焦 △ABC中，A=60°，BC=53,AC=52.则角C 题组6边角互化 的大小为 11.(2024·浙江绍兴高一期末)》 A.75° B.45° 设△ABC的内角A,B,C所对 我讲料 C.135° D.45或135 的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=c+ 6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若A+B=5C,b=1.c=2.则sinB= .则wA ( 3 D.4 B.I 第六章黑白题027 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2024·河北保定高一期末)在△ABC中，6.(2023·河北唐山高一期末)已知△ABC的三 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A+ 边长分别为a,a+3,a+6,且最大内角是最小 B=2C.sA=6a=3,则e为 内角的2倍，则最小内角的余弦值为() c . C.26 D.5 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a, 2.(2024·广西钦州高一期中)设△ABC的内 6,c,2 sin Asin Beos C三sin2C,侧”、 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的周 ,角C的最大值为 asin B nA+sinB-sinC,则 长为 8.(2024·辽宁大连高一月考)在△ABC中，内 A.C=2 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3 B.B= 3 sin'C-sin Csin B 2=1. cos2B-cos2A cc-号 nB=号 (1)求角A的大小： 3.(2024·广东中山高一月考)在△ABC中， (2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=23, 垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围. 若asiB=bsin(a+写 ,则△ABC的外接圆半 径等于 ( A.3 B.2 C.23 D.4 4.(多选)(2024·四川眉山高一期末)在△ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin(B-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=√7，C= 则a的可能取值为 ( 压轴挑战 A.1 B.②7 C.2 D.22I 3 3 (多选)(2024·浙江嘉兴高一期 5.(2024·重庆南开中学高一期中)设△ABC三 中)在△ABC中，内角A,B,C所对 个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a= 的边分别是a,6e,且A=行6=22，若△4C 4,m4:号则下列条件能使解出的△ABC有 有且仅有一个解，则c-a的可能取值有( 两个的是 A.0 B.4-22 C. D.22 A.b=4 B.c=5 C.B=60 D.C=45 进阶突破拔高练PO5 必修第二册RJ黑白题028 第3课时三角形中的几何计算 白题基础过美 限时：35mim 题组1几何中的边角计算问题 5.(2024·天津河西区高一月考)已知△ABC 1,(2024·山东潍坊高一月考)如图，△ABC满 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2= b2+e2-bc,bc=4,则△ABC的面积为() 足∠ABC27,BC=DC=2,BD=1,则cosA白 N.2 B.1 C.3 D.2 ( 题组3利用三角形面积公式解三角形 A.7435 7-35 B. 6.(2024·江苏南通高一期中)设△ABC的面积 16 16 为S,若AB.A元=2S,则A= c73 A.30 B.45 16 C.60 D.90 7.(2024·福建漳州高一期中)在△ABC中角A, B,C所对的边a,b,c满足2b=a+c,cosB= 4 (第1题) (第2题) △ABC的面积为6，则b= ( 2.(2024·湖南长沙雅礼中学高二月考)如图， A.4 B.26 在△ABC中，AC=BC,D在边AB上，∠ACB= C.6 3∠BCD,4AD=5DB,则cos∠ACD=( 6或号 7 8.(2024·山东济南高一月考)已知a,b,c分别 B.32 为△ABC内角A,B,C的对边，△ABC的面 7 C.25 D号 积s=+63- 4 ,则C= 3.(2024·江苏扬州高一期中)△ABC中，角A的 A.90 B.60 C.45° D.30 平分线交边BC于点D,AB=3,AC=2,∠BAC= 9.在△ABC中，a=1,B=45°，△ABC的面 积S=2,则△ABC的外接圆的直 60°，则角平分线AD的长为 径为 题组2三角形面积的计算 10.(2023·广东东莞高一月考)如图，在△ABC 4.(2024·浙江台州高一期中)△ABC内角A, 中，D为边BC上一点，BD=2DC,∠ADB= B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,c=3,B= 120°，AD=2.若△ADC的面积为3-V3, 石则△4BC的面积为 则AB= ,∠BAC= 3 B③ 4 C.3 D.23 第六章黑白题029 黑题 应用提优 限时：35min 1.(多选)(2024·福建泉州高一月考)在△ABC6.(2024·广东东莞高一月考)在△ABC中， 中，AB=3,4C=1,B= 6,则△ABC的面积可 角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满 以是 足2 sin Acos(B-C)+sim2A3记△ABC的面 g B.1 积为S1,△ABC外接圆的面积为S2,则 2.(2024·江西南昌高一期末)在△ABC中，内 S2 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b= 7.(2024·黑龙江大庆铁人中学高三期中)已知 1,mG=分则边e上的商为 ( △ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a, 1-cos 2B sin 2A b.c, sin B sin A 3.(2024·山东泰安高一月考)如图，在平面四 (国若C=石求B的大小： 边形ABCD中，AB⊥AD,∠ABC= 4,∠ADc= (2)若△ABC不是钝角三角形，且c=1,求 △ABC面积的取值范围. 6AB=1,CD=4,则an∠CAD= A.1 B.3 C.2 D.4 4.(多选)(2024·河南许昌高一月考)在△ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若 压轴挑战 b=ccosA,内角A的平分线交BC于点D,AD= (2024·浙江嘉兴高一期中)如图，在△ABC 1,6osA=g,以下结论正确的是 中，AB=BC=2,D为△ABC外点，AD=2CD= 3 4,记∠BAD=,∠BCD=B. A.AC= (1)求2cosa-cosB的值： B.AB=8 (2)若△ABD的面积为S,△BCD的面积 C. CD 1 为S2,求S+S?