精品解析：江苏省南京联合体2024-2025学年上学期九年级数学期末试题

2024~2025学年度第一学期期末学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； 符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 2. 如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 仙游明天将有85%的时间下雨 B. 仙游明天将有85%的地区下雨 C. 仙游明天下雨的可能性较大 D. 仙游明天下雨的可能性较小 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率表示事件发生的可能性大小，进行作答即可． 【详解】解：天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，说明仙游明天下雨的可能性较大； 故选C． 【点睛】本题考查概率的意义．熟练掌握概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键． 3. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5， 这组数据的中位数为4；众数为5． 故选：B． 4. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：解：由图，根据对应性，可得． 故选：B 5. 如图⊙P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限的上，则∠BCO的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【详解】连接AB， ∵tan∠OAB=， ∴∠OAB=30°， ∴∠OCB=∠OAB=30°（圆周角定理）． 故选B． 6. 已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，得到二次函数和一次函数与轴的交点，可得，然后结合函数的图象与轴仅有一个交点，可得该交点为，也是函数的顶点坐标，再结合对称轴方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数，当时，， ∴一次函数与轴的交点坐标为， ， 当时，， 当时，， ∵函数的图象与轴只有一个公共点， ∴的图象与轴的交点为， ， 化简得：． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上） 7. 若，则 __ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，理解比例的基本性质是解题的关键．令，代入求解即可． 【详解】解：令， ， 故答案为： ． 8. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点式及顶点坐标，掌握顶点式是解题关键． 根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 10. 一元二次方程的两个实根分别为，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，先求出m的值，然后计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以， 所以 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 11. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长和围成圆锥的底面圆的周长的关系，熟知扇形的弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．设底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列出方程，进而得出底面圆半径． 【详解】解：设底面圆的半径为， 根据题意可得：， 解得：， ∴底面圆的半径为， 故答案为：10． 12. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是___________． 【答案】36° 【解析】 【分析】连接OC，OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】如图，连接OC，OD， ABCDE是正五边形， ∠COD ＝ ， ∠CPD=∠COD= 36°， 故答案为： 36°． 【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 在四边形中，，，．若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 连接交于，根据平行线的性质，平行线分线段成比例定理得到，证明，根据相似三角形的性质求出，同理求出，进而求出，再根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， ， ， 故答案为：． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元一次不等式组，由题意得，则，然后代入，最后解不等式组即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：且． 16. 如图，在中，，，，是的中点，连接，过点作，交于点．将沿直线翻折，点落在处，交于点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，证明，得，根据将沿直线翻折，点落在处，有，从而可得，故，设，则，故，求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，点落在处， ， ， ， ， ， 设，则， ， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解方程组等，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法或因式分解法或公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：法1： ， ∴， ∴， ∴，． 法2：∵，，， ∴， ∴． ∴，． 法3：原式可化为， ∴或． ∴，． 【小问2详解】 解：法1：， ∴． ∴，． ∴，． 法2：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴，． 18. 甲、乙两人分别从，，三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园． （1）甲选择检票通道的概率是________． （2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算； （2）先利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：甲选择检票通道的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵所有可能出现的结果有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“甲、乙选择同一个检票通道”的结果有3种， ∴甲、乙选择同一个检票通道的概率为． 19. ，两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． （1）分别求这两家酒店月的月盈利的平均数； （2）已知，两家酒店月的月盈利的方差分别为1.073万元2，0.54万元2，结合折线统计图，分析这两家酒店的经营状况． 【答案】（1）2.5万元，2.3万元 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查平均数的求法和方差在数据统计中的应用，理解题意，掌握方差在实际生活中的应用是解题关键． （1）根据平均数可以判断营业水平，根据数据求平均数即可； （2）根据平均数和方差综合分析即可． 【小问1详解】 解：（万元）， （万元）． 【小问2详解】 解：从平均数来看，酒店盈利的平均数大于酒店盈利的平均数，说明酒店去年下半年的经营状况整体好些；从方差来看，酒店盈利的方差大于酒店盈利的方差，说明酒店去年下半年的经营状况相对比较稳定． 结合折线图，酒店每月盈利呈现不断增长的趋势，说明酒店盈利状况不但良好，还保持了较好地持续增长；酒店12月份的盈利增长迅速，如果保持这种快速增长的趋势，酒店经营状况有可能很快超过酒店． 20. 如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等角对等边，熟练掌握圆周角定理是关键．求出得，再证明得，进而可证明． 【详解】证明：∵，垂足为， ∴． ∵，， ∴． ∴． 连接， ∴，． ∴． ∴． ∴， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． （1）根据根判别式或解方程即可证明； （2）根据根与系数的关系或解方程即可求出答案． 【小问1详解】 证明：法1，∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴不论为何值，方程总有实数根． 法2，原方程可化为， 即， ∴，， ∴不论为何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：法1：∵由方程的两个根，得，，． ∴， ∴． 法2：∵解方程， 得，． ∴． 22. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ． ． ． ． 【小问2详解】 证明：， ． 由（1）可知：， ． 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 根据等量关系“利润售价进价销量”列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 【详解】解：设销售单价元，月销售利润元． 根据题意，得． ． ． ∵， ∴当时，有最大值12250． 答：销售单价为65元时，月销售利润最大，最大利润为12250元． 24. 对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． （1）若，求的值； （2）当时，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）2或 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是与一元二次方程和一次函数的性质，能够理解新定义是解题的关键． （1）根据题意得出或，解方程即可求得的值； （2）根据当时，函数的值小于函数的值，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， 或， 当时，， 则，不合题意， 当时，或， 则时，时，，符合题意； ∴若的值为2或； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， 对于，当时，， 对于，当时，， 由题意可知当时，在范围内，直线的图象在直线的下方， 所以的取值范围是：． 25. 如图，四边形是的内接四边形，过点作的切线交的延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据切线的性质得，根据平行线的性质得到，即可得证； （2）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，通过角的等量代换，相似三角形的判定即可得证； （3）根据题意求出，证明，求出．进而求出，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，并延长交于点， ∵是的切线， ， 即， ， ， 即， ， ． 【小问2详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ∴． 【小问3详解】 解：连接，并延长交于点，交于点，交于点，连接，交于点， 由题意得． ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． （1）该函数的图象与轴的公共点的个数是________． A.0 B．1 C．2 （2）当时，试说明． （3）若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）C （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象经过，两点，得到，再计算的值，根据其值的属性，判定函数的图象与轴的公共点的个数即可． （2）根据（1）得，计算抛物线的对称轴为，结合，得，结合对称轴为直线即可得证． （3）根据前面的解答，抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，结合，分类解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴ ， ∴函数的图象与轴的公共点的个数为2个， 故选：C． 【小问2详解】 解：根据（1）得， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． 【小问3详解】 解：根据， 得抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，得，， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 当，且时， ∴，且 解得， 且； 此时得解为； 当时， ∴， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求对称轴，用一个字母表示其余字母，一元二次方程根的判别式的应用，分类思想求不等式的解集，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与方程的关系，抛物线与不等式的关系是解题的关键． 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． （1）当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． （2）当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 【答案】（1）（I）；（II） （2） 如图，点P即为所求； （3）当，的半径最小值为5；当，的半径最小值为 【解析】 【分析】（1）（I）根据题意求得，由勾股定理求得，即可解答; （Ⅱ）过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接，根据题意求出，设，则，由勾股定理得，求出即可解答； （2）证明是等腰直角三角形，作出顶角顶点P即可 （3）以为直径的圆与相切时，，当时，；当时，设，则，，利用勾股定理即可解答. 【小问1详解】 解：（Ⅰ）∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的直径， ∴的半径， 故答案为：． （Ⅱ）如图，过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∴， 即， 解得， ∴， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为直径的圆与相切时，， 1°当时，； 2°当时， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 综上，当时，；当的半径最小值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，垂直平分线，矩形的判定与性质，切线的性质，外接圆的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末学情分析样题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 仙游明天将有85%的时间下雨 B. 仙游明天将有85%的地区下雨 C. 仙游明天下雨的可能性较大 D. 仙游明天下雨的可能性较小 3. 某学校八年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 5，4 D. 5，5 4. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图⊙P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限的上，则∠BCO的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 6. 已知二次函数与一次函数．若函数的图象与轴只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上） 7. 若，则 __ 8. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 10. 一元二次方程的两个实根分别为，，若，则___________． 11. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 12. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是___________． 13. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 14. 在四边形中，，，．若，，则________． 15. 已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，，是的中点，连接，过点作，交于点．将沿直线翻折，点落在处，交于点，则的长为________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 甲、乙两人分别从，，三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园． （1）甲选择检票通道的概率是________． （2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率． 19. ，两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． （1）分别求这两家酒店月的月盈利的平均数； （2）已知，两家酒店月的月盈利的方差分别为1.073万元2，0.54万元2，结合折线统计图，分析这两家酒店的经营状况． 20. 如图，在中，弦，垂足为，连接，．求证． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，，求的值． 22. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： （1）； （2）． 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． （1）若，求的值； （2）当时，，直接写出的取值范围． 25. 如图，四边形是的内接四边形，过点作的切线交的延长线于点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，则的长为________． 26. 已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． （1）该函数的图象与轴的公共点的个数是________． A.0 B．1 C．2 （2）当时，试说明． （3）若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． （1）当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． （2）当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $