第二章 3 导数的计算-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

2,=-站：解得6=0或0=子故法C 线就较陡峭，所以曲线开始由平缓变陡：到过程进行到一半时，截得 的弦最大，曲线最陡蚺：以后弦又渐新变短，曲线由陡变平缓，4个图 9.2x-y+4=0解析：由题意知，4y=3(1+4x)2-4(1+4x)+2-3+4-2= 中只有D具有上述特点.故选D. 3(△x)2+2△x,y=im 之=2，所求直线的斜率k=2,则直线方程 2.解：(1)根据题意可知，将P(1,2)分别代人两曲线方程得到2=1+ 为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0, a,2=1+6+e两个函数的导函数分别是∫'(x)=im几x+)【》。 Ax 10【1,子]解析：可设点P的横坐标为，则一 y= 3ar到arO-2x6又f归3=2r 0+△x)2+2(0+4x)+3-x号-2x。-3 b,则3+a=2+b,解得a=1,b=2,c=-L. lim- (2)如图，要使抛物线g(x)=x2+2x-1上的点M到直线y=3x-2的 (Ax)2+2x0·△x+24x 距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线y=3x-2相同. Ax =mar+2t2)=2o*2, 六曲线C在点P处的切线斜率为2。+2由题意，得0≤2x0+2≤1， 则g()=2云+2=3，解得=子又因为点M在范物线上，解得 1≤6≤子点P的横坐标的取值范假是[1，] (行，)），所以最短距离即4的最小值为点M到直线y=3-2 11.f'(-2)<a<∫'(6)解析：函数f八x)为奇函数，f"(-2)为曲线在 1 点(-2，爪-2)处切线的斜率，∫'(2)为曲线在点(2，八2)处切线 的距离，代入点到直线的距离公式得d= √3+(-1)7 40 的斜率，了"(6)为曲线在点(6，八6)处切线的斜率， ∴f'(2)=f"(-2) 短距腐为3V1而 根据题意，函数f代x)在[0,6]上增长越来越快， 40 ∴f"(-2)=f'(2)<f'(6) 又a=6)-2.K62为(2,2).(6，《6)两点连线 6-2 6-2 的斜率，∫'(-2)=f'(2)<a<f"(6),即f'(-2)<a<f'(6). 2 解析：由导数的定义知。 (t2-6=2o, f'()=1m。4年 (o+4)3-8-3d g()=a。4c §3导数的计算 因为f'(x0)+2=g'(x）,所以2x0+2=36,即3x6-2。-2=0, 白题 基过关 解得1与或7 3 1.田解折：对于A,因为=宁生会所以A不正确，对于B, 13.解：△y=/1+4x)-j1)=√(1+Ax)+1-√2=√（△x)2+2Ax+2- 图为（一子广-（停广=0，所以B不正确：对于C,因为(3） 反…-ya'+24x2-2 Ax Ax 3a3,所以C正确：对于D,因为(g=10所以D正确故 √（△x)2+2Ax+2-√2 (△x)2+2Ax f'(1)=m 选CD. △x Las2ar2W △x+2 2.C解析：∫'(x)=c0sx,所以f -/A+2△x+2+反2 13x2,x<0, 由1)=2可知函数在x=1处的切线方程为y一2= 2(1), 3-1政写 解析：由题意知f'(x)= ￥，0e<1. 即x-√2yt1=0. 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(会去)； 14,解：存在 当0a<1时，。=3，解得a=宁 △y （x+a)2+1-(+1=2x 由导数的定义知，画画 所以a-1或a=号故答案为-1度号 1 Ax 设切点为(，2+1)，因为y=2x,所以切线的斜率为y:=2, 4.x(答案不唯一）解析：取f(x)=x4,则f八x12)=(x1南)4= 可得切线方程为y-(2+1)=24(x-t). =fx1)代2)，满足性质①f"(x)=-4x5,当x>0时，有f(x)< 将(1，a)代人，得a-(2+1)=2x(1-),即2-2+(a-1)=0 因为切线有两条， 0,满足性质②，∫'(x)=-4x5的定义城为{x1x≠0，关于原点对称， 所以62-4ac=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.放存在实数a,使得经 又∫'(-x)=-4(-x)5=4x5=f'(x),故∫'(x)是奇函数，满足性质 过点(1，)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范用是(-，2). ③.故答案为x)=x(答案不唯一) 压轴挑战 5.D解折：由y-士可得ys子则y八1-1，即曲线=在 1.D解析：当直线转动时，若某时刻直线被圆所裁得的弦较长，S的瞬 时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡销，曲 点(1，)处的切线的斜率为-1放曲线y=在点(1，)处的切线的 参考答案黑白题25 倾斜角为平故选D, 4. 6.B解析：∫(x)=3x2=3,x=±1，切点有两个，即切线有2条。 解析：因为∫'(x)= ,所以f(1)= 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线 =2+1在点（子，了）处的切线与曲线有另外一个交点(1,2)。 =。故答案为1 故A错误：对于B,过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切 ! 点，如经过曲线上一点，但不是在该点与曲线相切而是在其他地方相 5.了（答案不峰-）舞折：因为fP(e)是偶函数，设到a2+ 切，比如曲线y=x3与直线y=3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外 x,则f'(x)=3x2+b,由题意可知f'(0)=b=1,f'(1)=3a+b=0,解 点(-2，-8)，我们就可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y= x3相切，但切点是(1,1)面不是(-2，-8).故B错误：对于C,若 得a=了，6=1，故八)=一号2+红故满足条件的函数可以为 ∫'(x如)不存在，则曲线y=八x)在点(0，八x)处无切线是错误的， 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时∫'(e)不存在，但曲线y= 八到多案不-》 八在点(0,0)处有切线，故C错误：对于D,由曲线在一点有6. 4 解析：因为f八x)=x3-f(1)x2+x+5,则f'(x)=3x2-2f'(1)x+1. 平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则f"()不一定存在，故 D正确.故选ABC 令=1，有f'()=3-2(1)+1,解得∫"(1)=子放答案为号 息B0D解折：对于A项，)=的定义城为k01,且()： 7.解：(1f'(s)-e'sin=ecos.mx+cosx 子0，此时∫()=。无解，放A结误；对于B项，八)=n的定 (e2)2 e (2)y'=4x·(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3. 又装为0，e)测/e上>0，显然/e士-在0，+） (3)y'=sin xsin x-cos(1tcos )-1-cosx (sinx)2 sinx 上有解，故B正确：对于C项，f(x)=i加￥的定义域为R,且 8D解折：因为y22则了=2么所以=2x1- f'()=0,因为-1≤c≤1，所以了'()=6sx=在R上有解， 6m135°，所以曲线y=+3在点（(1,4)处的切线的候斜角为135，故 故C正确：对于D项，f(x)=e的定义域为R,∫'(x)=e>0,显然 了(x)=心=】在R上有解，故D正确放选BCD. 选D 9.八x)=x(答案不唯一)解析：两条切线互相平行应先满足在切点 9.x+y-T=0解析：因为f代x)=血，则f(x)=0m,可得 处的导数值相等， 例如x)=x3,f"(x)=3x2,f八1)=1，f-1)=-1, f()=一号切线斜率=一石所以点P处的切线方程为y 此时f'(1)=3,'(-1)=3, 1 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: （xm),整理可得x+y一T=0.故答案为x+my-T=0 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2:符合题意.故答案可以为 10.解：(1)由题可得∫(x)=alnx+a,由y=x-1的斜率为1，得f'"(1)= f八x)=x(答案不唯一) 1,即a=1. 10.解：，AB为定值，.要使三角形面积最大，只需点P到直线AB的距 (2)由(1)知，f'(x)=nx+1,设切点为(0%)，则f'(o)=no+ 离最大，∴·点P是与直线AB平行且与抛物线相切的切线的切点. 设点P(xoo),由题意知点P在x轴上方的图象上，即点P在y= 1,%=oln,又直线1过点A(0,©)，心山o+1=。,整 延心吃2店分得曲% 理得0=e,f"(e)=2,∴.直线1的方程为y+e=2(x-0),即2x 2压 y-e=0. 得%=1，P(1,1) 需丽应用提优 §4导数的四则运算法则 1,AB解析：对A,(2sinx-3)'=2cosx,故A正确：对B,(xosx)' 4.1导数的加法与减法法则+ ras+(m到=m-h,故B正确：对C,(（2广 42导数的乘法与除法法则 x'(2x+1)-*(2x+1)2x+1-2x 1 白题 基础过关 (2x+1)2 (2+1)“(2+放C错误；对D, 1.D解折：由题意可得∫)=m子故法D (侣)广：一故D猫灵放选A 四方法总结 2C解折因为(2+）广=32-子，放A不正确：因为（仁） 求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等语数的和、差、积、 中故B正确：因为(r:2散c正确：因为 商，再利用运算法则求导 (x2cosx)'=2 xc0+r2(-inx),故D不正确故选BC 2B解析：因为ye,所以y=1血产，则y1=1h1=十 x2 12 3.B解析：∫'(x)=cox+4,回 24x a,所以曲线y=血-在点(1，-a)处的切线的斜率为，=1+a.又因 3 x 为直线：2x-y+5=0的斜率2=2，由切线与直线1垂直可知k2= 选择性必修第二册·BS黑白题26§3导数的计算 白题基础过 限时：30min 题组1利用导数公式求函数的导数 B.过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定 1.(多选)(2024·江西南昌高二期中)以下求导 是切点 运算正确的是 C.若f'(。)不存在，则曲线y=f八x)在点(x f(x))处无切线 A.(E)=@ D.曲线y=f(x)虽在点(xf(x)处有切线， 但∫'(x)不一定存在 C.(3*)'=3ln3 D.(Ig x)'= xln 10 8.(多选)(2024·山东淄博高二月考)直线y= 2.(2024·重庆江津区高二期中)已知函数 x+b可作为函数y=(x)的图象的切线，则 x=sn,则f'(后)归 ( (x)的解析式可以是 A八)= B.f(x)=In x A. B② D.1 C.f(x)=sin x D.f(x)=e x3,x<0, 3.已知函数f(x)= 若f'(a)=3,则 9.已知曲线y=∫(x)存在两条互相平行的切线， lnx,0<x<1. 请写出一个满足条件的函数： d= 题组3导数公式的应用 4.(2024·江苏镇江高二月考)写出一个同时具 10.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交 有下列性质①②③的函数八x)= 于A,B两点，O为坐标原点，试在抛物线的 ①fxx2)=fx1）·f(x2): AB上求一点P,使△ABP的面积最大 ②当xe(0,+)时，f'(x)<0: ③f'(x)是奇函数 题组2利用导数公式求解切线问题 5.(2024·安徽宿州高二期中)曲线y=1在 点(1,1)处的切线的倾斜角为 ( A B 6.已知函数f八x)=x的切线的斜率等于3，则切线有 ( A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 7.(多选)下列说法不正确的是 A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 选择性必修第二册，BS黑白题46 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则④4.2导数的乘法与除法法则 白题 基础过关 限时：35min 题组1导数的四则运算法则 7.(2024·天津河东区高二月考)求下列函数的 1.(2024·河北张家口高二期中)函数f(x)= 导数 sinx-一的导数为 ( (1)(x)=cos x A.sin B.-c0s+2 (2)y=(2x2-1)(3.x+1): (3)y= 1+cosx C.cos 1 D.cos 1 sin x 2.(多选)(2024·广东深圳高二月考)下列求导 运算正确的是 ( A. 题组2利用函数求导法则求解切线问题 C.(logzx)'= 8.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)曲线y=x2+ aln 2 D.(x'cos x)'=-2xsin x 3在点(1,4)处的切线的倾斜角为 ( 3.（2024·四川眉山高二月考)已知函数 A.30° B.45° C.120° D.135° f(x)=sinx+4x,则li f+△x)-m)=( 9.(2024·湖北武汉高二期末)求函数f(x)= 2△x m在点P(m,0)处的切线方程 A.12 3 (请写成一般式) C.3 D.6 10.(2024·山东临沂高二期末)已知函数f(x)= 4.(2024·湖北武汉高二期末)若函数f(x)= axnx在x=1处的切线方程为x-y-1=0. ()为)的学质数，则了”)的 (1)求a的值： (2)若过点A(0,-e)的直线I与曲线y=f(x) 值为 相切，求1的方程 5.已知函数f代x)的导函数为f'(x),且f'(x)是 偶函数f(0)=1f'(1)=0.写出一个满足条 件的函数：f(x)= 6.(2024·江西景德镇高二期末)若f(x)=x3 f'(1)x2+x+5,则f'(1)= 第二章黑白题47