6.2.3 向量的数乘运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 向量数乘的概念与运算律、共线向量定理 实数与向量的积的定义 重点 数学抽象 实数与向量的积的运算律 数学运算 向量平行的充要条件 直观想象 向量的数乘运算、共线向量定理 理解并应用实数与向量的积的定义、向量平行的充要条件 难点 逻辑推理 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 问题引入 我们知道，平面向量既有大小，又有方向，类比数的乘法， 平面向量可以和实数可以做乘法吗？ 如果可以，你认为这一运算该如何定义？如果不可以，请说明理由。 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 问题1 已知非零向量 ，作出 和 ，它们的长度和方向是怎样的？ 长度 方向 与 同向 长度 方向 与 同向 与 反向 一、向量数乘运算的定义 4 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 问题2 1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ ． 它的长度和方向规定如下： 你能用自然语言归纳向量的数乘运算的定义吗？ （1） （2）当 时， 与 同向； 当 时， 与 反向； 特别地，当 或 时， 一、向量数乘运算的定义 5 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 一、向量数乘运算的定义 如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变，得到向量 该如何表示？向量 与向量 之间有什么关系？ 问题3 符号表示 关系 几何表示 几何含义 把向量 沿着向量 的方向或反方向长度放大或缩小 与 方向相同， 6 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？ 二、向量数乘运算的性质 问题4 向量数乘运算律 7 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 问题5 向量的加法运算、减法运算、数乘运算的结果是向量还是数量？ 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算.向量线性运算的结果仍是向量。 问题6 你认为向量数乘运算的结果与原向量之间具有怎样的位置关系？你能用数学的语言进行说明吗？ 8 问题7 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 如果 ，那么向量 是否共线？ 反之，若向量 与非零向量 共线，那么是否存在一个实数λ，使得 ? 若向量 共线，且向量 的长度是 的长度的μ倍，即有 当 同向时，有 ； 当 反向时，有 ; 所以，始终有一个实数λ，使 9 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 10 平面向量共线定理： 向量 共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使 思考： 这一条件是否能被省略？为什么？ 当 时，存在无数个λ都使得 . 10 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11 三、向量数乘运算的应用 例5 计算： 例6 如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且 用 表示 和 . 11 例7 如图，已知任意两个非零向量 ,试作 猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想 ∴A,B,C三点共线 解：∵ 且 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 三、向量数乘运算的应用 12 例8 已知 是两个不共线的向量，向量 ， 共线 求实数t的值. 解：由题意，∵向量 ， 共线 ∴存在唯一实数 使得 ∴ 三、向量数乘运算的应用 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 13 题型一 向量的线性运算 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 14 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,即把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律简化运算. 题型二 向量共线定理的应用 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 15   -4 A、B、D 题型三 用已知向量表示未知向量 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 16   用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则及共线向量定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时,可以先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,再解关于所求向量的方程. D 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 16 1.数乘向量的定义 2.数乘向量的运算律 3.共线向量定理 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 17 1.完成本节练习第1、2、3、4题 2.完成习题6. 第1、2、3、4题 感谢观看 例1　计算: (1)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=　　　　;  (2)(m+n)(a+b)-(m+n)(a-b)=　　　　.  解析:(1)原式=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a. (2)原式=(m+n)[(a+b)-(a-b)]=(m+n)×2b=2(m+n)b. 例2 已知非零向量e1,e2不共线,若=e1+2e2,=-5e1+6e2,=7e1-2e2,则共线的三个点是　　　　.  例3 设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则k=　　　　.  解析:因为ke1+2e2与8e1+ke2共线, 所以ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2. 所以解得或 因为ke1+2e2与8e1+ke2反向,所以λ=-,k=-4. 解析:因为=e1+2e2,=+=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)= 2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线. 例4 在△ABC中,若点D满足=2,则等于 (　　) A.+　　　B.- C.- D.+ $$