精品解析：辽宁省铁岭市2024—2025学年上学期九年级数学期末试卷

铁岭市2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的二次项是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 1.5 5. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 大漠孤烟直 B. 黄河入海流 C. 红豆生南国 D. 手可摘星辰 6. 如图，在中，半径长为5，圆心到弦距离，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 2 4 2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则的值为________． 12. 已知关于的方程有2个相等的实数根，则的值为________． 13. 若点和点都在反比例函数图象上，则和的大小关系是________． 14. 某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为________．（结果要求保留2位小数）． 15. 如图，中，，，点是斜边上一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点中心对称的； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并求出点绕点旋转到点位置所经过的路径长． 18. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________； （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第二象限内，根据图象直接写出的解集； （3）将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，求的面积． 20. 如图，是的直径，和是弦，且弦交直径于点，（点不与点A，重合），连接，，垂足为，． （1）求证：与相切； （2）若的半径是6，当于点，且时，求阴影部分的面积． 21. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获利润最大？最大月利润为多少元？ 22. 思维启迪： （1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点也可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是________米； 思维探索： （2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转一周，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，． 图1 图2 图3 备用图 ①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是________； ②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③若，，在旋转过程中，当和所在的直线相交构成的锐角是时，请直接写出的长． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为5时，求的值； （4）如图2，为轴上的动点，过作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 铁岭市2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的二次项是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项是． 故选D． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，是数形结合的体现． 把点P的坐标代入反比例函数解析式中即可求得k的值． 【详解】∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴ 故选：A． 5. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 大漠孤烟直 B. 黄河入海流 C. 红豆生南国 D. 手可摘星辰 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A选项：大漠孤烟直是随机事件，故A选项不符合题意； B选项：黄河入海流是必然事件，故B选项不符合题意； C选项：红豆生南国是随机事件，故C选项不答符合题意； D选项：手可摘星辰是不可能事件，故D选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，半径长为5，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等角对等边，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得到，，进而证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 9. 如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键． 先由圆周角定理得到，然后根据是的直径确定，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵是弦，若， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选：B． 10. 在二次函数中，与的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 2 4 2 … 有下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故选：C． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：5． 12. 已知关于的方程有2个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． 根据方程有两个相等的实数根得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有2个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则和的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图象所在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键． 【详解】∵反比例函数 ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，且当时，；当时，； ∵和，即， ∴， 故答案为：． 14. 某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为________．（结果要求保留2位小数）． 【答案】0.99 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，所以估计合格件数的概率为，问题得解． 【详解】解：∵随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到， ∴依此我们可以估计该产品合格的概率为（结果保留2位小数）， 故答案为：． 15. 如图，中，，，点是斜边上一点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先在=在中，利用勾股定理解得，结合题意可得；过点作于点，过点作于点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，易知，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，然后中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 如下图，过点作于点，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点中心对称的； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并求出点绕点旋转到点位置所经过的路径长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，以及勾股定理，求弧长，熟练掌握相关作图方法是解题关键； （1）根据点关于原点对称的性质分别找到对应的点，，，然后进一步连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可，利用弧长公式求得点经过的路径长． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 如图所示，即为所求作的三角形； ∵， ∴点绕点旋转到点位置所经过的路径长为： 18. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________； （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． （1）根据概率公式求解即可； （2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 ∵共有4本书， ∴从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 第一本 第二本 《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》 《论语》 （《孟子》，《论语》） （《大学》，《论语》） （《中庸》，《论语》） 《孟子》 （《论语》，《孟子》） （《大学》，《孟子》） （《中庸》，《孟子》） 《大学》 （《论语》，《大学》） （《孟子》，《大学》） （《中庸》，《大学》） 《中庸》 （《论语》，《中庸》） （《孟子》，《中庸》） （《大学》，《中庸》） 由列表可知，从4本书中随机抽取2本（不放回），共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相等， 其中抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》（设为事件）的结果有2种，分别是（《孟子》，《大学》）和（《大学》，《孟子》）， 所以抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第二象限内，根据图象直接写出的解集； （3）将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）1.5 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）先将点A坐标代入直线，求出m的值，再将所得点A的坐标代入反比例函数解析式即可解决问题； （2）在第二象限内，根据图象直接写出反比例函数的图象在一次函数图象的上方时取值范围，即可解决问题； （3）连接，先求出点B的坐标，然后求出平移后的直线解析式，进而可得，即可求得的面积，再由平移的性质得，继而得，即可解决问题． 小问1详解】 解：把点代入直线解析式中， 得， 解得， 所以，点， 把点代入反比例函数解析式中， 得， 所以反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得点， 由函数图象可知， 当时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：； 小问3详解】 解：连接， 把点代入反比例函数的解析式中， 有， 所以点坐标为， 设直线向上平移后的解析式为， 把点代入，有， 解得， 所以平移后的解析式为， 当时，， 所以，， ， 由平移可知， 所以, 即的面积为1.5． 20. 如图，是的直径，和是弦，且弦交直径于点，（点不与点A，重合），连接，，垂足为，． （1）求证：与相切； （2）若的半径是6，当于点，且时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据圆周角定理可得，再根据已知条件可得，然后根据等边对等角可得，进而得到，则；由平行线的性质可得，进而得到，最后根据切线的判定定理即可解答； （2）如图：连接、，先说明和都是等边三角形，即，则，进而得到的面积等于的面积，最后根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵是的半径 ∴与切线． 【小问2详解】 解：如图：连接、， ∵于点，， ∴是的垂直平分线， ∴； ∵， ∵， ∴； ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴的面积等于的面积， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∵扇形的面积是， ∴阴影部分的面积等于． 21. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 22. 思维启迪： （1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点也可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是________米； 思维探索： （2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转一周，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，． 图1 图2 图3 备用图 ①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是________； ②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③若，，在旋转过程中，当和所在的直线相交构成的锐角是时，请直接写出的长． 【答案】（1）200；（2）①；；②；，理由见解析；③；；． 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据即可证明，即可得，即可解题． （2）①如图，延长交于F，易证可得等腰直角三角形，即可证明，． ②如图，作，交延长线于点F，连接、，易证，结合已知得，再证明，可得是等腰直角三角形，即可证明，． ③如图，如图，延长交于，由①知：是等腰直角三角形，，，，可得，，进一步求解即可；如图，记，的交点为，作，交延长线于点F，连接、，当时，由②得：，为等腰直角三角形，，，，进一步求解即可；如图，当共线时，同理可得：，，当时，进一步求解即可；如图，记，的交点为， 当时，同理可得：． 【详解】解：（1）∵点为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵米， ∴米； （2）①与的数量关系和位置关系分别是，． 理由如下：如图，延长交于F， ∵， ∴， 同（1）理，可知：， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． ②与的数量关系和位置关系分别是，． 理由如下：如图，作，交延长线于点F，连接、， 同①理，可知， ∴B，， ∵， ∴， ∵当时，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． ③如图，如图，延长交于， 由①知：是等腰直角三角形，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，记，的交点为，作，交延长线于点F，连接、， 当时， 由②得：，为等腰直角三角形，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当共线时， 同理可得：，， 当时， ∴，而， ∴； 如图，记，的交点为， 当时， 同理可得： 综上：或或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理，二次根式的混合运算等知识，清晰的分类讨论是解题的关键． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为5时，求的值； （4）如图2，为轴上的动点，过作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）函数的图象上不存在“互反点”，理由见解析； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由定义可知，函数的图象上不存在“互反点”； （3）求出，，可得，求出n的值； （4）函数关于直线的对称抛物线解析式为，函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，分五种情况讨论，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，有， ∴的图象上不存在“互反点”； 【小问3详解】 解：中，当时，， 解得， ， 中，当时，， 解得， ， ， ∴， 解得(舍去)或； ∴； 【小问4详解】 解：函数关于直线的对称抛物线解析式为， 当时，， ∴函数与直线的交点为， 当点在直线上时，，解得或， ①当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为，，都在上， 此时不存在“互反点”， 令， 整理得， ， 解得， ∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为和； ②当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为，，； ③当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，或是其中一个“互反点”； ④当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为； ⑤当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”； ∴综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握三种函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$