精品解析：江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期1月阶段性测试数学试题

临川一中2024—2025高一上学期 阶段性测试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知函数则（ ） A. 3 B. 9 C. 19 D. 33 4. “双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A. 01 B. 02 C. 14 D. 19 5. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是增函数，记，若，则. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数__________. 13. 已知，则_______． 14. 设函数，若方程有四个不相等的实根，则的最小值为__________. 四，解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合，集合. （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）求函数在区间内的值域. 17. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，常数. （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数，若的最大值为3，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2024—2025高一上学期 阶段性测试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用集合的包含关系以及集合运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由题知，， 故不是的子集，不是的子集，A，B错误； ，C错误； ，则，D正确． 故选：D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 3. 已知函数则（ ） A. 3 B. 9 C. 19 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：B 4. “双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为 7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A. 01 B. 02 C. 14 D. 19 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 详解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于33的编号 去除重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，04； 则第5个个体的编号为01． 故选A． 点睛：本题主要考查简单随机抽样的应用问题，正确理解随机数法是解题的关键，是基础题． 5. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法计算即可. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 7. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 8. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设同构变形得，接着由函数的单调性得，进而代入即可求解. 【详解】由题得， 因为，所以， 又和在上均为增函数，所以在上均为增函数， 所以，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不等式的解集是， 则对应的方程的两根为和， ，且， 故，且， 故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，， 即的解集是，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由频率分布直方图结合频率和为1可得答案. 【详解】由图可得各分组频率之和为： 因各分组频率之和为1，则 故答案为：0.14. 13. 已知，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数与对数的互化可得出，再利用对数的运算法则求解即可. 【详解】根据指数与对数的互化公式可得： ， 所以． 故答案为：8. 14. 设函数，若方程有四个不相等的实根，则的最小值为__________. 【答案】92 【解析】 【分析】探讨函数的性质并作出图象，结合图象求出最小根的范围，再将表示成最小根的函数，借助二次函数求出最小值. 【详解】由，得函数的图象关于直线对称， 当时，，， 因此在的图象是的图象关于直线对称而得，的图象，如图， 方程有四个不相等的实根，即函数的图象与直线有个交点， 由图知，不妨设，， 则，即，且， 而，于是， 则 ， 由，则，因此当时，取得最小值. 故答案为： 四，解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知集合，集合. （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式可得集合A； （2）由题可得为A的真子集，然后解含参不等式可化简集合B，据此可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因是的必要不充分条件，则为A的真子集. 又. ，则， 故所求为. 16. 已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）求函数在区间内的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由指数函数与对数函数的关系结合题设即可得解； （2）由（1）结合得，再结合一元二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为函数与函数的图象关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 又函数，所以. 【小问2详解】 由（1）， 令，若，则， 所以 又在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时， 所以函数在区间内的值域为. 17. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为， 依题意，， 所以函数的图像关于点对称． （2）． 【解析】 【分析】（1）由即可求证； （2）参变分离得到，再通过换元，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由已知，不等式恒成立， 因为，所以， 以上不等式可化为：， 整理得，， 设，由，知，上式可转化为，， 因为，由，知，所以， 所以实数的取值范围为． 18. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】（1）选择函数模型①， （2） （i），在上单调递增. （ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地. 设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为. 若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，则， 所以总时间 当且仅当，即时，等号成立， 所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为. 【解析】 【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解. 【小问1详解】 与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型① 由题意，有解得 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，， 所以函数在上单调递增. （ii）略 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，常数. （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数，若的最大值为3，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）参变分离后利用对勾函数的图象和函数与方程的关系求解即得； （2）通过和两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解； （3）通过，，，，五种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，即当时，有个解，参变分离得： ，由函数的图象， 可得： 【小问2详解】 当时，显然为增函数，此时； 当时，，设，则， 故当，（即）时，在上单调递减， 当，（即）时，在上单调递增. 综上可知，在单调递增，且； 在上单调递减，且，函数的图象如图. 由图知，关于的根的分布如下： ① 当时，恰有一个根； ② 当，恰有两根，，； ③ 当，恰有3个根，，，； ④ 当时，恰有2个根； ⑤ 当时，恰有1个根. 故当时，取到最大值3. 【小问3详解】 设，则，其中的根的分布同（1）， 接下来解方程注意， ①当时，在上单调递增，且，故，不合题意； ②当时，在上单调递减，且，故，不合题意； ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， ，故，不合题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 此时取， 则的三个根恰一一对应的三个根，且没有其他根， 故此时，而对的其它取值，，故的最大值为3； ⑤当时，在上单调递增，且，， 故只需保证当时，的三个根落在的值域中，即，解得：，符合题意； 综上所述，当且仅当时，的最大值为3. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $