周测评(17)平面向量的应用-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高一数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十七） 数学·平面向量的应用 （考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 12分.在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的) 符合题目要求.全部选对的得6分，部 题号 2 分选对的得部分分，有选错的得0分) 3 4 答案 题号 5 6 答案 1在△ABC中，2sm1名 =1(a,b,c分 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为内角A,B,C的对边)，则△ABC是 别为a,b,c,且a=5,b=6,c=7,下列说 ( 法正确的是 () A.正三角形 B.直角三角形 A.sin A:sin B sin C=5:6:7 C.等边三角形 D.等腰三角形 B.cos A cos B cos C=5:6:7 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 C.△ABC是锐角三角形 为a,b,c,已知a=acos B+bcos A=2, D.△ABC的最大内角是最小内角的 mc-号，则 2倍 A.b-22 B.b=√2 6.在△ABC中，A-石，AB=2,则下列说 C.c=2 D.c=√3 法正确的是 ( ) 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 A.若BC=1,则符合条件的△ABC有且 只有1个 为a,b,c,△ABC的面积S△ABc=√3，且 B.若BC=√2，则符合条件的△ABC有 S-尽a+c-6),则A店·BC- 4 且只有2个 ( C.若BC=2,则符合条件的△ABC有且 A.√3 B.-√3 只有2个 C.2 D.-2 D.若BC= 2,则不存在这样的△ABC 1 4.在△ABC中，tanA= mB=若 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 12分) △ABC的最长边的长度为√I7,则最短 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 边的长度为 A.√2 B.√3 Q,b,c,若△ABC的面积为2十6一c 4 C.2 D.5 √2，则该三角形外接圆的直径为 高一学科素养周测评（十七）数学第1页（共2页） 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB 10.(30分)在△ABC中，内角A,B,C的对 =3,CD=2,AD=√3，∠BAD=90°.若 边分别为a,b,c,已知a(sinB+cosB) P为线段AB上一动点，则CP·DP的 =c. 最大值为 (1)求A; (2)若c=√2，a=√5，D为BC的中点， 求AD. 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤)】 9.(22分)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知c·cosA十c= √3 asin C. (1)求A; (2)若△ABC的面积为9√3，周长为18， 求a. 1 高一学科素养周测评（十七）数学第2页（共2页）·数学· 参考答案及解析 2λAB+2μAD,又四边形ABCD的对角线交于 点O,即点B,O,D三点共线，因此2λ十24=1， =(1-a)Ci+(a-)i 所以X十r=名 =1-0ci+(a-)c, 四、解答题 又A,Q,P三点共线， 9.解：1D由于a与6的夹角为， 所以1-0+（a-）=1,解得x=3 所以cos交=一m (2)设AQ=mAP(0≤m≤1)，AB·AC=2X2 41Xm+行=名，即-厄m ×7=2, √m2+1,解得m=-1, 则a=(-1,0),b=(-1,1),a+2b=(-1,0)+ 则AQ=mA户=m(Ai+B驴)=m(A店+ (-2,2)=(-3,2), 号d)=mAi+智(A-恋)-A十 所以|a+2b|=√9+4=√13 (2)由(1)知a=(-1,0),b=(-1,1),a在b上 AC. 的投影向最为后·合-（日2》： QC-AC-Ad-A心-(2a店+Ad) 即a在b上的投影向量的坐标为一名，）》。 =(1-g)ac-2A, (3)由(1)知a+2b=(-3,2), a+λb=(-1,0)+入(-1,1)=(-1,0)+(-λ， 故oi.-(-2A店-gA)·[(1-贺)4d 入)=(-1-入，入)， 由于a十λb与a十2b所成的角是锐角， ] 所以 (a+λb)·(a+2b)>0, -3入≠2(-入-1)， 0(1-g)a店.A+0A-1- =- 即 3(-1-1)+2λ>0， g)A胶+四A店.4AC -3入≠2(-λ-1)， 解得A>一号且入≠2，即实数A的取值范周为 -1-罗)+1（1)+g (-号2U2,+∞). 3m, 10.解：1)cd-Ci+Ad-Ci+A店+号BC 当m-时25-8m 一3m取得最小值一7， -ci+ao-ci)-c吨 所以Qi·Q花的最小值为-马 2024一2025学年度学科素养周测评（十七）数学·平面向量的应用 一、选择题 △ABC中，sinA≠0，所以cosC=0,又0<C< 1B【解折】由m合-2之，得四A 2 x,所以C=,即△ABC为直角三角形. 2中0sA=。 ,由正弦定理可得c0sA= 2.A【解析】因为a=acos B十bcos A,由正弦定 理可得sinA=sin Acos B+sin Bcos A,即sinA sin B sinC,所以cos Asin C=sinB=sin(A+C)= sin Acos C+cos Asin C,得cos Csin A=0,在 -sinA+B)=snC,又sinC=号，所以inA ·23· 1 衡水真题密卷 学科素养周测评 2,因为A,C∈(0，x)且A+C∈(0，T),所以 最小角，则c0s2A=2c0s2A-1=2×()-1= A=C=牙，所以B=受又a=2,所以c=2,b= 49≠CosC,可得C≠2A,故D错误. √Ja2+c=2√2. 6.ABD【解析】解法一：以B为圆心，BC长为半 径画圆，记为圆B.如图1，当BC=1时，圆B恰 3.D【解析】因为△ABC的面积S△ABC=√3= 与AC相切，故符合条件的△ABC有且只有1 1 2 acsin B,所以acsin B=2VB,又SAAc= 个，故A正确； ca+e-6.则a+e-6)）-日cmB,所 3cos B=sin B, 2ac 所以anB=snB-5,因为B∈(0，，所以B 图1 cos B 如图2，当BC=√2时，圆B与射线AC有两个交 ，所以ac=4,所以 2,sin B=3 ,点，故符合条件的△ABC有且只有2个，故B 正确； AB·BC=accos(π-B)=-2. 4.A【解析】因为tanC=-tan(A+B) 1,3 tan A+tan B 4+5 =一1<0，又 1-tan Atan B 1-×号 (C 图2 tanA>0,tanB>0,故A,B为锐角，C为钝角， 如图3，当BC=2时，圆B与射线AC有两个交 故c=7,因为y=tanx在x∈(0,2)上单调 点，但其中一个交点为A,点本身，故符合条件的 △ABC有且只有1个，故C错误； 递增，tanA<tanB,故A<B,所以a<b,又 B tan A=sin A 1 cosA=4,sinA+cos2A-1,解得 sin A= W17 同理可得C-会，由正孩定理 图3 当BC=2时，圆B与AC无文点，能不存在这样 sin AsinC,即a=7 得.Q c 1 ,解得a=√2. 的△ABC,故D正确. W17 2 解法二：设△ABC内角A,B,C的对边分别为a, 二、选择题 b,c, 5.AC【解析】对于A,由正弦定理可得sinA: 由余孩定理得c0sA=62+c2-a62-a+4 sinB:sinC=a:b:c=5:6:7,故A正确；对 2bc 46 于B,由余孩定理可得cosA=b2+c2-a2_5 2bc 7 =2,即62-236-a2+4=0.当a=1时，62 cos B=a'+c2-62 19 =35,c0sC=a2+b2-c2 2√3b+3=0,此时b有且仅有一个解b=√3，故 2ac 2ab A正确；当a=√2时，b2-2W3b十2=0，解得b1= 5,所以cosA:cosB:cosC≠5：6：7，故B √3-1，b2=√3+1，故B正确；当a=2时，b2 错误；对于C,因为a<b<c,所以C为最大角，又 2√3b=0,解得b1=0(舍去)，b2=2√3，故C错 1 因为cosC=5>0,故C为锐角，所以△ABC为 买：当a=号时，6-256+5-0，渡方程无解， 锐角三角形，故C正确；对于D,由题意知，A为故D正确. 1 ·24· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 1 7.2【解析】因为2+62-c1 (2)因为S△Aac=2 bcsin A=95,所以bc=36, 4 =2 absin C,所以 由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A,即a2=b2 2 abcos C-1。 +c2-bc=(b+c)2-3bc, 4 2 absin C,即tanC=l,由0<C<r, 则a2=(18-a)2-108,解得a=6. 得C=不，所以2 =2R,所以该三角形外接圆 10.解：(1)因为a(sinB+cosB)=c, 4 π sin 4 由正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC, 在△ABC中，sinC=sin(A+B), 的直径为2. 则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B), 8.6【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+ 分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标 cos Asin B, 系，则A(0,0),B(3,0),C(2,√3)，D(0,√3)，设 所以sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0，π)，所 P(x,0),其中0≤x≤3，则C币=(x-2,-√3)， 以sinB>0, DP=(x,-√3)，所以CP.DP=x(x-2)十3 所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0， =x2一2x+3=(x-1)2+2,所以当x=3时， C户.DP有最大值6. ,所以A=至 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 则有5=b2十2-26，解得b=3或b=-1(舍 去)， 因为D为BC的中点，则AD-2(A+AC), 四、解答题 所以A市=是(A+AC+2A店.A心)= 9.解：(1)由正弦定理得√3 sin Asin C=sinC(cosA +1), }×(2+9+8x2x3×9)-, 又sinC>0,故√3sinA-cosA=1, 所以sm(A-)= 所以AD=7 因为在△ABC中，0<A<x, 所以-吾<A-否<则A-晋-吾，放A 2024一2025学年度学科素养周测评（十八）数学·复数 一、选择题 3.A【解析】若z(1十2i)=a-2i(a∈R),则之= 1.A【解析】因为复数之=1十3i,所以之=1一√3i, a-2i(a-2i)(1-21_a-4+-20-21.若复 即之的虚部为一√3. 1+2i(1+2i)(1-2i)5 5 2.A【解析】由题意得之=mi_2m(2-D 平面内复数之对应的点在第一象限，则 2+i(2+i)(2-i) 4-(2m+2)i-m_4-m_(2m+2i为实数，所 2>0 5 5 5 不等式无解；若复平面内复数之对 以-2m+2=0,解得m=-1. -2a-2>0, 5 5 ·25· 1