6.2.4 向量的数量积（第二课时）-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.2.4向量的数量积（第二课时） 1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系。 2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 1.向量的数量积 2.数量积的性质： 设是非零向量，它们的夹角是， 是与方向相同的单位向量，则 当同向时， ; 当反向时， ; 特别地， 或 (由推得) PART.02 向量数量积的运算律 概念讲解 探究：类比向量的线性运算，数量积运算是否也满足一些运算律呢？ 回顾实数运算中有关的运算律，猜测数量积可能成立的运算律： 类比：实数乘法的交换律 猜想： 实数乘法的结合律 猜想： 猜想： 实数乘法的分配律 猜想： 思考：以上猜测的运算律公式是否都成立呢？你能用所学知识证明吗？ 概念讲解 1.求证： 2.求证： 证明： 证明： 概念讲解 3.求证： 向量数量积的运算结果是一个数量， 一个数量， 是一个与共线的向量， 又也是一个数量， 是一个与共线的向量， 就不一定成立了．（其余同理可得） 概念讲解 4.求证： 设向量与的夹角分别为， 它们在向量上的投影分别为 与方向相同的单位向量为， 则，， ， 因为，所以， 于是， 即， 概念讲解 整理得， 所以， 即， 所以， 因此 概念讲解 数量积不满足结合律和消去率 注意 不能推出 或如右图） 数量积的运算律： 对于向量和实数，有 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 定义 概念辨析 判断正误. 1.. ( ) 2.(. ( ) 3.. ( ) 4.若与同向，则. ( ) 5.向量的数量积运算满足 ( ) 【答案】：×，√，√，√，×. PART.03 典例分析 例题剖析 思考：向量是否也有“完全平方公式”或“平方差公式”？ 例1.求证：(1). 证明：(1) ； (2) 因此，上述结论是成立的. 例题剖析 例题剖析 归纳小结 例题剖析 例2.已知，不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是， 即． 因为所以． 解得． 也就是说，当时， 与互相垂直． 例题剖析 归纳小结 例题剖析 PART.04 课堂小结 课堂小结 练习1：已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+b)·(a-b). 解：因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,所以a·b=10×3×cos 120°=-15, 所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2 =200+15-9 =206. 练习2：已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为. 求:(1)|a+b|,|a-b|; (2)|3a+b|. 解:(1)由题意知,a·b=|a||b|cos θ=5×5×=. 因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75,所以|a+b|=5. 同理,因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,所以|a-b|=5. (2)|3a+b|===5. 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方; (2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 练习：已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角. 解：由已知条件得 即 由②-①得23b2-46a·b=0, ∴2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴|a|=|b|. 设a与b的夹角为θ,则cos θ===. ∵θ∈[0,π],∴θ=. (1) 求向量a与b的夹角的思路: ①求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值; ②在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元