精品解析：吉林地区普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考2024-2025学年高二上学期数学试题

吉林地区普通高中友好学校第三十九届期中联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色中性笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. 2 B. -4 C. 4 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 40 C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ∴. 故选：C. 3. 设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程. 【详解】解：双曲线的离心率是3， 可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力. 4. 已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可. 【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，. 因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点， 设双曲线方程为，则有，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 5. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】 依题意，则，由椭圆对称性，得线段，互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长． 故选：A． 6. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得． 【详解】-＝， . 故选：A． 7. 已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【详解】圆 由题意可得 最长弦为直径等于6， 最短的弦由垂径定理可得， 则四边形的面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题. 8. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的短轴长为2 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为 【答案】CD 【解析】 【分析】由图形特征，可得椭圆的短轴长和椭圆的长轴长，计算离心率和方程，验证各选项. 【详解】由题意，椭圆的短轴长与圆柱底面直径相等，即椭圆的短半轴长，短轴长为，B选项错误； 截面与底面所成的角为，则椭圆的长轴长为，得，A选项错误； ，离心率为，C选项正确； 当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上时，则椭圆的方程为，D选项正确. 故选：CD． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设, 由题意求出点的轨迹以及轨迹方程, 利用直线与圆的位置关系, 依次判断四个选项即可. 【详解】对于A, 直线l：，，，直线l过定点，故选项A正确; 对于B,设,因为动点满足 ,所以 , 整理可得, 即,所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆, 动点的轨迹方程为,故选项B正确; 对于 C, 当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大, 且最大值为, 故选项C错误; 对于D, 记圆心到直线的距离为,则 ,因为 , 则 ,因为 ,所以 , 即 ,解得 , 故选项D正确. 故选: ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】 因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 若点和点关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称满足垂直关系以及中点在直线上，即可求解. 【详解】, 由于点和点关于直线对称，所以，解得， 和点的中点为，则在直线上， 故，解得， 故答案为： 14. 直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为_____________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意求得圆心坐标和半径，利用极化恒等式表示出的表达式，再由二次函数性质以及双曲线的范围可得最小值为0. 【详解】易知圆的圆心为，半径为1； 依题意为直径，所以； 设，则且， 可得， 所以 ， 根据二次函数性质以及可得当时，取得最小值为0. 故答案为：0 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）若，求的值； （2）若，求过原点与点的直线的方程. 【答案】（1）3或-1 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案； （2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，解得或， 当或时，与均不重合， 所以的值为3或-1. 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出圆心及圆的半径即可得出圆的标准方程； （2）联立直线与圆的方程，根据有两解列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为， 由题意可列方程，解得， 所以圆心坐标为、半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，并整理得， 因为直线与圆交于、两点， 所以，解得， 所以实数取值范围为. 17. 如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，. （1）证明：； （2）点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取中点Q，BF中点M，连接EM，MQ，QH，则， 由正四棱柱得，，且， 又点H，Q为中点，所以，即四边形DHQC为平行四边形， 同理可得，四边形AEMB为平行四边形，所以且， 则，所以四边形EMQH为平行四边形，所以， 因为，所以四边形MQGF为平行四边形，所以， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用作辅助线，结合平行四边形的性质证明线线平行，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PEG与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点DA，DC，为x，y，z轴建系如图， 易得， 则， 设平面PEG与平面法向量分别为 由，即，令，则， 由，即，令，则 设平面PEG与平面的夹角为，则， 故平面PEG与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若是上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的定义即可求解； （2）设，则，由，建立关系式求出，，再利用三角形面积公式求出即可. 【小问1详解】 设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切， 所以，， 则， 根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支. 设方程为， 由，又， 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，则. 因为.所以， 即，解得或（舍去）. 故的面积为：. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. （3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，所以，又 则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，平面 所以平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，. 设，则， 可得，所以. 由（2）知是平面的一个法向量. 若平面，可得 则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可； （2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦； （3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量. ，. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，则，， 所以， 所以. 又由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通高中友好学校第三十九届期中联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色中性笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. 2 B. -4 C. 4 D. -2 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 40 C. 6 D. 36 3. 设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A. B. C. D. 4. 已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的短轴长为2 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 13. 若点和点关于直线对称，则______． 14. 直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）若，求的值； （2）若，求过原点与点的直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设直线：（）与圆相交于不同两点，求实数的取值范围. 17. 如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，. （1）证明：； （2）点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若是上一点，且，求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. （3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $