精品解析：山东省东营市垦利区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，符合题意； 、不是中心对称图形，不合题意； 、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 3. 如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 4. 如图，将平移后得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形外角的性质，由平移的性质得到，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 若k为自然数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可． 【详解】解：， ∴的值总能被4整除； 故选：B． 6. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 7. 甲、乙两船从相距的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为，若甲、乙两船在静水中的速度为,则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，据此列方程即可． 【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度为， 根据题意可得， ， 故选：A． 8. 如图，的斜边在y轴上，，，直角顶点C在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先画出相应的图形，然后根据旋转的性质和勾股定理、即可求得点的坐标． 【详解】解：作轴于点D，如图所示， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：C． 9. 如图，中，，，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形判定和性质及三角形中位线的性质是解题的关键．延长交于F，证明可得，，即是的中点，又由，可得是的中位线，根据中位线性质可得，进而可求得答案． 【详解】延长交于F，如图所示： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，，即是的中点， 又∵， ∴点E是的中点， ∴是的中位线， ∴, ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质， 本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点F与点C重合时，， ∵， ∴线段的最小值为； 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵都是定值， ∴是定值， ∴是定值， 故①错误，②正确， 故选：D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键． 12. 若分式的值为0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的概念及性质，根据分式的意义和性质解答即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则， 解得， 又，则， ． 故答案为：． 13. 如图，ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是___________. 【答案】BE=DF 【解析】 【分析】添加一个条件：BE=DF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可使四边形AECF是平行四边形． 【详解】解：可添加条件：BE=DF． 证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF， ∵OA=OC， ∴四边形AECF平行四边形． 故答案为：BE=DF. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 14. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 【答案】1.6 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.6， ∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6． 故答案为1.6． 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 15. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若，求的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】把进行变形得出，然后整体代入下面的式子即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴＝＝＝＝． 故答案为：． 17. 如图,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是_____. 【答案】2 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=4,AB∥CD，AB=CD=3， ∵E为BC中点， ∴BE=CE=2， ∵∠B=60°，EF⊥AB， ∴∠FEB=30°， ∴BF=1， 由勾股定理得：EF=， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠ECH， 在△BFE和△CHE中， ∴△BFE≌△CHE(ASA)， ∴EF=EH=，CH=BF=1， ∵S△DHF=DHFH=4， ∴S△DEF=S△DHF=2. 故答案为2. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O、、A、、B、、C……，都是平行四边形的顶点，点A、B、C……在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，先求出前几个点的坐标，找到规律第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴重合， ∴， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中心，其坐标为； 同理可得，，，则的中点坐标即第2个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第3个平行四边形的对称中心坐标为即 …… 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 ∴第个平行四边形的对称中心的坐标是即为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）解方程： ； （2）先化简，再求值：，其中a为满足的整数． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和分式的化简求值， （1）根据分式方程的解法去分母和合并同类项、系数化为1即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简分式，再结合已知a的范围求得可能值，代入求解即可． 【详解】解：（1）去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． （2）原式 ． ∵a为满足的整数， ∴a的值可以为0，1， ∵， ∴， 当时， 原式． 20. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把逆时针旋转得到． （1）画出和； （2）直接写出点的坐标________； （3）已知P为x轴上一点．若的面积为3，直接写出点P的坐标________． 【答案】（1）见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）别做出A、B、C三点关于原点的对称点、、，然后顺次连接、、即可得．将、、三个点分别绕原点O逆时针旋转得到、、，然后顺次连接、、即可得． （2）根据图形即可得出点的坐标． （3）先根据求出长，进而可求得P点坐标． 本题主要考查了平面直角坐标系中的中心对称作图和旋转作图，正确的得出对应点的坐标是解题的关键． 【小问1详解】 如图，和即为所求做的三角形； 【小问2详解】 如图，点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ， ， ， ，， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 22. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 d 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1） ， ， ， ； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】（1）8，8，9，0.4； （2）教练的理由是：两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定 （3）变小 【解析】 【分析】本题主要考査了求方差、中位数、平均数、众数、方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数、平均数、众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳走； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意得，， 甲的数据中，数据8出现的次数最多，故， 将乙的数据从小到大排列：5， 7，9，9，10，中位数， 甲的方差为：， 故答案为：8，8，9，0.4； 【小问2详解】 甲乙两人平均数相等，而方差， 故选手甲的成绩较乙稳定， 所以，选择甲参加射击比赛． 【小问3详解】 由题意，甲的6次成绩为：5，9，7，10，9，8 其平均数为 方差为：， ∴， 故选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小， 故答案为：变小． 23. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元； （2）购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识． （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个，由航空模型数量不少于航海模型数量的得到，根据题意得，根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ∴， ∴航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； 小问2详解】 设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个， ∵航空模型数量不少于航海模型数量的， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时， ∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。 24. 先阅读下列材料，再解答问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，求：①；②的值． （3）已知x是实数，若，请你利用配方法求出M的最小值． 【答案】（1） （2）13；97 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤是解题的关键． （1）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （2）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式； ∵ ∴原式； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，M有最小值1． 25. 【基础回顾】 （1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，，，点P在上，求，， 之间存在的数量关系． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）答： ， 证明：将顺时针旋转后得到， ，． 又， ． ． （3）将逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形． 由旋转的性质可知：，． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将平移后得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若k为自然数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被7整除 6. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 44 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 7. 甲、乙两船从相距的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为，若甲、乙两船在静水中的速度为,则所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，斜边在y轴上，，，直角顶点C在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 10. 如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．） 11. 因式分解：___________． 12. 若分式的值为0，则_______． 13. 如图，ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是___________. 14. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 15. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 16. 若，求的值是_____． 17. 如图,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是_____. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点O、、A、、B、、C……，都是平行四边形的顶点，点A、B、C……在x轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19 （1）解方程： ； （2）先化简，再求值：，其中a为满足的整数． 20. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 21. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把逆时针旋转得到． （1）画出和； （2）直接写出点的坐标________； （3）已知P为x轴上一点．若的面积为3，直接写出点P的坐标________． 22. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 d 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： （1） ， ， ， ； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 23. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 24. 先阅读下列材料，再解答问题： 对于形如这样二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，求：①；②的值． （3）已知x是实数，若，请你利用配方法求出M的最小值． 25. 【基础回顾】 （1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，，，点P在上，求，， 之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $