精品解析：广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期1月第一次模拟考试数学试题

广东省建文教育集团两学部1月第一次模拟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，且，，则，． 上述四个命题中，正确命题的序号是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 3. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为；乙队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好； ②甲队技术发挥不稳定； ③乙队几乎场场失球； ④乙队防守技术的发挥比较稳定． 其中正确判断的个数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A. B. C. D. 5. 设正实数满足，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 6. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，若，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 的虚部为3 10. 已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 在上有个零点 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 13. 若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______． 14. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 16. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时间：分钟） （1）请计算“送达时间”的平均数与方差： （2）根据茎叶图填写下表： 送达时间 35分组以内（包括35分钟） 超过35分钟 频数 A B 频率 C D 在答题卡上写出，，，的值； （3）在（2）的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内（包括35分钟）收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望. 17. 如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是，高是， （1）求侧棱与底面所成角； （2）求制造这个塔顶需要多少铁板？ 18. 已知数列为等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列． （3）令，求数列的前项和. 19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省建文教育集团两学部1月第一次模拟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出中不等式的解集确定出，根据全集，求出的补集，找出与补集的交集即可． 【详解】解：由中的不等式变形得：，得到， ， ，全集， ， 则． 故选：A． 2. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，且，，则，． 上述四个命题中，正确命题的序号是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】通过线线关系，线面关系，面面关系，结合已知条件逐项判断后可得正确的选项. 【详解】①若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确； ②若，，则或，故②错误； ③若，，则m与β可能相交、平行或，故③错误； ④若，，且，，则由线面平行的判定定理得，，故④正确． 故选：C. 3. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为；乙队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好； ②甲队技术发挥不稳定； ③乙队几乎场场失球； ④乙队防守技术的发挥比较稳定． 其中正确判断的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、标准差以及方差的意义，可得答案. 【详解】甲队平均每场比赛丢失个球，乙队平均每场比赛丢失个球，,所以甲队技术比乙队好，故正确； 甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为，所以甲队全年比赛丢失球的个数的方差差为， 乙队全年比赛丢失球的个数的方差为，因为,所以乙队发挥比甲稳定，故正确， 因为乙队平均每场比赛丢失个球，大于1，故乙队几乎场场失球，故正确. 故选：D. 4. 已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线与圆相切得，再根据诱导公式以及弦化切求结果. 【详解】设直线, 因为与圆相切，所以， 因此选A. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 5. 设正实数满足，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当，即时，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：C. 6. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得，从而求出 ，再由余弦定理得，由此能求出． 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 7. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 8. 在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数学知识在生活中的应用，可得答案. 【详解】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式如何影响所需鞋带的总长度. A. 小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来完成.此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带. B. 蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和缠绕.虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加. C. 爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案的构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕.此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不需要额外的鞋带长度. D. 小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕.虽然这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造. 故选；C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，若，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 的虚部为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件，解得，逐个判断选项即可； 【详解】， 因为，所以，解得， 则，，A正确． z在复平面内对应的点为在第一象限，B错误． ，C正确． ，虚部为3，D正确． 故选：ACD. 10. 已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 在上有个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，所以是周期为的周期函数. ，所以关于点对称， 由令，得，则， 令 得，即，A选项正确. 则， 由，得， 以 替换得， 所以是奇函数，，C选项错误， 所以关于对称，根据周期性可知的图象关于点对称，B选项正确. 由于，所以， ， 由上述分析可知，在区间上， 至少有如下个零点：， 对于，可以构造如下的符合题意的函数对应的图象， 此时在区间上有个零点：，所以D选项错误. 故选：AB 【点睛】研究函数的周期性，从表达式上看，形如等函数都是周期函数.研究函数的对称性，形如等都是函数的对称性，要注意的是，对应的是轴对称，对应的是中心对称. 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D. 【详解】对A，因为， 所以，即， 所以3是函数的一个周期，A正确； 对B，因为为奇函数，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，B错误； 对C，因为， 所以， 即，即， 所以函数是偶函数，C正确； 对D，， 所以， 所以，D正确； 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】的展开式的通项， 令，解得， 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答. 【详解】因为，，则有，即， 而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为. 故答案为：5 14. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四面体的外接球半径，再利用，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解. 【详解】如图： 设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心, 为 的中点， 由正四面体可知平面， 因为平面，所以， 又因为棱长为8，所以，， 设正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径， 由得，解得， 即, 在正四面体中，易得，，所以， 则该八面体的外接球半径, 所以该球形容器表面积的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增,在上单调递减. （2）实数a的取值范围是或. 【解析】 【分析】 (1) ,则分和两种情况结合定义域讨论函数的定义域. (2) 若在上存在一点，使得成立，即在上有，由（1）中的单调性，得出的最小值，解不等式，得到参数的范围. 【详解】 (1) 当即时，在上，所以函数在上单调递增. 当即时，在上，在上 所以函数在上单调递增,在上单调递减. （2）若在上存在一点，使得成立，即，. ①由（1）可知，当时，函数在上单调递增， ，即 ②时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当即时，函数在上单调递减， ，即. 因为，所以. 当即时，函数在上单调递增， ，即（舍） 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递减. 此时，则，所以 即，所以无解. 综上所以：实数a的取值范围是或. 【点睛】本题考查含参数的单调性的讨论，考查不等式能成立问题，属于中档题. 16. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时间：分钟） （1）请计算“送达时间”的平均数与方差： （2）根据茎叶图填写下表： 送达时间 35分组以内（包括35分钟） 超过35分钟 频数 A B 频率 C D 在答题卡上写出，，，的值； （3）在（2）的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内（包括35分钟）收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望. 【答案】（1）“送达时间”的平均数为35；方差为； （2），，，； （3）的分布列： X 0 1 2 3 P ． 【解析】 【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可； (2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可； (3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可. 【详解】“送达时间”的平均数： （分钟）， 方差为：. 由茎叶图得： ，，， 由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3， ， ， ， X 0 1 2 3 P X服从二项分布，． 【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是，高是， （1）求侧棱与底面所成角； （2）求制造这个塔顶需要多少铁板？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）正四棱锥中，连结 和交于，连接可得，就是侧棱与底面 内的所成角．中利用三角函数的定义，结合题中数据算出，即得侧棱与底面所成角等于； （2）作于 ，连接中，算出，可得的面积由此即可得到正四棱锥的侧面积，从而得到制造这个塔顶需要铁板的面积． 【小问1详解】 依题意，四棱锥是正四棱锥，连接 和交于，连接． ，可得是侧棱在底面 内的射影 就是侧棱与底面 内的所成角 中，， ， 因此，，即侧棱与底面所成角等于； 【小问2详解】 作于 ，连接． 在中，，， ， 则的面积 四棱锥的侧面积是， 即制造这个塔顶需要铁板．  18. 已知数列为等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列． （3）令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)∵ , ∴ ， ∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . （3） 【解析】 【详解】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分 由,得, , ∴， …………………… 3分 . …………………… 4分 (2)略 （3）∵ ，， ∴ ………………… 10分 ∴ … ……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法． 点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，， 19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线交椭圆于， 两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可求解； （2）由题意可以设直线的方程为，联立方程组，求得，，所以，，结合的面积列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：选①条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为. 选②条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，过，则，∴， 所以椭圆的方程为. 选③条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，， 又由，则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由题意可以设直线的方程为， 由，得， 可得， 设，，所以，， 所以的面积 ， 因为的面积为，所以，解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $