精品解析：江苏省南通市海门区海南中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

南通市海门区海南中学2024学年度九年级上学期期末模拟测试卷 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4. 作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. a+2a＝3a B. （a+b）2＝a2+ab+b2 C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. a•2a2＝2a2 4. 如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：=_________________________． 12. 正六边形的每一个外角是___________度 13. 新冠肺炎疫情发生以来，近4500000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4500000用科学记数法表示为_____． 14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分． 15. 如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图像经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是______． 17. 观察下列结论： （1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，； （2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，； （3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；…… 根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是_________________． 18. 如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）； （2）解方程： （3）先化简，再求值：，其中． 20. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 21. 如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为） 23. 2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）． 24. 团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是　 　km/h，乙车行驶　 　h到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　 　km；出发　 　h时，甲、乙两车第一次相距40km． 25. 四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点． （1）如图1，当点是边的中点时，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，求的长； （3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由． 26. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 27. 如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连结交于点E，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P与点B重合时，求t的值． （2）用含t的代数式表示线段的长． （3）当为锐角三角形时，求t的取值范围． （4）如图②，取的中点M，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区海南中学2024学年度九年级上学期期末模拟测试卷 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4. 作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看有2行，上面一行是横放2个正方形，右下角一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图． 3. 下列计算正确的是（　　） A. a+2a＝3a B. （a+b）2＝a2+ab+b2 C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. a•2a2＝2a2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用合并同类项、完全平方公式、乘方以及单项式乘单项式的运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，故该选项计算正确； B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误； C．（﹣2a）2＝4a2，，故该选项计算错误； D．a•2a2＝2a3，，故该选项计算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、乘方、单项式乘单项式等知识点，掌握相关计算方法和运算法则是解答本题的关键． 4. 如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键． 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 6. 数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的数据，可知做对9道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解决． 【详解】解：由条形统计图可得， 全班同学答对题数的众数为9， 故选：C． 【点睛】本题考查条形统计图、众数等相关知识点，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差的概念及意义，利用数形结合的方法求解． 7. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，把点、、代入，则 ， 消去c，则得到， 解得：， ∴抛物线的对称轴为：， ∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题． 8. 如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案. 【详解】∵, ∴∠BOC=2∠BDC=40°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=140°， 故选：B. 【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题． 【详解】作CE⊥y轴于E． 在Rt△OAD中， ∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=， ∴OD=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=， ∴在Rt△CDE中， ∵CD=AB=，∠CDE=， ∴DE=， ∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2） 过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2） 连接BE交x轴与D点 过A’作A’C∥DE交x轴于点C， ∴四边形CDEA’为平行四边形， 此时AC+BD最短等于BE的长， 即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE== 故选B． 【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 12. 正六边形的每一个外角是___________度 【答案】60 【解析】 【详解】∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°， ∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°， 故答案为60． 13. 新冠肺炎疫情发生以来，近4500000名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据4500000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】4500000用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分． 【答案】85 【解析】 【分析】按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小明本学期的体育成绩为：=85（分）， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 15. 如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可． 【详解】在中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图像经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．解不等式组，设，过作轴于点，证明，根据性质可得，又，则，求出，然后代入解析式，最后通过解不等式组即可． 【详解】解：∵点的坐标为，轴于点， ∴，， 设， 过作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 17. 观察下列结论： （1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，； （2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，； （3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；…… 根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是_________________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论． 【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN， ∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=， ∵在△ABN和△CAM中， ， ∴△ABN≌△CAM（SAS）， ∴AN= CM，∠BAN=∠MCA， ∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°， 故结论为：AN= CM，∠NOC=60； （2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN， ∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=， 同理可证：Rt△ABNRt△DAM， ∴AN= DM，∠BAN=∠ADM， ∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°， 故结论为：AN= DM，∠NOD=90； （3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN， ∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=， 同理可证得：Rt△ABNRt△EAM， ∴AN= EM，∠BAN=∠AEM， ∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°， 故结论为：AN= EM，∠NOE=108； ∵正三角形的内角度数为：60°， 正方形的内角度数为：90°， 正五边形的内角度数为：108°， ∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角， 在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现与的夹角与正边形的内角相等． 18. 如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积． 【详解】 如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G， ∵根据题意四边形ABEF为菱形， ∴AB=BE=， 又∵∠ABE=30° ∴在RT△BHE中，EH=， 根据题意，AB∥CF， 根据平行线间的距离处处相等， ∴HE=CG=， ∴的面积为． 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）； （2）解方程： （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，分式的化简求值； （1）根据化简绝对值，负整数指数幂，求一个数数的算术平方根以及有理数的乘方进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先根据分式的减法进行计算，然后将代入化简结果求值，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：； 【小问3详解】 解： ； 当时，原式． 20. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%； （2）补全条形图如图所示． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可； （3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）抽取的总数为：（件）， ∴XXL的百分比：， XL的百分比：； ∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%． （2）根据题意， S号的数量：（件）， L号的数量：（件）， XL号数量：（件）； （3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则， 根据概率的意义，有， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°， ∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°， ∴∠BAE=∠CDE， 在△BAE和△CDE中: ， ∴． (2)15°． 【解析】 【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明； (2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：(1)略 (2)∵AB=AD，且AD=AE， ∴△ABE为等腰三角形， ∴∠ABE=∠AEB， 又∠BAE=150°， ∴由三角形内角和定理可知： ∠AEB=(180°-150°)÷2=15°． 故答案为：15°． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键． 22. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为） 【答案】 根据题意画树状图如下： 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种， ∴（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案． 【详解】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形， ，， ，， 在中，，，， ； 在中，，，， ， ， 即管道AB和BC的总长度为：． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度． 24. 团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是　 　km/h，乙车行驶　 　h到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　 　km；出发　 　h时，甲、乙两车第一次相距40km． 【答案】（1）100km/h，10h；（2）y＝80x+100（）；（3）100km；2h 【解析】 【分析】（1）结合图象，根据“速度＝路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间＝路程÷速度”即可得出乙车行驶的时间； （2）根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可； （3）根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差＝速度差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距40km行驶的时间． 【详解】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h）， 故答案为：100；10； （2）∵乙车速度为80km/h， ∴甲车到达绥芬河的时间为：， 甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 将（5，500）和（，800）代入得：， 解得， ∴y＝80x+100， 答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km）， 40÷（100﹣80）＝2（h）， 即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km． 故答案为：100；2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键． 25. 四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点． （1）如图1，当点是边的中点时，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，求的长； （3）在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由． 【答案】 （1）证明:四边形是正方形， ， 点分别是的中点， ， ， . （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，再由E、F分别是AB、BC的中点即可证明； (2)证明，然后再根据对应边成比例即可求出AG； (3)先证明DM=MG，然后在Rt△ADM中由勾股定理求出DM，进而求出CM，再证明，根据对应边成比例即可求出BF． 【详解】解：(1)略 (2)在正方形中，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． (3)当时，.理由如下: 由(2)知，当点与重合(即)时， ， 点应在的延长线上(即)， 如图所示，设交于点， 若使， 则有， ， 又， ， ， 在中，， 即， ， ， ， ， ， 即， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形和相似三角形的综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，中点的性质，解本题的关键是三角形相似的判定的应用，难点是准确找出相似三角形． 26. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【解析】 【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 如图①，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连结交于点E，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P与点B重合时，求t的值． （2）用含t的代数式表示线段的长． （3）当为锐角三角形时，求t的取值范围． （4）如图②，取的中点M，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）点在线段上时，；点在线段上时， （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据，构建方程求解即可； （2）分两种情形：当点在线段上时，首先利用勾股定理求出，再求出即可解决问题.当点在线段上时，在中， 求出即可； （3）求出两种特殊情形下是等腰直角三角形时的值， 即可求解当为锐角三角形时的取值范围. （4）分两种情形：如图⑥中，当点在线段上，时. 如图⑦中， 当点在线段上， 时，分别求解即可. 【小问1详解】 解：当点与重合时，， 解得 ； 【小问2详解】 解：在 中， ， ， 如图①中，当点在线段上时， 在中，， ， 如图③中，当点在线段上时， 在中，， ； 【小问3详解】 解：当是等腰直角三角形时，则， 如图④中，当点在线段上时， 在中， ， ， ， ， 如图⑤中，当点在线段上时， 在中， ， ， 解得 ； 是锐角三角形， ∴观察图象可知满足条件的的取值范围为或； 【小问4详解】 解：如图⑥中，当点在线段上， 时， 过点作 于， 延长交于， 过点作于， ， 在中， ， 在中，， ， 解得 ， 如图⑦中，当点在线段上， 时， 过点作 于， 过点作于， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 解得 综上所述，满足条件的的值为或 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质 ，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $