精品解析：黑龙江省牡丹江市第十一中学区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

十一中学区2024—2025学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图像中是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A B. 2 C. 4 D. 3. 已知抛物线向右平移2个单位后与的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 4. 若点都是反比例函数图象上的点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 在下面网格中，小正方形边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 8. 如图，是双曲线上关于原点对称任意两点，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，为上一点且于点，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图，在与中，点E在边上，，，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件可以是_________（添加一个即可）． 12. 在一个不透明盒子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是_____． 13. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______. 14. 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 15. 如图，函数与的图象相交于点和点，当时，自变量的取值范围是__________． 16. 在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为__________． 17. 如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________． 18. 如图，是矩形的边的中点，于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤图中相似三角形只有5对．其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（满分66分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）求的面积． 21. 正方形的边长为8，点在边上，且，点是正方形边上的一个点，连接交于点，若，请画出图形，并直接写出线段的长． 22. 某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：．器乐，．舞蹈，．朗诵，．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是________，并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？ （3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至地．再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，发现风景区在地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求两地的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）． 24. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M． （1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM； （提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．） （2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，在轴负半轴上，在轴上，．若的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求点，点的坐标； （2）在线段上，若反比例函数经过点，求的值； （3）点在轴上，在直线是否存在点，使与相似？若存在，写出点的个数，并直接写出在点下方的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十一中学区2024—2025学年度第一学期九年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图像中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．直接根据进行求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 已知抛物线向右平移2个单位后与的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程的联系，正确理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．先求出抛物线平移后的解析式，再根据二次函数与一元二次方程的联系，得到是方程的根，从而得出，最后将代入计算，即得答案． 【详解】， 抛物线向右平移2个单位后的解析式为， 令，则， 是方程根， ， ． 故选：D． 4. 若点都是反比例函数图象上的点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由题意可得：，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 5. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形，得底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体． 【详解】解：综合主视图和俯视图，底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个． 故选：C． 7. 在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作边上的高，根据算出，由即可求解． 【详解】解：由图可知：, 作边上的高，如图： 则 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查求解一个角的正弦值．将所求角度放在直角三角形中是解题关键． 8. 如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 9. 如图，在中，，为上一点且于点，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，设，则，先解求出，再解求出，进而求出，最后根据正切的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，根据图象得出二次函数的性质，再推断即可． 【详解】解：①开口向下，故， 又对称轴在轴右边，即 ， 与轴交点在原点上方，故， ，即①错误． ②二次函数的图象与轴有两个交点， ，故②正确． ③由图可知对称轴是直线， 二次函数解析式可化为 将点代入得：， 即：＝．故③正确． ④抛物线的对称轴是直线，且图象经过点， 根据对称性图象经过点． 由图可知当时，随着的增大而减小， 又 所以 故④错误． ⑤抛物线的对称轴是直线，开口向下． 当时，有最大值． 当时对应的函数值要小于或等于时对应的函数值， 即， ． 故⑤正确． 故正确的有：②③⑤，共个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图，在与中，点E在边上，，，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件可以是_________（添加一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：可添加：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握理解相似三角形的判定定理． 12. 在一个不透明的盒子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是红球的概率是，则白球的个数是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】首先设白球的个数为x，然后根据概率列出方程，从而得出x的值． 【详解】解：设白球的个数为x， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴白球的个数为8． 【点睛】本题主要考查的是概率的计算法则，属于基础题型．理解概率的计算公式是解决这个问题的关键． 13. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______. 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角． 【详解】解：底面周长为4π， 解得n=120． ∴圆心角为120°． 故答案为：120° 【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 14. 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 【答案】7或17 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 15. 如图，函数与的图象相交于点和点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合应用，先根据反比例函数的性质可得点B的坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：由题意可知点B和点A关于原点对称，， ∴点B的坐标为． 当， 由图可知：或． 故答案为：或 16. 在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 17. 如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化，观察所给图案，列式表达出每个图案需要黑色棋子的个数，找出规律，第n个图案需要的个数为：，代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为： （个）， 当时，， 故答案为：． 18. 如图，是矩形的边的中点，于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤图中相似三角形只有5对．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】延长和交点H，利用可证得，则有和，结合中点可得，根据等腰三角形的性质得，可证得，则①正确；由垂直得，则有，则②正确；证得，有，利用勾股定理求得，可得，即可判断③正确；根据，有，结合和，即可判定④正确；利用，，可得到，即可判定⑤． 【详解】解：延长和交点H，如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵E是矩形的边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则点D为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵E是矩形的边的中点， ∴ ∴，解得，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴图中相似三角形有6对，故⑤不正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定和性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线和熟练掌握相似三角形的性质． 三、解答题（满分66分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及运用特殊角三角函数值计算，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据特殊角的三角函数值得出的值，进而代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 20. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、割补法求面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）将、点的坐标代入解析式即可； （2）过点作轴交轴于点，利用面积转化即可求解． 【小问1详解】 将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点． 【小问2详解】 如图，过点作轴交轴于点，则， ． ∴的面积为． 21. 正方形的边长为8，点在边上，且，点是正方形边上的一个点，连接交于点，若，请画出图形，并直接写出线段的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题关键． 当点在上时,根据题意得出，得到，证明，得到；点在上时,证明，得到，得到，即可求解． 【详解】解：如图1，当点在上时, 正方形， ，， ， , ， ， ， ， ， ，， ； 如图2，点在上时, ，，， ， ， ， , ， , , ， 综上的长为：或 ． 22. 某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：．器乐，．舞蹈，．朗诵，．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是________，并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？ （3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）1200，，图见解析 （2）估计选择“唱歌”的学生约有人 （3） 【解析】 【分析】（1）用选择“器乐”的人数除以其人数占比即可求出本次参与调查的学生人数；用乘以选择“唱歌”的人数占比即可求出D选项对应的扇形圆心角度数；求出选择“舞蹈”的人数，进而补全统计图即可； （2）用乘以样本中选择“唱歌”的人数占比即可得到答案； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：（人）， ∴扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是， 喜欢类项目人数有：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计选择“唱歌”的学生约有人； 【小问3详解】 解：画树形图如下： 共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况， ∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至地．再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，发现风景区在地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求两地的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）． 【答案】（1） （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用； （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，解，，得出的长，即可求得两地的距离． 【小问1详解】 解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，，在中，， ∴（千米）． ∴（千米）， ∴两地直线距离约为千米． 24. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M． （1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM； （提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．） （2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ． 【答案】（1）参见解析；（2）图②：AB=EB+AM，图③：BE=AM+AB；（3）3﹣或-1． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）构建全等三角形，把线段等量转化，即证出AB=EH,AM=BH，因此延长MF，交边BC的延长线于点H，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF即可得出结论； （2）同上题思路一样，找到全等三角形，利用全等三角形的对应边相等把已知线段进行等量代换，图②只要证出△ABE≌△EHF即可得出结论，图③也是只要证出△ABE≌△EHF即可得出结论； （3）按照（1）（2）图形，分3种情况讨论，图①根据给出的条件算出∠EFH=120°，∴不符合题意，图①的情况不存在，图②利用△ABE≌△EHF及特殊角三角函数值，和已知的结论AB=EB+AM，不难求出AM值．图③还是利用△ABE≌△EHF及特殊角三角函数值还有线段关系BE=AM+AB，不难求出AM值． 试题解析：（1）如图①，构建全等三角形，延长MF，交边BC的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形， ∴AM=BH=BE+EH,∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AEB+∠FEH=90°， ∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH（同角的余角相等），∴△ABE≌△EHF（AAS）， ∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM； （2）同上题思路一样，找到全等三角形，利用全等三角形的性质把已知线段进行等量代换，如图②，设BC与MF交于H，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB（同角的余角相等），又∵AE=FE，∠ABE=∠EHF=90°， ∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+BH, 又BH=AM；∴AB=EB+AM． 如图③，设BC与MF交于H，∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°， ∴∠BAE=∠HEF（同角的余角相等）， ∵∠ABE=∠EHF=90°，AE=EF， ∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH， ∵BH=AM，∴BE=BH+EH=AM+EH=AM+AB， 即BE=AM+AB； （3）根据（1）（2）图形进行分类讨论：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°， ∴∠EFM=45°＋15°=60°，∴∠EFH=180°-60°=120°， 在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，这与三角形内角和定理矛盾， ∴此情况不存； 如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=60°，∵△ABE≌△EHF（已证）， ∴∠AEB=∠EFH=60°，∵BE=，∴AB=BE•tan60°=×=3，∵AB=EB+AM（已证）， ∴AM=AB﹣EB=3﹣； 如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=45°﹣15°=30°， ∵△ABE≌△EHF（已证），∴∠AEB=∠EFH=30°， ∵BE=，∴AB=BE•tan30°==1， ∵BE=AM+AB（已证），∴AM=BE﹣AB=，故AM为：3﹣或． 考点：1．矩形与正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形的性质；4．锐角三角函数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，在轴负半轴上，在轴上，．若的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求点，点的坐标； （2）在线段上，若反比例函数经过点，求的值； （3）点在轴上，在直线是否存在点，使与相似？若存在，写出点的个数，并直接写出在点下方的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）点的个数为个，或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、求反比例函数解析式； （1）求解一元二次方程，根据点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，证出，再利用相似三角形的性质求解即可得； （2）过点作轴于点，证明，根据得出，进而得出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （3）根据题意，分类讨论，分别画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵线段、的长是一元二次方程的两个根，且， ， 又∵点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上， ． ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵ ∴，即 ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵反比例函数经过点， ∴； 【小问3详解】 解：设 ∵， ∴， ①若， ∴， ∴轴，此时不在轴上，此情形不存在； ②若 ∴，同①轴，此时不在轴上，此情形不存在； ③若，④若， ∴，如图所示，此时点与点重合，即； ⑤若， ∴ ∴又在轴上， ∵在轴上， ∴ ⑤若，如图所示，点在点上方； 综上所述，点的个数为个，在点下方的为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$