第二章 1-2 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

§1-§2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.(多选)已知点A(x1,y1),B(x2,)在函数y= A.k >k2 B.k<k2 f(x)的图象上，若函数f(x)从1到x2的平均 C.k=k2 D.无法确定 变化率为3，则下面叙述正确的是 ( 5.(2024·江西萍乡高二期中)设f代x)在R上的 A.曲线y=(x)的割线AB的倾斜角为 导函数为f'(x),若i f3-4x)-f3 2=2,则 6 △r0 3△x f'(3)= ( B.曲线y=✉)的制线B的倾斜角为号 A.-2 B.2 C.曲线y=f(x)的割线AB的斜率为5 C.-6 D.6 6.(2024·安徽蚌埠高二月考)若函数f(x)= D.曲线yx)的制线AB的斜率为日 ax+2bx+1的图象在点(1，f(1))处的切线方 2.lim- 1+x)2-1表示 程为4x-y-1=0,则f'(2)= () 40△x A.13 B.7 A.曲线y=x2切线的斜率 C.4 D.1 B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 7.（多选)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平 C.曲线y=-x2切线的斜率 行于y=2x-1,则点P的坐标为 () D.曲线y=-x2在点(1，-1)处切线的斜率 A.(1,3) B.(-1,3) 3.(2024·河北邢台高二月考)在高台跳水运动 C.(-1,-3) D.(1,-3 中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水 8.已知函数y=x2-1与y=1-x3在x=x处有相 面的高度h(单位：米)满足关系式h(t)=at+ 同的导数，则x。的值为 5t+11,当1≤t≤2时，h的平均变化率是 A.0 -10米/秒，则当t=3时，h的瞬时变化率是 ( c0或号 D.0或1 A.-15米/秒 B.15米/秒 9.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在 C.-25米/秒 D.25米/秒 点M(1,1)处的切线平行的直线方 4.如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相 程是 等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水 10.设点P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线 面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t),定 义域为D,设t。eD,k,k2分别表示f(t)在区 C在点P处切线倾斜角的取值范围是0， 间[to-At,to],[to,o+△]（△>0）上的平均变 ?],则点P横坐标的取值范图是 化率，则 11.已知奇函数f(x)在R上可导，其部分图象如 图所示，设u-K6)-2》,则f”(-2), 6-2 选择性必修第二册·BS黑白题44 f'(6),a之间的大小关系为 .（用压轴挑战 “<”连接) 1L.(2024·江苏苏州高二期中)如图，圆C与直 角三角形AOB的两直角边相切，射线OP绕 点O由OA逆时针匀速旋转到OB的过程 中，所扫过的圆内阴影部分面积S关于时间 t的函数的大致图象为 12.已知f(x)=x2,g(x)=x3,若f'(x)+2= g'(x),则x可能的取值为 13.用导数的定义，求函数f(x)=√x+1在x=1 处的切线方程 ☑2☑ 2.（2024·山西太原高二月考)已知两曲线 f八x)=x3+ax和g(x)=x2+bx+c都经过点 P(1,2),且在点P处有公切线。 (1)求a,b,c的值： (2)设抛物线g(x)=x2+bx+c上一动点M到 直线y=3x-2的距离为d,求d的最 小值 14.已知曲线y=x2+1,问：是否存在实数a,使得 经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？ 若存在，求出实数a的取值范围；若不存在， 请说明理由. 进阶突破拔高练PO@ 第二章黑白题451321 25倍.故选B :9.C解析：由直线：y=x+1与曲线y=(￥)切于点A(2,3),知 5284 100 (2=上由导数的定义知，一22="(2=L故法C 8.解：(1)因为四边形AD0,A,的周长为12，所以24D+2A41=2x+10.3x-y+3=0解析：由于y=x2+1,所以a=(-1)3+1=0.因此切点为 2L41=12,所以A4=6-x因为A41=6-x>0,x>0.所以0<x<6,所以 V(x)=2x·x·(6-x)=12x2-2x(0<x<6). (-1,0),曲线y=+1在点(-1,0)处的切线的斜率=m (2)若自变量x从1变到2，则V(x)的平均变化率为(2)-() (-1+4x)3+1-(-1)3-1 画「(a如)2-3r+3]=3,故所求切 2-1 12×4-2x8-(12-2-22 线方程为y=3[x-(-1)],即3x-y+3=0.放答案为3x-y+3=0 §1-§2阶段综合 (3)由(m)=12m2-2m2=2m2(0<m<6),得m=5.因为4" 黑题 阶段宿化 (5+4r)-(5)。[I2(5+4)2-2(5+Ar）3]-(12×52-2×5) 1.C解析：函数八￥)从1到的平均变化率就是糊线AB的斜率。 △x △x 2(4x)2-184r一30，所以当4r趋于0时.趋于-30，所以(x)在 所以5，所以C正确，制线松的候斜角为号，所以B正确故 选BC x=m处的楫时变化率为-30. (1+4r)2-1 1+山x)-1,可 §2导数的概念及其几何意义 2.B解折：银据导数的概念，A画。4 2.1导数的概念⊕ 山+2-表示yx=2在=1处的导数，由导数的几何 物im。x 2.2导数的几何意义 意义可知，其表示曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率故选B. 白题 基础过关 3.C 解析：由题意可得(2)-=3如+5：-10.解得a:-5,则 2-1 0+24r)x6-2△r) 1.D解析：lim =4 lim f和+2Ax)-0-2△x) 10 40 62-45+山.从面==+-@.-10+5，故 4f'(o）=4a.故选D h'(3)=-10x3+5=-25(米/秒).故选C. 0+4x)八n) 4.A解析：由容器的形状可知，在相同的变化时同内，高度的增加量越 2C解析：“f'()=1im。 a△r+b(△x)2 =m。 来越小，所以八)在区间[。-4,6]，[no+4r](4>0)上的平均变 ☐(a+64r)=a…f'(o)=a 化率越米越小，即k,>k2故远A 22 -2△x 3-4)-f3).-1】 f3-4x)-3) "a 3.D解桥：f'(x)=mA x(x+Ar) 5.c解析：由于m。34 -△x 3寸'(3)=2，则f'(3)=-6故选C -2 2 公m,m2=4,解得m=士2 2 1 6.A解析：函数fx)=am'+2x+1的图象在点(1,1)处的切线 4A解折：62)=4-1=3.与3)2)=9-4=5.= x+△x)=八= 2-1 3-2 方程为4x-y-1=0.y=4-1.f”()=m 4)-3》=16-9=7,k<k.放选入 4-3 3如r2+26,由题可知1)=3， (a+2b+1=3, 0=1. 1f(x)= f"(1)=4. 3a+2b=4, 16= 2 5.54.1解析：当△x=1时，制线AB的斜率k1= Ay Ax x3+x+1,f"(x)=3x2+1,f(2)=13故选A (2+4x)2-1-22+1.(2+1)2-2 1 =5:当Ax=0.1时.别线AB的斜 7.B解折：=回a0=3-1.令f'代=2故3时 △y.(240.102-1-21=4.1 1=2,解得x=1或-1.所以点P的坐标为(1,3)成(-1,3).经检验， 率k 0.1 点(1,3)，(-1,3)均不在直线y=2-1上，故选AB. 6C解析：'(x0)的几何意义是曲线y=《x)在点(，(o)处切线 的斜率，当切线垂直于x轴时.切线的斜率不存在，但存在切线. 8.C解析y=(2-)=m Ay 7.B解析：观察函数代x)的图象知：当x≥0时f(x)单调递增，且当 (x+4x)2-1-2+1 x=0时，八0)>0，随着x逐渐增大，函数图象由能逐渐变级，∫'(2)> 0,了'(3)>0，八3)-八2)>0.面x=3处（设为点B)切线的倾斜角比 2 =4+2)=2x, =2处（设为点A)的候斜角小，且均为锐角∫'(2）>f'(3),又 y14=2x 3)2)=3)-(2)是湘线B的斜率，显然f”(3)<(3)- 3-2 12 1-(x+△x)3-1+x △r 2)<'(2),所以0<f'(3)<3)-2)<f'(2).故选B. -3x2△r-3x(4r)2-(4r) 8.C解析：由题图可得，切线1过点(2,0)，(0,2)，所以切线【的方程 Ar 为了之=1，即y=2-x,所以切线的斜率为-1，所以了”()=- -33-34r-(4)]=-3 因为点P(1,o)在切线上，所以和=2-1=1，所以f八1)=1，所以 y=-3 f八1)+f"(1)=1-1=0,放选C :函数y=x2-1与y=1-3在x=0处有相同的导数， 选择性必修第二册·BS黑白题24 小2品，部得西0或6号故活C 线就较陡峭，所以曲线开始由平缓变陡：到过程进行到一半时，截得 的弦最大.曲线最陡蜡：以后弦又渐渐变短，曲线由陡变平缓，4个图 9.2-y+4=0解析：由题意知，4y=3(1+4x)2-4(1+4x)+2-3+4-2= 中只有D具有上述特点.故选D, 3(4如220了-一-2所求直线的斜率=2，则直线方程 2.解：(1)根据题意可知，将P(1,2)分别代人两曲线方程得到2=1+ 为y-2=2(x+1）.即2x-y+4=0. a,2=1+6+两个函数的导函数分别是广'(x=m+△)九)。 10【1.-]解桥：可设点P的横坐标为则一会 3x2+n,g=m*a=2+h又f"(1)=3+ag'(1)=2+ (0+4x)2+2(0+A)+3-话-2o-3 b.则3+a=2+b.解得a=1.b=2.c■-1. lim (2)如图，要使抛物线g(x)=x2+2x-1上的点M到直线y=3x-2的 (4x)2+2x0·4r+2A 距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线y=3x-2相同， Ax =i▣(4+2t2)=2。*2. 六曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2由题意，得0≤2x0+2≤1， 州g)=2+2=3解得=子又因为点W在抛物线上，解得 六一1≤≤子点P的横坐标的取值范程是【1，] (行，)）所以最短距离即4的最小值为点M到直线y=3-2 11.f'(-2)<a<f'(6)解析：函数f代x)为奇函数，f‘(-2)为曲线在 点(-2，爪-2)处切线的斜率，了(2)为曲线在点(2,2)处切线 的距离，代入点到直线的距离公式得d= 2-243而即最 √3+(-1)下 40 的斜率.了'(6)为曲线在点(6，尺6))处切线的斜率。 .f'(2)=f"(-2). 短距离为3V1而 恨据题意，函数八x在[0,6]上增长越来越快 40 ∴f'(-2)=f"(2)<f'(6) 又4=6)”-21=K62为(2,2).(6，f代6)两点连线 6-2 6-2 的斜奉，∴f'(-2)=f'(2)<a<∫'(6)，即∫'(-2)<a<f'(6). 2 3 解析：由导数的定义知。 （o+42-6-2o '(xo)=limg Ax （o+4-6-3d g'(o)=。r §3导数的计算 因为f'(x0)+2=g'(0)）,所以2x+2=3后，即3x-2xo-2=0, 白题 甚础过关 帮得6或与7 3 1①解桥：对于A因为(=宁会所以A不正确：对于 13.解：△y/1+4x)-1)=√(1+△x)+1-2=V√(4x)+2△r+2- 因为（一广=（停）广=0，所以B不正确：对于C.因为(39 2…Ag.a2*24+2-2 x 3h3,所以C正确：对于D,因为(g=0所以D正确故 (Ax)2+2△x+2-√2 (4x)2+2Ax f'(1)=i, +2at2+w 选CD. Ax 2.C解析：了'(x)=sx,所以f“ △r+2 √2 “/a+24r+2+27 /3x2.x<0 由1)=反可知函数在x=1处的切线方程为y-万= 2(). 3-1政对 解析：由题意知f'(x)= -,0<x<1 即x-√2y+1=0 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(含去)： 14.解：存在 y （x+ax)2+1-(2+D=2x 当0c4<1时，-3，解得a=3 a 由导数的定义知，y产画4 所以a=一1或0=号故答案为-1或 设切点为(t,2+1).因为y=2x,所以切线的斜率为y1,:=2a, 4,x(答案不唯一）解析：取f(x)=x,则f(x12)=(x12)4= 可得切线方程为y~(户+1)=2(x-t). 将(1，a)代入，得u-(2+1)▣2(1-).即2-21+(a-1)=0 x=x)/2).满足性质①/'(x)=-4x’,当x>0时，有f"(x)< 0,满足性质②.f'(x)=-4x5的定义域为|xx01,关于原点对称。 因为切线有两条， 所以2-4a=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2故存在实数a.使得经 又∫"(-x)=-4(-x)5=4x5=∫(x),故∫'(x)是奇函数，满足性质 过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(-，2). ③，故答案为肌x)=x(答案不唯一 压轴挑战 5.D解折：由y=士可得了：子则y-1,即曲线y=士在 1.D解析：当直线转动时.若某时刻直线被圆所截得的弦较长.S的瞬 时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较睫峭，曲 点(1,1)处的切线的斜率为-1故曲线y= 在盘1，)处的切线的 参考答案黑白题25