精品解析：上海市普陀区2024—2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题

2024学年度第一学期期末九年级自适应练习 数学学科 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数中，y关于x二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（ ） A. B. C. D. 4. 设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（ ） A. 与方向相同 B. C. D. 5. 如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_________． 8. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 9. 已知二次函数的图像经过原点，那么_________． 10. 已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 11. 已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第_________象限． 12. 已知中，，是边上的高，．如果，那么_________． 13. 如图，已知中，点D、E、F分别在边、、上，，．如果，，那么_________． 14. 如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 15. 如图，中，，中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________． 16. 如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为_________． 17. 中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么_________． 18. 在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． （1）求的值； （2）设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 21. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）如果，求点的坐标． 22. 如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） （1）小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； （2）为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 23. 已知：如图，梯形中，，为对角线，． （1）求证：； （2）E为的中点，作，交边于点F，求证：． 24. 在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 25. 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”． （1）如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； （2）在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度第一学期期末九年级自适应练习 数学学科 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：不是的二次函数，故A错误； 不是的二次函数，故B错误； ，即是的二次函数，故C正确； ，当时，不是的二次函数，故D错误； 故选：C． 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 3. 下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为，它的对称轴为．本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称轴即可． 【详解】解：A 、二次函数的对称轴是轴，故A选项不符合题意； B、二次函数的对称轴是轴，故B选项不符合题意； C、二次函数的对称轴是轴，故C选项不符合题意； D、二次函数的对称轴是轴，故D选项符合题意 故选：D． 4. 设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（ ） A. 与方向相同 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据非零向量、，有，即可推出，从而得出，，与方向相反，由此即可判断． 【详解】解：∵非零向量、，有， ∴， ∴，，与方向相反， 故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意． 故选：A． 5. 如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意； 故选：． 6. 如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例性质，由得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∴， 故答案为：． 8. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 9. 已知二次函数的图像经过原点，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为： ． 10. 已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 11. 已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 12. 已知中，，是边上的高，．如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 中，，是边上的高， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知中，点D、E、F分别在边、、上，，．如果，，那么_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，根据得到，根据比例的性质可得，再根据证出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 14. 如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16. 如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴米，（米）， ∴这个斜坡的坡度， 故答案为：． 17. 中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点， ∵， ∴， ∵交边于点，交的延长线于点， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，点关于直线对称， ∵， ∴的重心在直线：上，即为点， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， ∴， ∴， 设（），则， ∴， ∴， 设点，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 20. 如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． （1）求的值； （2）设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）如果，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 22. 如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） （1）小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； （2）为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）大楼的高度为 （2）能，大楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； 【小问2详解】 解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 23. 已知：如图，梯形中，，为对角线，． （1）求证：； （2）E为的中点，作，交边于点F，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）先证明，可得，再由可得，结合，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即：， ∴ ∴ 24. 在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【小问1详解】 解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． 【小问2详解】 解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． 【小问3详解】 解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”． （1）如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； （2）在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【答案】（1）的值等于3； （2）图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作，交于点G．由“线垂”三角形的定义求得，由等腰三角形的性质求得，证明，，推出，，据此求解即可； （2）在边上取点M，使，联结，那么是“线垂三角形”，是“分角”，证明，得到，则也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，延长至点G，使，联结，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：过点E作，交于点G． 由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3； 【小问2详解】 解：在边上取点M，使，联结， 那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”； 【小问3详解】 解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴． 【点睛】本题考查了“线垂三角形”的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$