第二章 1 平均变化率与瞬时变化率&2 导数的概念及其几何意义-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版2019)

1传广- 13.(1)解：设等差数列a,的公差为d,而6，=8,6，为偶数，则 1 b1=a1-6,b2=2a1=2a1+2d,b3=a5-6=a1+2d-6,于是 54=4a1+6d=32, =2-2w)(3）广aeN 解得5所以a.=a,+(a-)d=2n+3,所 (T3=4a1+4d-12=16, d=2, 以数列{a.的通项公式是an=2n+3 11.解：(1)当n=1时，4S1=41=3a1+4,解得a1=4.当n≥2时，45.1= 3a1+4,所以45。-45.1=4a,=3a-3a1,即an=-3a1,而a1= (2)证明：方法一：由(1)知，3=n5+2a+3):r2+4n,6 2 4≠0，放0，≠0，故=-3，所以数列1a,是以4为首项，-3为公 .1 (2-3.n为奇数当n为偶数时，61+6，=2(n-1)-3+4n+6=6a+ (4n+6,n为偶数， 比的等比数列.所以a。=4·(-3)1 (2)由(1)得bn=(-1)1n·4×(-3)-1=4n·3r1,所以T.=b1+ 1,D=13+(6m).A3 2 +子当5时，-8=(2 b2+b3+…+6。=4×39+8×3'+12×32+…+4n·31,故3T=4×3+8× 32+12×33++4n·3”,所以-27=4+4×31+4×32+…+4·31- 子）小(44n=宁(a-1)>0,因此7>8：当a为奇数时，7 4n3=44x31-3m）4n·3=4+2x3·(3l-1）-4n·3- 1-3 6-2a1子a+0-4a1)+6+7-5.当 (2-4n)·3-2T.=(2n-1)·3+1. 12.解：(1)3a=3a1+a,.3d=a1+2d,解得a1=d,S3=3a= 5时，-8=(2+-5(24n=a+2a-5列>0， 0=6叉万=4场子会是？s*万=@： 因此T>Sn综上所述，当>5时，T>S。 子21，即2-730，解得43该4宁（合13， 方法三：由(1)知，S=n5+2a+3》=m2+4,6,: 2 a,=a1+(n-1)…d=3n (2-3.n为奇数当n为偶数时，工=(6+b++b)+(6+b,+ (4n+6,n为偶数， (2小：6，为等差数列2，=6+山，即2.2，卫。 42a1+3六6（G 612g3.会46 2 22 2n,当a>5 1）-6d=,即-3ad+2=0,解得a1=d或a=2b1, 时，五s-(层子）(4)7-0>0因此元8 a,>0.又5g-Tg=99,由等差数列性质知，99a0-99%0=99,即 当n为奇数时，若n≥3，则T。=(b,+b+…+bn)+(b2+b,+…+ 40-h01250-1,即品-40-250=0，解得0=51或 6)=1+2-3.n,14+4(-1)46.a-l.3 2 2 2 2225 n-5,显然 a0=-50(舍去）.当a1=2d时，a0=a1+49d=51d=51,解得d=1,与 综 2n-5,当> 1矛盾，合去；当a=d时，a0=a+49d=50d=51,解得d=0 万=6一1满足上式，因此当n为奇数时，工=子+ 上，4s 5时，工-8-（侵2+受-5小(4n)=a+2(a-50>0,因 50 此Tn>S综上所述，当n>5时，T>S, 第二章 导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 5.B解析：函数f(x)=x2在区间[0,2】上的平均变化率等于 1.1平均变化率⊕1.2瞬时变化率 2-0 -2因为是mtm.a+a2-m。 f2)-f02.4 Ax △x 白题 基础过关 2m·4x+(4x) 1.C解桥：平均变化率八11)).12- Ax 二=2m+a,所以当4趋于0时，之趋于2m因为函 Ax1.1-1 01 =21.故选C 数f八x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化 2.B解析：由题意知，位移y(单位：m)与时间（单位：）之间的关系 率，所以2=2m,解得m=1.故选B. 为y0)=户+2，则淡质点在1≤≤4这段时间内的平均速度为之 22 4)-(D_16+8-1-2=7(m/a.放选B 6.D解析：因为A_S3+4)-S(3).3+4+方 2 △ △ 3(3+4),所以当 4-1 3 3.C解析：在0到，范围内，甲，乙的平均速度都为”，故A,B错误： 山趋于0时，a于号做适B to 在6到范围内，甲的平均速度为2，乙的平均速度为 52845284 h-6 t1-to 7.B解析：因为x=98时，-c(98+4)-e(98)_2-4年2 △x Ax 因为与0>山6>0，所以20，则在6到，范围内，甲 h-6马10 22所以当△8于0时，尝趋于132，同理，=0,4：趋于 5284 的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误故选C 4.3解折：因为之m0_二4，所以m+1=4,解得m=3 m-1m-1 0时兰于 ,所以净化到纯净度为98%左右时所需费用的瞬 100 故答案为3. 时变化率是净化到纯净度为90%左右时所需费用的瞬时变化率的 参考答案黑白题23 1321 5284 =25倍.故选B. 9.C解析：由直线：y=x+1与曲线y=f(x)切于点A(2,3),知 100 f(2)=1由导数的定义知，马242"(2L故选C 8.解：(1)因为四边形ADD,41的周长为12，所以24D+241=2x+10.3x-y+3=0解析：由于y=x3+1,所以a=(-1)+1=0,因此切点为 2AA1=12,所以AA1=6-x因为AA1=6-x>0,x>0,所以0<x<6,所以 V(x)=2x·x·(6-x)=12x2-2x3(0<x<6). (1,0),曲线y21在点(-1,0)处的切线的斜率=一是 (2)若自变量x从1变到2，则()的平均变化率为(2)-（四 (-1+△x)3+1-(-1)3-1 1im[(4x)2-3Ar+3]=3,故所求切 2-1 12x4-2×8-(12-2）-=22 线方程为y=3[x-(-1)],即3x-y+3=0.故答案为3x-y+3=0. §1-§2阶段综合 (3)由(m)=12m2-2m3=2m2(0<m<6),得m=5因为Ay 黑题阶段强化 V5+Ax）-V5).[12(5+4)2-2(5+Ar)3]-(12×52-2x5) 1.BC解析：函数f(x)从x1到名的平均变化率就是割线AB的斜率， △x 2(42-184-30,所以当4趋于0时，趋于-30，所以（在 所以=B,所以C正确，制线B的倾斜角为号，所以B正确故 选BC x=m处的辉时变化率为-30 (1+4x)2-1 §2导数的概念及其几何意义 2B解析：根据导数的概念，与一八1+山，可 2.1导数的概念 n1+4)-表示y=)=2在x=1处的学数，由导数的几何 2.2导数的几何意义 意义可知，其表示曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率故选B. 白题 基瑰过关 3.C解折：由题意可得(2)-h①。3a+5=-10,解得a=-5,则 2-1 1.D解析：im +2△x)6-2△) f0+2△x)-2△x) =4 lim 0 4x o=-++1山，从而()==-@。-10+5，故 4f'(0)=4a.放选D. h'(3)=-10x3+5=-25(米/秒).故选C +Ax)-o) 4.A解析：由容器的形状可知，在相问的变化时间内，高度的增加量越 2.C解析：“'(o）=im ,adx+b(△x)2 △x 来越小，所以()在区间[。-4，o],[o,o+4](△>0)上的平均变 lim (atbAx)=a,f)=a. 化率越来越小，即k,>k2故选A 22 -2△x 3-4x)-f3)=-11 3D所女1@马- x(x+Ar) 5.C解析：由于im。3Ax -号3-423) -△g 3寸"(3)=2，则f'(3)=-6.故选C 巴+d回子小寻-分4，解得m2 -2 2 21 6.A解析：函数f(x)=ax3+2x+1的图象在点(1，f八1))处的切线 4.A解析6-2)0=4-1=3，-3)2)=9-4=5,4 2-1 3-2 方程为4标-y-1=0,y=4-1,'(x)=m x+ax)fx）. f4)3》=16-9=7,<k3<k故选A a=1, 3r2+26,由题可知1)=3， (a+2b+1=3. 4-3 1,f(x)= f"(1)=4, (3a+2b=4. 6=- 2 5.541解析：当4=1时，制线B的斜率与== △x x3+x+1,∫'(x)=3x2+1,∫"(2)=13.故选A (2+4x)2-1-22+1(2+1)2-2 △x 1 =5;当△x=0.1时，割线AB的斜 7.得解折：/=画A=32-1,令f(国=2，故3 率与是-204 1=2,解得x=1或-1，所以点P的坐标为(1.3)或(-1,3).经检验 01 点(1,3)，(-1,3)均不在直线y=2x-1上，故选AB 6.C解析f'(0)的几何意义是曲线y八x)在点(0八0)处切线 的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线 8.c解折y=(2-)'=m Ay 7.B解析：观察函数x)的图象知：当x≥0时，(x)单调递增，且当 (x+4x)2-1-x2+1 x=0时(0)>0，随着x逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓∫‘(2)> △x 0∫'(3)>0(3)-八2)>0，而x=3处（设为点B)切线的倾斜角比 鸟a2-与(ac22 x=2处（设为点A)的倾斜角小，且均为锐角，了'(2）>∫'(3)，又 y1%=2x0 3)2=3)-(2)是制线4B的斜率，显然f”(3)<(3)- 3-2 又r1r=0 1-(x+△x)3-1+ Ax f2)<f"(2),所以0<f'(3)sf3)-f2)f'(2).故选B. -3x2△x-3x(△x)2-(4x) 8.C解析：由题图可得，切线1过点(2,0)，(0,2)，所以切线1的方程： 为之之=1，即y=2-x,所以切线的斜率为-1，所以了"()=-1 =im-3x2-3x4r-(4x)21=-3x2. 因为点P(1,%)在切线上，所以y%=2-1=1,所以f八1)=1，所以 -3 f八1)f'(1)=1-1=0.故选C 函数y=x2-1与y=1-x3在x=和处有相同的导数， 选择性必修第二册·BS黑白题24第二章 导数及其应用 §1 平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率1.2 瞬时变化率 白题 基础过美 限时：30min 题组1平均变化率与平均速度 :6.(2024·福建厦门高二期中)如果质点A运动 1.(2024·河南郑州高二期中)已知函数f(x) 的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的 x2-1,则自变量x由1变到1.1时，f(x)的平 函数关系是5S(0=-2,那么该质点在4=3。 均变化率为 ( A.0.21B.-0.21C.2.1 D.-2.1 时的瞬时速度（单位：m/s)为 ( 2.(2024·河北邢台高二月考)某质点沿直线运 A.、2 B号 C、3 9 动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间 的关系为y(t)=2+2t,则该质点在1≤t≤4这 7.日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的 段时间内的平均速度为 纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知 将11水净化到纯净度为x%时所需费用（单 A.6 m/s B.7 m/s C.8 m/s D.9 m/s 3.(2024·广东肇庆高二月考) 位：元)为c(x)= 5284 80<x<100),则净化 100-x 物体甲、乙在时间0到1范围 到纯净度为98%左右时所需费用的瞬时变化 内，路程的变化情况如图所 率，大约是净化到纯净度为90%左右时所需 示，下列说法正确的是( ) 费用的瞬时变化率的 A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的 平均速度 A.30倍 B.25倍 B.在0到。范围内，甲的平均速度小于乙的 C.20倍 D.15倍 平均速度 8.(2024·辽宁本溪高二期中)如图，在长方 C.在t,到t1范围内，甲的平均速度大于乙的 体ABCD-A,B,C,D,1中，四边形ADD1A1的周长 平均速度 为12，CD=2AD=2x(x>0),长方体ABCD D.在。到1范围内，甲的平均速度小于乙的 A,B,C,D,的体积为V(x) 平均速度 (1)求V(x)的解析式： 4.(2024·湖南岳阳高二期中)已知函数f(x)= (2)若自变量x从1变到2，求V(x)的平均变 x2-1在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m 化率； 的值为 (3)若V(m)=2m2,求V(x)在x=m处的瞬时 题组2瞬时变化率与瞬时速度 变化率 5.(2024·江苏苏州高二月考)函数f(x)=x2在 区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬 时变化率，则m= ( B.1 C.2 3 D. 2 选择性必修第二册·BS黑白题42 §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念甲2.2导数的几何意义 白题 基础过关 很时：30min 题组1导数的定义 B.若曲线y=f八x)在点(x0,f(x)处有切 1.(2024·江西景德镇高二月考)若函数y= 线，则f'(x)必存在 f代x)在x=0处的导数等于a,则 C.若f'(x)不存在，则曲线y=f(x)在点 气+24)-24 (xo,(xo)处的切线斜率不存在 的值为( △x D.若曲线y=f(x)在点(xo,f代xo)处没有切 A.a B.2a C.3a D.4a 线，则f'(xo)有可能存在 2.设函数f八x)在点x附近有定义，且有f(x。+7.(2024·江西南昌高二月考)函数f(x)的图象 △x)-f(x)=a△x+b(△x)2(a,b为常数)，则 如图所示，下列数值排序正确的是() ( A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x)=a D.f'(xo)=b 012345 3已知)是且'(a)=则m的值为 A.0<f'(2)<f'(3)<f3)-f八2) ( B.0<f'(3)f3)-f2)<f'(2) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f2)》 题组2割线的斜率 D.0<f3)-f2)<f'(2)<f'(3) 4.已知函数f(x)=x图象上四点A(1,f(1),8.(2024·云南昆明高二期末)如图，函数y= B(2f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4),割 f(x)的图象在点P(1,y)处的切线是l,则 线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k,则 f(1)+f'(1)= ( A.k,<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k<ka<k D.k <k<k2 5.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+△x, A.1 B.2 C.0 D.-1 3+△y),当△x=1时，割线AB的斜率 9.(2024·广东江门高二月考)已知直线1：y=x+ 是 ;当△x=0.1时，割线AB的斜 率是 1,且与曲线y=f(x)切于点A(2,3),则 题组3导数的几何意义 lim 代2+△)=f2)的值为 ( △x 6.下面说法正确的是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 A.若f'(x)不存在，则曲线y=八x)在点 10.(2024·河北石家庄高二期末)曲线y=x3+1 (o,f代xo)处没有切线 在点(-1，a)处的切线方程为 第二章黑白题43