精品解析：山东省临沂市平邑县2024-2025学年上学期九年级数学期末试题

2024—2025学年度上学期期末学业水平质量监测试题 九年级数学（B卷） 2025.1 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共5页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分），下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过长期努力学习，你会成为科学家 B. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 C. 打开电视机，正在直播 D. 在地球上抛出的篮球会下落 5. 一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为和，由此可估计盒中大约有白球（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 56 6. 如图，是中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（ ）m． A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 50° D. 80° 9. 如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（ ) A. B. 16cm C. D. 10. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 11. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 14. 若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接) 15. 从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是_______． 16. 如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，若∠A＝100°，∠C＝45°，则∠A'BC的度数为 ___度． 17. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为___． 18. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交x轴于另一点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为__________． 三、解答题（共60分） 19. 计算： 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 21. 王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2） 22. 2023年5月8日，国产大飞机商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末学业水平质量监测试题 九年级数学（B卷） 2025.1 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共5页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分），下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下． 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的； 故选：D 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 经过长期努力学习，你会成为科学家 B. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 C. 打开电视机，正在直播 D. 在地球上抛出的篮球会下落 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 经过长期努力学习，你会成为科学家，是随机事件； B. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光，是随机事件； C. 打开电视机，正在直播，是随机事件； D. 在地球上抛出篮球会下落，是必然事件； 故选：D． 5. 一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为和，由此可估计盒中大约有白球（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出盒中白球所占的比例，再计算其个数．根据题意，先求出摸到白色小球的频率，再乘以总球数即可求解． 【详解】解：∵多次试验的频率会稳定在概率附近， ∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为， ∴白球的个数约为个． 故选：B． 6. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：D． 7. 如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（ ）m． A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为， ∴sinC=， 则， 解得：AC=10， 则坡面AC的长度为10m． 故选A． 8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 50° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可求得∠A度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A，由此可求得∠DCE的度数． 【详解】∵∠BOD=100， ∴∠A=50， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCE=∠A=50. 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质. 9. 如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（ ) A. B. 16cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到的长，再根据切割线定理即可求得的长 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键. 10. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 11. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴， ∴b＜0，，故②正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0， ∴，故①正确； ∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0， ∵，∴， 整理即得：，故③正确； ∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c， ∴（m为实数），即（m为实数），故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小，， 则：， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x−1）本图书，有x名学生，那么总互共送x（x−1）本，根据全组共互赠了132本图书列出方程，继而求解即可得出答案． 【详解】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x−1）本； 则总共送出的图书为x（x−1）； 又知实际互赠了132本图书， ∴x（x−1）＝132． 整理得， 解得（舍去）， ∴全组共有12名同学． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x−1）本是解决本题的关键． 14. 若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接) 【答案】a＜b＜c 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答. 【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上， ∴点离对称轴距离越远函数值越大， ∵-1-（-2）=1， 1-（-1）=2， 2-（-1）=3， ∴a＜b＜c， 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键. 15. 从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可． 解： 共有6种情况，在第四象限的情况数有2种， 所以概率为 故答案为． 考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在第四象限的情况数是解决本题的关键． 16. 如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A'BC'，若∠A＝100°，∠C＝45°，则∠A'BC的度数为 ___度． 【答案】10 【解析】 【分析】由将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A′BC'，可求得∠ABA′＝45°，然后由三角形内角和定理，求得∠ABC的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵将△ABC绕着点B逆时针旋转45°后得到△A′BC'， ∴∠ABA′＝45°， ∵∠A＝100°，∠C＝25°， ∴∠ABC＝180°−∠A−∠C＝180°−100°−45°＝35°， ∴∠A′BC＝∠ABA'−∠ABC＝45°−35°＝10°． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理．注意掌握旋转前后对应角相等是关键． 17. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为___． 【答案】8 【解析】 【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m）， 则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4， 则k1﹣k2＝8． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题． 18. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交x轴于另一点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据抛物线与轴的交点问题，得到图象 与x轴交点坐标为：，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为： ， 发现每经过个单位长度，纵坐标循环一次，即可得到时的纵坐标和时的纵坐标相同，从而代入求得的值. 【详解】 ∴图象与轴交点坐标为： ， ∵将绕点旋转得 ， 交轴于点， ∴抛物线 将绕点旋转得， 交轴于点； … 发现每经过个单位长度，纵坐标循环一次， 又∵， ∴时的纵坐标和时的纵坐标相同，即， 故答案为： ． 三、解答题（共60分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数次幂和二次根式的性质． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数次幂和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； 【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 故每件工艺品售价应为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2） 【答案】能，理由见解析． 【解析】 【详解】试题分析： 由题意可知，手机能不能放入卡槽AB内可以通过线段AB的长与手机的长17cm的比较来判断. 因此，本题就转化为如何求解线段AB的长. 分析已知条件可知，通过作△ABC的边BC上的高AD，可以利用已知条件中∠ACB的度数与边AC的长求解Rt△ADC，进而通过勾股定理得到线段AB的长. 试题解析： 王浩同学能将手机放入卡槽AB内. 理由如下. 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. ∵∠ACB=50°，AC=20cm， ∴在Rt△ADC中， (cm)， (cm)， ∵BC=18cm， ∴BD=BC-CD≈18-12=6(cm)， ∴在Rt△ADB中，(cm). ∵，， 又∵， ∴AB>17，即卡槽AB的长度大于手机的长， ∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内. 点睛： 本题考查了解直角三角形的相关知识. 利用解直角三角形求解线段长度问题的关键是寻找或构造合适的直角三角形. 符合条件的直角三角形不仅自身是可解的，而且还要能够通过公共边之类的关系与要求的线段相联系. 一般情况下，相关三角形的某一条边上的高往往是解题的突破口. 22. 2023年5月8日，国产大飞机商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【解析】 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； 【小问2详解】 ∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的角平分线，进而可得，，根据垂径定理的推论可得，由，即可证明，即可证明是的切线； （2）由可得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得，根据圆内接四边形的对角互补，可得，可得，即可证明 （3）连接，根据直径所对的圆周角等于90°，进而勾股定理求得，由，进而求得，根据（2）的结论，列出比例式，代入数值计算即可求得线段的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的角平分线， 是的切线； （2） ， （3）如图，连接 是的直径， ， 在中，， 在中 即 【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角等于90°，等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆周角之间的关系，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $