第二章 3-5 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

§3-§5阶段综合 黑题 阶设强 限时：50min 1.(2024·广东清远高二月考)一质点做直线运 Ao别 动，经过1秒后的位移为S= 2+4,则速 度为零的时刻是 c.) D.) ( A.1秒末 B.4秒末 5.(多选)(2024·江苏镇江高二月考)已知函数 C.1秒末或4秒末 D.0秒或4秒末 f(x)的导函数为f'(x),若存在x使得 2.(2024·湖南益阳高二月考)用数学的眼光看 f'(x)=f(x),则称是f(x)的一个“新驻 世界就能发现很多数学之“美”，现代建筑讲究 点”，下列函数中，具有“新驻点”的是() 线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程 A.f八x)=sinx B.f(x)=x3 度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下： C.f(x)=Inx D.f(x)=xe* 若f'(x)是f(x)的导函数，f"(x)是f'(x)的6.已知函数f八x),g(x)满足f(5)=5∫'(5)=3， 导函数，则曲线y=f(x)在点(xf(x)处的曲 g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=x)+2 f"(x)1 (则 率K= 若f(x)=x-e,则曲线 [1+(f'(x))2] h'(5)= y=f八x)在(0，-1)处的曲率K是 7.(2024·河南郑州高二期中)“以直代曲”是微 B 积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方 A.0 法求高次方程的根.如图，r是函数f(x)的零 C.1 D.e 点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步 3.(2024·山东临沂高二月考)丹麦数学家琴生 逼近r的实数x0,x1,x2,…,x,其中x1是f八x) 是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人， 在x=x。处的切线与x轴交点的横坐标，x2是 特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了 f(x)在x=1处的切线与x轴交点的横坐 很多宝贵的成果设函数f八x)在(a,b)上的导 标，…，依次类推.当1x。一1足够小时，就可以 函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为 把x。的值作为方程f(x)=0的近似解.若 f"(x),若f"(x)>0在(a,b)上恒成立，则称函 数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.则下列函数在 八x)=, +2 5,。=4,则方程(x)= (0,2π)上是“凹函数”的是 ( 0的近似解x1= A.f八x)=x-sinx B.f(x)=x2+sin x fx= 15 5 C.f(x)=x+lnx D.f(x)=e*-xln x 3 4.已知函数八x)=2-2e,则曲线y=fx)上 任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是 ( 第二章黑白题51 8.(2024·四川成都高二月考)已知函数f(x)= 压轴挑战 -x+x+1,g(x)=e2.若曲线y=f(x)在 记f'(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函 点(1,1)处的切线为1. 数.把同时满足f(x)=g(x)和f'(xo)= (1)分别求f(x),g(x)的导数，并求切线为l的 g(xo)的x叫作f(x)与g(x)的“Q点” 方程； (2)若点A在曲线y=g(x)上，在点A处的切 (1)求f(x)=2x与g(x)=x2-2x+4的“Q点”； 线'与直线1平行，求切线'的方程. （2)若x)=a+号与6=h存在Q点， 求实数a的值 9.已知函数f代x)=x-1+a(aeR,e为自然对数 的底数) (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平 行于x轴，求a的值； (2)当a=1时，若直线l:y=x-1与曲线y= f(x)相切，求直线l的方程 选择性必修第二册·BS黑白题52Ci设y=g,u=2x,(log2x)r=(hgw）'…(2)'=L 2·2s 1 曲线y=f(x)在(0，-1)处的曲率K= f(0) xin 2' [1+“(0)] 故C正确：D设y=n,=-x(x<0,则=(n)·（-= 1-e01 =1.故选C [1+(1-e)2]2 （-1)=-主(<0)，故D正确故选ACD ! 3.B解折：对于A/'(x)=1-emx,了“(x)=in,当￥e(π，2m)时， 3.B解析：设代x)=xe1,了'(x)=(x+1)e1,f'(1)=2,曲线y= 了"(x)<0,所以A错误：对于B厂'(x)=2x+sx,f“"(x)=2-in>0 在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2-1,故选B. 在0,2)上相成立，所以B正确：对于c()=1+.了（e 4.B解折：由题可知f'(x)=2os2x-2n2x+子，f”(x)=-4im2x- 1 <0,所以C错误：对于D'(x)=e心-h-1,/严(x)=。-,因 4s2x,结合题意知-4in26-40s2xn=0,即5in26+c%2x0= 2 2m(2+）0,义-年<<0，所以-，所以6= 为（日）e÷<0,所以D错误放选B 3 im2o+e2n+20=30三24放选B. 4.C解析：x)= 2* fre 5.D解析：依题意，g(x)=e(ar2+xte),求导得g'(x)=-e'(ar2+ 3e)≥2 2vx7=月，当且仅当e=3,甲宁h3时，等 br+c)+e(2ar+b)=-e*[r2-(2a-b)x+e-b], 观察g'(x)的图象得g'(0)=c-b=0,即b=c,g'(x)的另一个零点为 号成立ma.又：0eacm,且a学于号≤a<号即横斜 2->1,即。<1，所以有<16=6放选 a a 角a的取值意開是[子，子）放选C 8 6.3解析：函数)+f'(0)ln(+4). 5.ABC解析：根据“新驻点"的定义，即判断方程∫'(x)=(x)是否有 解即可 则f'(x)=22'(02 +4 选项A,八代归m则血，可k红+号4eZ。 当=0时0=2/9，得/0= 故函数爪x)=n车有“新驻点” 选项B,了"(x)■3x2.则3x2=x3.可得x=0或x=3.故函数f代x)▣x 故答案为号 有“新驻点” 7.解：由f八x)=3x+0%2r+in2, 选项C了'()= 令gx)=n(0),nx在(0.+o上单 得f'(x）=3-2sin2x+2082x. 则a时（）=3-2+2m 21 调递增，1在(0，+0)上单调递减g)在(0，+四)上单调递增又 由y=x3得y'=3x2 g1)=-1<0.g(e)=1->0,根据零点存在定理，存在6∈(1，e） e 当点P为切点时，切线的斜率k=3a2=3x12=3, 又6=a2,,b=1切点P的坐标为(1,1)， 使得go)=0,所以n。=,所以函数)=nx存在“新驻点 故过曲线y=x上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 选项D,f'(x)=(x+1)e,则(x+1)e=xe,显然无解，故函数f八x) 当点P不是切点时，设切点为(0)，此时切线的斜率'=3x, xe无“新驻点”.故选ABC. ,切线方程为y=3x-xo). P(a,b)在曲线y=x上，且a=1.b=1,将点P(1,1)代入切线方 6.6 gr--2]国 解析：h(x)=八x)+2 [g(x)]2 程中得1-x品=31-)， 由5)=5，f'(5)=3,g(5)=4.g'(5)=1.得(5)= 2-31=0,解得，=或=1（含去）。 f'(5)g(5)-[/5)+2g'(5)3×4-(5+2)×1.5 [g(5)]2 42 故等案为后 六切点坐标为 (）又：切线的斜率为3x()广 3 10 4 7. 解析：由题可得(4)= 3 13 42 六此时的切线方程为+g(+2),即3红-4+1=0即过曲线 ,所以)在4处的切线方程为)广5了（-4)，令0，解 y=x3上一点P(a,6)的切线方程为3x2=0或3x-4+1=0 得：9即方程)=0的近触解=9故答案为 10 压轴挑战 8.解：(1)由导数公式得∫'(x)=-3x2+1,由复合函数求导法则得 x(nx+1)解析：因为y=x,故可得ny=xn,所以(lny)‘= g'(x)=-2e1:由了“(x)=-3x2+1可得曲线y=f八x)在点(1,1)处 (xnx)',即 ·y'=nx+1.所以y'=y(nx+1)=x(nx+1).故答案为 的切线的斜率k=∫'(1)=-3+1=-2，从面切线1的方程为y-1= -2(x-1）,即y=-2x+3 x(In x+1). (2)由g'(x)=-2e2,设A(yo).则y=g(x)在点A(0,0)处的 §3-§5 阶段综合 切线斜常为g'（和)=-2e0t,由题意可得-2。a01=-2,从而n 阶段强化 子，此时切点坐标为（行），所以尚线y产g)在=处的切线 1.C解桥：因为8宁-名，所以-4.令P-4=0 方程为一-2（号）：即切线r的方程为，：-22 解得=1或1=4，所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选C 2C解桥：因为)=-e,所以f"(x)=1-e,所以()-e,所以 9.解：(1)f“(x)=1- 。心曲线y=)在点(1,1)处的切线平行 选择性必修第二册，BS黑白题28 于x轴f"(1)=1-:=0,解得a=心 0,解得x<-1或x>0,所以函数的单调递增区间为(-，-1)，(0， 色 +).故选A (2当a1时.儿)归-+寸f)1设切点坐标为( 6.D解析：易知函数(x)的定义域为R,可得f'(x)=e+(x-3)e= (x-2)e,令f'(x)≥0，解得x≥2.