精品解析：河南省信阳市固始县高级中学第一、二中学联考2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

固始县2024-2025学年一高二高联考上期期末考试 高三数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解集合中的不等式，得到集合，再由并集的定义求. 【详解】不等式，即，解得，则， 又，则. 故选：D 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，得复数的模，代入根据复数相等的条件得方程组，解之可得选项. 【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式求集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】由，解得：，所以， 所以. 故选：C 4. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 5. 若，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 6. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案. 【详解】令，， 故恒成立， 故在上单调递增， 故，即. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解. 【详解】由已知得，即（）， 则.从而. 故选：A. 8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设平面向量，，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. ，使 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量垂直，平行的充分必要条件得到ABD，利用向量的模长和二次函数得到C即可. 【详解】A：当时，，故A正确； B：若，，，所以，所以，故B正确； C：，故C正确； D：若，则，等式不成立，故D错误. 故选：ABC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定.A选项，由图象可得函数周期；BC选项，由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性可判断选项正误；D选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项. 【详解】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确； BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即. 将代入，得，则不是对称中心； ，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误； D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确. 故选：AD 11. 设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 的面积最大值为 C. 的最小值为8 D. 存在直线l使得的重心为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心进而判断BD. 【详解】由椭圆，可得， 所以为，故A正确； 因为，所以，当且仅当取等号，故C正确； 由题可设直线的方程为，由， 可得， 设，则， 所以， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 因为，由对勾函数的性质可知， 所以，当，即取等号，故B错误； 由上可知 所以，又， 所以的重心为， 令，解得， 所以当直线的方程为时的重心为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据成等差数列求出公比，再根据等比数列通项公式求出. 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或（公比不为，舍去）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据排列组合相关知识直接计算求解. 【详解】将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案， 乙两人安排在同一天，共有， 所以甲、乙两人安排在同一天的概率为. 故答案为： 14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知用表示出然后作差比较大小． 【详解】由，得， ，时，，时，， ，所以． 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查比较两个实数的大小，解题方法是作差法． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可； （2）根据正弦定理得，从而化边为角，结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围. 【小问1详解】 由已知得，， 则根据正弦定理得， ， 为锐角三角形，． 【小问2详解】 由正弦定理得，即， 则， ， 因为，解得，得， 所以，得． 16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出即得数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式； （2）求出，再利用分组求和求数列的前项和． 【小问1详解】 解：令， 令，又，所以，即．所以， ，① ．② 两式相减得，， 即是公比为2的等比数列，且， 所以． 【小问2详解】 解：由可得 ，． 累加可得， ， 而 ， ∴. 17. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点． （1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小； （2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置． 【答案】（1） （2）P为的中点时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，易知，则为异面直线与所成的角求解； （2）分别取，的中点，，连接，，，根据正三棱柱，易证为二面角的平面角，为二面角的平面角求解. 【小问1详解】 解：如图所示： 取的中点，连接，，易知， 则为异面直线与所成的角， 又，，， 由余弦定理得； 【小问2详解】 如图所示： 分别取，的中点，，连接，，， 在正三棱柱中， 易知，，又， 所以平面，又平面， 所以，则为二面角的平面角， 同理为二面角的平面角， 设，则， 所以，， 则，， 当时，即P为的中点时，取得最大值， 18. 已知函数，曲线在点处的切线为. （1）求，的值； （2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值. 【答案】（1），；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果. 【详解】（1）由得： 由切线方程可知： ，，解得：， （2）由（1）知 则时，恒成立等价于时，恒成立 令，，则. 令，则 当时，，则单调递增 ， ，使得 当时，；时， ，即正整数的最大值为 【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果. 19. 已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为8. （1）求的方程； （2）设点，求面积的表达式（用表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形周长即可求出椭圆方程； （2）设直线和直线的方程，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理求出和面积比值，结合面积表达式即可得出面积的表达式 【小问1详解】 由题意， 在椭圆中， 的周长，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 则， 故的方程为. 【小问2详解】 由题意及（1）证明如下， 在中， 由几何知识得，直线和直线的斜率不为零， 设直线和直线的方程为, 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理得 因为，所以， 可得即； 同理可得， 可得即， 不妨设， 由， 又 则 把代入上式得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固始县2024-2025学年一高二高联考上期期末考试 高三数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 若，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 9 6. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设平面向量，，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. ，使 10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 11. 设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为定值8 B. 的面积最大值为 C. 的最小值为8 D. 存在直线l使得的重心为 第Ⅱ卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点． （1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小； （2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置． 18. 已知函数，曲线在点处的切线为. （1）求，的值； （2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值. 19. 已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为8. （1）求的方程； （2）设点，求面积的表达式（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $