10.2 事件的相互独立性（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 10.2 事件的相互独立性 第十章 概率 学习目标 1 2 3 结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的含义，培养数学抽象的核心素养 结合古典概型，利用事件的相互独立性计算概率，培养数学运算的核心素养. 利用独立性的定义与性质计算积事件的概率与复杂事件的概率 复习回顾 性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1. 互斥事件概率加法公式 并事件(和事件) 交事件(积事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B A与B同时发生 A∩B或AB 类比并事件A∪B的概率性质，你认为积事件AB发生的概率是否也 与事件A、B发生的概率有关呢？这种关系会是怎样的呢? 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。 新知探究 探究1 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率. 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率. 试验2 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”. 试验1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 新知探究 试验1中，Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)} A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，AB={(1, 0)}. 试验2中，Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个样本点 . A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}， B={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}， AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}. 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 问题1 以上试验中P(AB)与P(A)和P(B)有何联系? 概念生成 相互独立事件 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 独立事件概率乘法公式 根据相互独立事件的定义，可以： ①用来判断两个事件是否独立 ②在相互独立的条件下求积事件的概率 新知探究 问题2 必然事件Ω、不可能事件与任意事件相互独立吗？ 必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响 不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响 它们也都不影响其他事件的发生 一方面： 另一方面： 由两个事件相互独立的定义，易知： P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω) P(A)=P()=P(A)P()成立 必然事件Ω、不可能事件与任意事件相互独立． 新知探究 问题3 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? 即需验证①A与B、②A与B、③A与B是否也相互独立？ 例如证 ① 若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立. 结论 新知探究 问题4 我们知道，如果三个事件A, B, C两两互斥，那么概率加法公式 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立； 但当三个事件A, B, C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立? 课本P252-2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}, AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}. ∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4. P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4. ∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C三个事件两两独立, 一般不成立 新知探究 互斥事件 相互独立事件 概念 符号 计算 公式 不可能同时发生的两个事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A·B)=P(A)·P(B) 互斥事件A、B中至少有一个发生,记作:A∪B 相互独立事件A、B同时发生记作:AB 追问 互斥事件与相互独立的事件有什么区别？ 新知探究 相互独立事件的性质 ①必然事件Ω、不可能事件与任意事件A相互独立. ②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立. ③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立， 但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 获得一对独立，即获得四对独立 典例分析 例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立? B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}， 解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点. A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}， AB={(1,2), (2,1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 学以致用 教材P252 1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？ 典例分析 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解： 由于两个人射击的结果互不影响， ∴A与B相互独立， (2)“恰有1人中靶”= AB∪AB，且AB与AB互斥， 典例分析 例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 解： （4）方法一： （4）方法二： 方法归纳 1. 对事件进行分解：一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率. 已知两个事件A, B, 那么: (1) A,B中至少有一个发生为事件A∪B 2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生” “恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. (2) A,B中至多有一个发生为事件 (3) A,B恰好有一个发生为事件 (5)A,B都不发生为事件 (4)A,B都发生为事件AB 求较为复杂事件的概率的方法 (6)A,B不都发生为事件 学以致用 教材P252 3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内: (1)甲、乙两地都降雨的概率; (2)甲、乙两地都不降雨的概率; (3)至少一个地方降雨的概率. P(A)=0.2 P(B)=0.3 =0.2×0.3=0.06 =0.8×0.7=0.56 P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) － － － － 事件M (拆分事件)P(M)=________________________ =0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44 (对立事件)P(M)=1－P(AB) － － =1－0.56=0.44 (并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =0.2+0.3－0.2×0.3=0.44 典例分析 例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个” 共猜4个成语 解： 能力提升 题型一 事件的相互独立性 例题1 我们都知道生男孩和生女孩是等可能的，记事件 “一个家庭中既有男孩 又有女孩”，事件 “一个家庭中最多有一个女孩”. 对下述两种情形，讨论事件 与 的独立性. (1)一个家庭中有两个小孩； [解析] 由题意知， 试验的样本空间 ，共4个样本点， 由等可能性知每个样本点发生的概率均为 ， 易知 , , ， 于是 ， ， . 因为 ， 所以事件 ， 不独立. 能力提升 题型一 事件的相互独立性 例题1 我们都知道生男孩和生女孩是等可能的，记事件 “一个家庭中既有男孩 又有女孩”，事件 “一个家庭中最多有一个女孩”. 对下述两种情形，讨论事件 与 的独立性. (2)一个家庭中有三个小孩. [解析] 由题意知，试验的样本空间 ，共8个样本点， 由等可能性知每个样本点发生的概率均为 ， 易知 ， ， ， 于是 ， ， . 因为 ，所以事件 ， 相互独立. 方法总结 两个事件是否相互独立的判断方法 能力提升 3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与  , 与B, 与 是否具有独立性可互相转化.   1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 能力提升 题型二 简单的相互独立事件的概率 例题2 (1)甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同， 其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、 乙两个袋子中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立， 从甲袋中取出红球的概率为 ， 从乙袋中取出红球的概率为 ， 故所求事件的概率为 . C 能力提升 题型二 简单的相互独立事件的概率 例题2 (2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题是否回答正确相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为______. [解析] 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有第二个问题 回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错， 因为每个问题是否回答正确相互独立， 故所求概率为 . 0.128 能力提升 题型三 相互独立与互斥、对立事件的概率 例题3 有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队 的概率是 ，甲队胜丙队的概率是 ，乙队胜丙队的概率是 ，现规定比 赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二 场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对上一场的上 一场中的败者，若某队连胜四场，则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； [解析] 甲队连胜四场的概率 ， 乙队连胜四场的概率 ， 所以第四场结束比赛的概率为 . 能力提升 题型三 相互独立与互斥、对立事件的概率 例题3 有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队 的概率是 ，甲队胜丙队的概率是 ，乙队胜丙队的概率是 ，现规定比 赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二 场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对上一场的上 一场中的败者，若某队连胜四场，则比赛结束，求： (2)第五场结束比赛的概率. [解析] 第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能. 甲胜第一场，丙连胜四场的概率 ， 乙胜第一场，丙连胜四场的概率 ， 所以第五场结束比赛的概率为 . 方法总结 能力提升 已知事件 ， 发生的概率分别为 ， ，则： 事件 表示 概率(A,B互斥) 概率(A,B相互独立) ， 中至少有 一个发生 或 ， 都发生 0 ， 都不发生 恰有一个 发生 ， 中至多有 一个发生 1 课堂小结 1. 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2. 必然事件Ω、不可能事件都与任意事件相互独立. 3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立. 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$