所以函数八x)的单调递增区闻是 g), o=-l0 〔2，+)，故选D, 7.C解析：由函数)=-2h.可得'（)=1-2.-2(0)，令 ()=1-1=k,② e'o f'(x)<0,可得0<x<2,所以函数f代x)=x-2x的单调递减区间是 ①+2，得0=红0-1+k,即(k-1)(0+1)=0.若k=1,侧2式无解. (0,2).故选C 六，0=-1.k=1-6 lnx≠0， 直线1的方程为y=(1-e)x-1. 8.D解析：由 得f(x)的定义域为(0,1)U(1,+),令 x>0. 压轴挑战 解：(1)因为/‘(x)=2,g(x)=2x-2, f"(=a1 山<0，解得0<ce且x≠L,所以函数x)的单调道诚区 设。为函数)与g(x)的一个“Q点” 间为(0.1)，(1.).故选D. 由o=g6)且'g《o.得亿62o4解得=2 2=2x0-2, 解析：函数f(x)=x如(-￥)的定义域为(-，0)， 所以函数(x)与g(x)的“Q点”是2 (2)图为”()=2a,8（()F 1 f(=1+(-).由f'(x)=1+h(-)<0.解得-x<0,所以两数 设。为函数八x)与g(x)的一个“Q点 九)=山(-)的单调递减区间是(。0），故答案为(。0】 ① 由0)=g(和)且∫'(x)=g(0),得 由②得a= 10.A解析：由题意得f'(x)=3x2+2r+c,且f'(x)<0的解集为(-2 2r0= 2h =-2+4. 3 2话代入①，得血0=1，所以0=，所以a 4).故 解得b=-3.e=-24.故b+c=-27.故选L 22 3=-2x4, §6用导数研究函数的性质 四重难点拨 (1)研究含参数的面数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响 6.1函数的单调性 进行分类讨论 白题 基础过关 (2)划分函数的单调区问时，要在蕾数定义域内讨论，还要确定 1.C解析：x∈(-3,0)时，∫'(x)<0,放f(x在x∈(-3,0)上单调递 数为零的点和西数的问断点 减，x∈(0.2)时.f'(x)>0,故f八x)在x∈(0,2)上单调递增.当xe 1.B解析：雨数(x)=血的定义战为(0.+云)，求导得厂”()= (2,4)时，'(x)<0,故/八x)在x∈(2,4)上单调递减，当xE(4,+g) 时，∫'(x)>0,故代x)在x∈(4，+x)上单调递增，显然C正确，其他 -×x-nx+1 选项错误故选C 一=n无，令f'(x)<0,解得，所以函数x)=h米 四方法总结 的单周递减以同为(。，+).又因为函数)=血在(a,+。)上单 确定函数单调区何的岁聚： ①确定函数八x)的定义域： 调递减，所以a≥e,所以实数a的取值范围为[e,+x).故选B. 12.C解析：因为函数f代x)=(x+)e,所以f"(x)=(x+k+1)e,因为函 2求f'(x): 数f八x)=(x+k)'在区间(1，+x）上单调递增，所以f'(x)≥0在 ③解不等式了'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区何： [1.+x》上恒成立，即x+k+1≥0在[1.+)上恒成立，即k≥-x-1 ④解不等式∫'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区问. 在[1，+x)上恒成立，所以k≥-2，故选C 2.D解析：观察y=f'(x)的图象.得当f‘(x)<0时，x<0或x>2,当 f"(x)>0时，0<x<2,于是得y=(x)在(-，0)和(2，+)上都是单 13.B解折：函数g)=h+子2-(-1)：的定义域为(0，+)· 调递诚的，在(0,2)上是单湖递增的，只有D选项符合上述条件故： 且g()=】+-(6-1).由g(x)存在单调递减区间知g()<0在 选D. (0,+云)上有解.因为函数g(x)的定义城为(0，+x),所以x+ 3.A解析：由已知可得函数y=fx)在(-，-1]上单调递增，在(-1， 1]上单词递减，在(1,2]上单调递增，在(2，+x)上单调递减.所以 ≥2要使一(-)<0在(0，+)上有解，只需要x的最 f"(-2)>0f(1)=0f"(3)<0,所以f'(-2)>f"(1)>f'(3).放选A 小值小于-1，所以2<b-1,即b>3,所以实数b的取值范围是(3， 4.(-2,0)和(2，+)解析：根据图象得出在(-2.0)和(2，+)上导 +e).放选B. 数值为负数，则函数y=f八x)的单调递或区间为(-2,0)和(2，+x).14.A解析：因为f(x)=x3-12x,该函数的定义域为R∫'(x)=3x2- 故答案为(-20)和(2，+）. 12.由f'(x)<0可得-2<x<2,由f'(x)>0可得x<-2或x>2,所以函 5.A解析：因为函数)了+，所以Pe)=,令()> 数x)的递增区间为(-x,-2)和(2，+x),递减区间为(-2,2).因 为函数f八x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上单，则(k-1.k+1)写 参考答案黑白题29