的最大值 BD 8 D.△ABD的面积为 5.(2024·河北沧州高一月考)在△ABC中， 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2 bcos B=ccos A+acos C,若△ABC的面积为 3,则AC边上中线长的最小值为 进阶突破拔高练P网 必修第二册：RJ黑白题030 第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 白题 基础过关 限时：25mim 题组1距离问题 球的高度等于 1,如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者 在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距 05 离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可 以计算出A,B两点的距离为 A.15(3-1) B.15(3+1) C.30(3-1) D.30(3+1) 5.如图，需要测量某塔的高度，选取 A.502m B.503m 与塔底D在同一个水平面内的 C.25√2m D.252 两个测量基点A与B,现测得 2 m ∠DAB=75°，∠ABD=45°，AB= 2.(2024·山西阳泉高一期 96m,在点A处测得塔顶C的仰角为30°，则塔 末)海洋蓝洞是地球罕见 高CD为 m. 4 的自然地理现象.若要测 题组3角度问题 量如图所示的蓝洞的口径，即A,B两点间的 6.(2024·福建泉州高一期中)一艘游轮航行 到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为 距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD= 126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为 80,∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15 ∠ACB=120°，则A.B两点间的距离为( 123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行 到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向，则 A.80 B.803C.160 D.805 此时灯塔C位于游轮的 3.(2023·浙江宁波高一期中 A.正西方向 B.南偏西75方向 联考)如图，一座垂直建于 C.南偏西60方向 D.南偏西45方向 地面的信号发射塔CD的高 7.(2024·山东枣庄高一月考)如 度为20m,地面上一人在 图，AD是某防汛抗洪大坝的坡 A点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步 面，大坝上有一高为20米的监 行1min后在B点观察塔顶，仰角为30°，若 测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得 ∠ADB=150°，此人的身高忽略不计，则他的 ∠BAD=15°，沿着坡面前进40米到达E点， 测得∠BED=45°，则大坝的坡角（∠DAC)的 步行速度为 m/s. 余弦值为 ( 题组2高度问题 4(2024·广东广州高一期中)如图，从气球A A.√3-1 B.3-1 上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别 为75°，30°，若河流的宽度BC是60，则此时气 C.2-1 D.②-1 第六章黑白题031 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2024·江苏连云港高一期中)如图为张衡地 动仪的结构图，现要在相距200km的A,B两 地各放置一个地动仪，B在A的东偏北45°方 向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地 4.(多选)(2024·广东汕头高一月考)如图，甲 地动仪东偏南30°方向的铜丸落下，则地震的 船从A,出发以25海里/时的速度向正北方向 位置在A地正东 航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船 A.50(w2+/3)km B.100(2+3)km 出发时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的 C.100(√2+√6)km D.100()km B,处，此时两船相距52海里.当甲船航行 12分钟到达A,处时，乙船航行到甲船的北偏 西120方向的B,处，此时两船相距5海里，下 面正确的是 A.乙船的行驶速度与甲船相同 (第1题) (第2题) B.乙船的行驶速度是15√2海里/时 2.(2024·云南大理高一期中)如图，为了测量 C.甲，乙两船相遇时，甲行驶了+2时 两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A, D.甲、乙两船不可能相遇 B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平 面内.已知飞机在A点时，测得∠MAN= 120 沙地 ∠BAN=30°，在B点时，测得∠ABM=60°， ∠NBM=75°，AB=2千米，则MN= 105A B 甲 (提示：in15=sin(60°-45)=y6-2 D 4 (第4题) (第5题) A.(6+2)千米 B.(4-23)千米 5.相传我国古代有这样一个故事：一个身处他乡 的小伙子得知父亲病重的消息，便连夜赶回 C.(3+1)千米 D.(42-26)千米 家，但是他没选对最近的路线，到家时父亲刚 3.(2024·江苏无锡高一期末)如图，曲柄连杆 咽了气，人们告诉他，他父亲弥留之际不停念 机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB 叨：“胡不归？胡不归？”这就是流传千百年的 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB。 “胡不归问题”如图，假设小伙子处于A地， 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端 家在B地，AC,BC是驿道，其他地方均为沙 点A在A。处.设连杆AB长1O0mm,曲柄CB 地，∠ACB=120°，AC=4,BC=2,小伙子在驿 长35mm,则曲柄自CB。按顺时针方向旋转 道、沙地上行走的速度分别为1，(，>2) 53.2时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移 若小伙子为了更快回到家中，从A沿AC走到 动的距离A4)约为( )(结果保留整数) D(D在AC上)，再从D走沙地直线回家，设 (参考数据：sim53.2°≈0.8) ∠BDC=(0°<0<60°)，则此方案所用时间为 A.17 mm B.18 mm C.19 mm D.20 mm 必修第二册：RJ黑白题032