精品解析：福建省南安第一中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段测试数学试题

南安一中2024-2025学年度高二年第二次阶段考 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直得到，求解即可. 【详解】由两条直线垂直可得：， 即， 解得：或. 故选：D 2. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 3. 已知是实数，则“”是“为和的等差中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若为和的等差中项，等价于，等价于， 所以“”是“为和的等差中项”的充要条件. 故选：C. 4. 椭圆与的关系为（ ） A. 有相同的长轴长与短轴长 B. 有相同的焦距 C. 有相同的焦点 D. 有相同的离心率 【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，分别求出长轴长，短轴长，焦距，离心率即可判定. 【详解】将化为，焦点在轴上， 故其长轴长为，短轴长为，焦距为，焦点坐标为，，离心率为； 将化为，焦点在轴上， 故其长轴长为，短轴长为，焦距为，焦点坐标为，，离心率为. 故选：D 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义知道，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 6. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点是底面圆周上异于的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点到平面的距离（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一： 当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，连接交于点，点到平面的距离等于点到平面的距离，利用体积相等可得答案； 法二：当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，易证平面平面平面ADE，因此点到平面BDE的距离为点到直线DE的距离，可得答案； 法三：当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，建立空间直角坐标系，利用点到平面的空间距离公式计算可得答案. 【详解】法一：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 此时，， 连接交于点，所以点为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 由于平面，所以， ，所以， 所以，解得. 法二：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 所以，， 连接交于点，所以点为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 做，且交于点， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 因此点到平面的距离为点到直线的距离， 即. 法三：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 可得， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以点到平面的距离为. 故选：D. 7. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给条件和三角形面积公式，求得，的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设的内切圆半径为， 则，，， 因为， 所以， 由双曲线的定义可知，， 所以，即. 故选：B. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于的齐次式，再化简转化成关于的不等式即可得解，本题属于较难题. 8. 已知椭圆：的离心率为，M为的上顶点，P，N是椭圆上不同于M的两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的方程，求出，由建立方程，确定方程解的个数即得答案. 【详解】显然，直线MN的斜率存在，由对称性，不妨设直线MN的方程为， 由消去y得，得点横坐标， 则，同理， 由得， 化简得，即， 由，得，令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增，且， 因此当时，方程有3个不等的实根， 所以满足条件的有3个. 故选：C． 【点睛】思路点睛：确定图形个数问题，选定一个变量，结合题设条件建立方程，转化为分析判断方程解的个数作答. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱，分别交于点F，G，则下列说法中正确的是（    ） A. 线段长度的取值范围是 B. 当点F与点B重合时，三棱锥的体积为 C. 存在点F，使得 D. 当点F为棱中点时，截面的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】延长交延长线于，连接，令.对于A，利用分离常数法研究在上的单调性，即可判断；对于B，利用等体积法即可求解；对于C，建立空间直角坐标系，利用垂直的向量表示即可判断；对于D，解三角形即可求出截面周长. 【详解】在直三棱柱中，，，E为的中点，∴. 延长交延长线于，连接，如图1，令， 于是，即，由，得，即. 对于A，显然在上单调递增，所以，A正确； 对于B，当点F与点B重合时，如图2，，，， 三棱锥的体积：，B正确； 对于C，以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则， ，，显然与不垂直， 因此不存在点F，使得，C错误； 对于D，当点F为棱中点时，，，， ，， 所以截面的周长为，D正确. 故选：ABD 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量投影的概念可求得结果. 【详解】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 13. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，先求出点到渐近线的距离为，由，结合正弦定理和双曲线定义，求出，，在中，根据余弦定理，得出关系，进而可求出离心率. 【详解】由题意知，点到渐近线的距离为， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以， 得，则， 在中，由正弦定理得，即，得， 由双曲线的定义知，所以， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以离心率为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛： 求解双曲线离心率问题时，一般需要根据题中条件，结合正余弦定理以及双曲线的定义，列出三者之间关系，进而即可求出离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】（1） （2）或,证明：由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【小问1详解】 已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知圆，直线. （1）若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； （2）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （2）设动点，由几何关系得动点M满足的向量关系，可求得轨迹方程. 【小问1详解】 圆化为标准方程为， 圆心，半径， 设圆心到直线l的距离为d，因为弦长为，则，解得， 所以，解得，故直线方程为或. 【小问2详解】 直线，直线过定点，且斜率存在， 设弦AB的中点， 则，所以，即， 点也满足方程，此时点与点重合，直线l的斜率不存在，不合题意， 所以弦的中点M的轨迹方程为. 17. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图， 在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）延长和交于一点，连接，如图， 则直线即为平面与平面的交线. （ii）. 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得到线线平行，由线面平行判定定理得证； （2）（i）延长和交于一点，连接得到平面交线（ii）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． （1）求的方程； （2）若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； （3）过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1）； （2）8； （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 【解析】 【分析】（1）由焦点关于直线的对称点为即可求得p值，则抛物线方程可求； （2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解； （3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求. 【小问1详解】 抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 19. 若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. （1）证明； （2）当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； （3）已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【答案】（1） 证明：不妨设在渐近线上，在渐近线上. 联立与，得到，， 同理，得到，， 进而有，， 故为线段中点，即. （2）过多边形的重心，理由： 设多边形有个顶点，分别为. 不妨设顶点在上方，在下方. 令方程为，且顶点到距离为， 于是，， 由题知，，故有， 即，故过多边形的重心. （3） 【解析】 【分析】（1）不妨设在渐近线上，在渐近线上，求出点、的坐标，证明出为线段的中点，即可证明结论成立； （2）设多边形有个顶点，分别为.不妨设顶点在上方，在下方.令方程为，且顶点到距离为，根据点到直线的距离公式和已知条件可得出，即，由此可证得结论成立； （3）设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为，分析可知，、、、共线，求出直线和切线方程，可得出，，求出切线与轴的交点坐标以及点、的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求出的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为. 易知，可得，进而、、三点共线. 由（2）知必过、，于是为直线. 又因为四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上， 故在直线上，故、、、共线. 可得直线且过点，则， 于是直线为，故，. 于是切线为，与轴交点为. 由（1）知，， 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，进行推导，证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2024-2025学年度高二年第二次阶段考 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线垂直，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 2. 设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是实数，则“”是“为和的等差中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 椭圆与的关系为（ ） A. 有相同的长轴长与短轴长 B. 有相同的焦距 C. 有相同的焦点 D. 有相同的离心率 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点是底面圆周上异于的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点到平面的距离（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的离心率为，M为的上顶点，P，N是椭圆上不同于M的两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 10. 如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱，分别交于点F，G，则下列说法中正确的是（    ） A. 线段长度的取值范围是 B. 当点F与点B重合时，三棱锥的体积为 C. 存在点F，使得 D. 当点F为棱中点时，截面的周长为 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______． 13. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 16. 已知圆，直线. （1）若直线l被圆截得弦长为，求直线l的方程； （2）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦的中点M的轨迹方程. 17. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． （1）求的方程； （2）若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； （3）过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 19. 若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. （1）证明； （2）当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； （3）已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $