精品解析：广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题

柳州市2025届高三第二次模拟考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答袋标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 180的不同正因数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 7. 在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ） A. 与平面有可能平行 B. 与平面有可能平行 C. 三角形周长的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则__________. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 14. 已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为__________，的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表： 性别 满意度 合计 满意 不满意 男 220 30 250 女 230 20 250 合计 450 50 500 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上. （1）求双曲线的离心率； （2）过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等边三角形. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求在处的切线； （2）若与的图象有交点. ①当时，求的取值范围； ②证明：. 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2025届高三第二次模拟考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答袋标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算先求，再求即可. 【详解】根据题意有，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在抛物线上得出，再根据抛物线定义计算即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即得， 则. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 5. 180的不同正因数的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】把180进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算． 【详解】因为，它的正因数即为的幂的乘积， 因此正因数个数为. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 又， 所以，， 所以， 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先依据条件设定点的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解. 【详解】由题可设，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A正确；再利用函数的运算性质得B正确；利用不等式放缩可得C正确，D正确. 【详解】由得, 对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确 对于选项B：，故B错误 对于选项C:因为，，所以，由B得，即， 故C正确 对于选项D：由B得，所以， 即，故D正确 故选：ACD 10. 如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（ ） A. 与平面有可能平行 B. 与平面有可能平行 C. 三角形周长的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当Q为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得∥，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得与平面BPQ相交，对于C，把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果，对于D，， 为定值，可得结论. 【详解】对于A，连接，当Q为的中点时，， 因为，∥，∥，， 所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以与互相平分，设与交于点，连接， 因为P是棱的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面BPQ，故A正确；    对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交， 所以与平面BPQ只能相交，故B错； 对于C，，把沿展开与在同一平面（如图）， 则当B，P，Q共线时，有最小值， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以， 所以， 所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；      对于D，，因为定值，因为∥，∥， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定和棱锥体的求法，对于选项A解题的关键是证明四边形为平行四边形，从而可找到的中点，再利用三角形中位线定理可得线线平行，考查空间想象能力，属于较难题. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A由的范围，可得函数的解析式，换元整理可得，函数在上不单调；对于B求出的解析式，可得函数图象关于对称；对于C由A选项的分析，可得函数的最值；对于D由B选项的分析，可得关于的方程在区间上有实根关于对称，可得方程的根的和的集合． 【详解】对于A：当时，，， 令，则有在单调递增，， 所以当，单调的递增，当时，单调的递递减， 所以在上不单调，故A错误； 对于B：，所以关于直线对称，故B正确； 对于C：由A有：， 所以，所以的值域为，故C正确； 对于D： 结合A的分析可得在上先增再减，由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下： 当方程在区间有一个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有两个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有四个实数根时，所有根之和； 所以所有的根之和组成的集合为，故D正确． 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】根据条件概率公式可得. 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得. 【详解】由余弦定理得，得， 所以. 故答案为： 14. 已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为__________，的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数的对称性得，利用赋值法可得的值，进而得函数解析式，由解得函数的零点再相加即可；利用换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法可求函数最值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 由函数关于直线对称，得， 令，则，即， 令，则，即， 联立，解得， 则， 令，解得， 所以函数的所有零点之和为； ， 令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，有最小值，最小值为，则， 所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由，得，解得， 所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据对称性，采用赋值法求得函数解析式；以及换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法求函数最值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表： 性别 满意度 合计 满意 不满意 男 220 30 250 女 230 20 250 合计 450 50 500 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能 （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用公式求出，利用临界值表进行判定； （2）先求出不满意的概率，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解 【小问1详解】 零假设为：消费者对新产品的满意度与性别无关， 则 所以，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为消费者对新产品的满意度与消费者性别无关. 【小问2详解】 从该地区消费者中随机选取1人，对新产品不满意的概率为， 从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数， 则的可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望为. 16. 已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上. （1）求双曲线的离心率； （2）过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值. 【答案】（1）2 （2） 证明：由题意知点关于原点对称， 不妨设，则， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 因为， 所以（*） 又点，在曲线上，即， 代入（*）得， 所以直线的斜率和直线的斜率之积为定值3. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）设，则，把直线的斜率表示出来，结合点在双曲线上即可得证. 【小问1详解】 由题意， 从而， 所以双曲线方程，离心率. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，与均为等边三角形. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：过作平面，垂足为， 因为平面，所以， 由都是等边三角形知， ，又，所以为中点， 又， 又为等边三角形，，所以三点共线，即， 又，，平面， 所以平面，又平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）过作平面，垂足为，由题意可得，，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，可取，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以以为原点建系如图，不妨取， 由题意知. 则， , 设面的一个法向量为， 则， 取，即， 设面的一个法向量为， 则， 取，即， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求在处的切线； （2）若与的图象有交点. ①当时，求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②由题意，存在使得， 设，则， 设，则，所以在单调递减， 所以， 由，故，所以， 由①知，故，，即证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）①当时，分离参数转化为求函数最值即可； ②将问题转化为，再进行三角换元，转化为，利用放缩结合①的结论即可证明. 【小问1详解】 ， 故，又， 故在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ①当时，，由故， 由， 设，则， 函数在上单调递减，在单调递增， 时，的最小值为， 所以的取值范围. ②略. 【点睛】关键点点睛：本题属于导数和三角函数的综合题，难度较大，解题的关键点是三角换元以及放缩法的运用，而①问证明的了的最小值为，所以在运用放缩法时候要尽可能的构造出函数. 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 【答案】（1）不是，是，理由如下： ， ， ， 所以不是等差数列； ，则， 所以是首项为6，公差为6的等差数列. （2） （3） ， 所以，从而， ， 从而，所以， ， . 【解析】 【分析】（1）根据数列的通项公式求出的通项公式，利用等差数列的定义，结合特例法判断即可. （2）由存在，使得，可得，由，可得，分类讨论可求的值； （3）由一阶差分数列的定义可得，则，先证明中，利用分组求和，结合等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意， ， 又， 即 ， ，则， 若，即，解得（舍去）， 即当时，， 当时，则，对，不存在， 综上所述，. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $