M27中学生标准数学能力测试

绝密 启用前 M27中学生标准数学能力测试 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.一组统计数据2,0,0,7,0,8,0,2的上四分位数为 A.0 B.2 C.4 D.4.5 2.已知集合A={x|y=nx-x,集合B=yly=e-x,则AnC,B= A.{0,1} B.(0,1) C.[0,) D.[l,+o) 3.(x+y+z)”展开后共有几项 A.3” B.3n C. n2+5 D. (n+10(n+2) 2 4.已知{a,}为等比数列,则“an-1>a1”是“{a}为递减数列”的 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不必要也不充分条件 5.已知复数z的模为1,求 z(z-2)+2 的最大值 z(1-z)+i A.√2+1 B.2-1 C.2 D.1 6.如图所示,有三串完全相同的丸子烤串,每串上有3个小丸 子.现规定吃掉上一个丸子才能吃下面的,每次只能吃一个, 且吃三个串的顺序未知,但吃每个串的概率相同,则吃完9个 丸子的吃法有几种 A.27 B.504 C.729 D.1680 数学试题第1页(共4页) 工了)为f)的导函数,曲线y=∫)的图象对称轴为x=-。,)的零点有且 仅有sin2a,- in2a ,cos2a,则tan2a= A B.9 c. 3 D 8.空间中有三个球两两相切,其半径分别为1,1,a(a>1),以点X为球心的球与这 三个球均相切,则点X的轨迹的离心率为 A. a+2a a+2a √a2-2a √a2-2a a-1 a+1 a-1 a+1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.一个车间有3台车床,它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X,下列 说法正确的有 A.若这3台车床型号相同,它们发生故障的概率都是20%,则E(X)=0.6 B.若这3台车床型号相同,它们发生故障的概率都是20%,则D(X)=0.58 C.若这3台车床中有甲型号2台,乙型号1台,甲型车床发生故障的概率为10%, 乙型车床发生故障的概率为20%,则E(X)=0.6 D.若这3台车床中有甲型号2台,乙型号1台,甲型车床发生故障的概率为10%, 乙型车床发生故障的概率为20%,则D(X)=0.34 10.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(5,-2),直线1:mx+y-2m-3=0, 点P和点Q均为圆C:x2+y2-6x-6y+10=0上的动点,则 A.直线!与圆C不可能相切 B.若直线1与圆C相交于E,F两点,且1E1=T,则m=5 C.以PQ为边作等边三角形PQR,则RC1的最大值为4W2 D.IPO|+V31PA川的最小值为53 II.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中,M为平面ABCD内一动点,点E,F分 别在对角线AD,CD上,则 A.若1MD1=3引MC1,则M轨迹长度大于3 B.若线段EF平行于对角面44CC,则EF的最小值为 C.若M点满足I =2,则M点轨迹是椭圆的一部分 tan ZD,MD'tan.∠CMc D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线D4,DC所成角为写 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知单位向量a和b不平行,求cos<a+b,a-b>=_ 13.记数列{an}的前n项和为Sn,an= (n∈N),Sn<k恒成立,则 (n+1)(n+2)(n+3) 实数k最小为 14.{a,a2,,ao}={1,2,20},则max{k(21-k)a}的最小值为 k20 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某公司小组中有6名成员,其中有1人患新冠,现在有两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染者为止: 方案乙:先任取3人的血样混合再化验,若为阳性,则对3人逐个化验,直到能确 定感染者为止,若为阴性则在另外3人中进行化验, (1)写出方案乙化验次数X的分布列,并求出数学期望: (2)求方案甲所需化验次数不少于方案乙的概率. 16.(15分) 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+sin2C=sin2B +sin Asin C. (1)求B: (2)若D为AC中点,BD=1,求a+c的取值范围 17.(15分) 已知函数f()=a2e,g()=(仁-1)ln(a2x). (1)当a=1时,求g(x)在x=1处的切线方程: (2)若a≥1,xe(0,+oo),证明:f(x)-g(x)≥a+1 数学试题第3页(共4页) 18.(17分) 已知相圆C:三+后-1a>b0其通径长为5,直线4过精圆C的左熊点 F(-6,0),交椭圆于A,B两点,直线,1均过点E0,之,且4,与椭圆C相切于点D, 点D在第一象限,1,交椭圆于P,Q两点. (1)求椭圆C的离心率: (2)记直线AD,BD的斜率分别为k,k,w=m(k+k,)-nkk2,若m=3+2N6, n=22+8√6,求w的值: 1 (3)若点P在点Q上方,且 ED 问:直线4,与 EPI-EDI EPI-EOI EPII POI 直线OD是否垂直,若是,请给出证明:反之,求出l,的方程, 19.(17分) 对于一个集合A,如果对于x,y∈A,x≠y,记B为A去掉x,y后的集合, 若有x+y∈B或x-y1∈B,我们就称A是一个好集合.对于一个集合P,如果:, y∈P,x≠y,记Q为P去掉x,y后的集合,若有y∈Q或上∈Q或产∈Q,我们就 称P是一个坏集合.回答下列问题: (1)给定正整数n,k,n≥4,判断集合A={h1≤1≤n,1∈Z乙是不是好集合: (2)若A是好的集合,证明:存在一个集合P,使得P是坏集合,P仅由正实数 组成,且P中元素个数与A中元素个数相同: (3)证明:不存在全由正实数构成的有限集合A,满足A≥5,且A是好集合. 数学试题第4页(共4页)