精品解析：吉林地区普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考2024-2025学年高一上学期数学试题

吉林地区普通高中友好学校第三十九届期中联考 高一数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 使不等式成立的一个充分不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则 10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 11. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（共15分） 12. 函数，且，则的值是____． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______. 14. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求和； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 18. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通高中友好学校第三十九届期中联考 高一数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解. 【详解】因为，解得，即， 且，所以． 故选：C． 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即： 故选 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可. 【详解】因为，且，即，解得， 所以，则. 故选：A 4. 使不等式成立的一个充分不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于，即，解得， 因为真包含于， 所以不等式成立的一个充分不必要的条件是． 故选：B． 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 6. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为二次函数在上为减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 7. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项判断各项的值域，即可得解 【详解】对于A，因为，所以，所以，则该函数的值域为，故正确； 对于B，因为，所以，则该函数的值域为，故错误； 对于C，， 所以当时，，当时，，则该函数的值域为，故错误； 对于D，，所以该函数的值域不为，故D错误， 故选：A 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，从而可求得的取值范围． 【详解】因为函数是上的减函数， 所以；解得. 故选：A 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用配方法变形，即可判断；对于B，C，D，都可以通过举反例来判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当，时，，，故B不正确； 对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，所以必要，故C正确； 对于D，当时，，，此时，故D不正确； 故选：AC. 10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的定义判断A；由奇函数的对称性判断B；由奇函数的单调性判断C，由函数的定义判断D. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，A正确； 因为奇函数的图象关于原点中心对称， 因为，若在上有最小值，则在上有最大值1，B正确； 因为奇函数在关于原点对的区间上具有相同的单调性， 因为，若在上为增函数，则在上为增函数，C不正确； 因为函数定义域内每一个自变量都有唯一的函数值与之对应，函数是定义在上的奇函数， 所以在函数的定义域内，函数的图象与直线有且仅有一个交点，故D正确． 故选：ABD. 11. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（共15分） 12. 函数，且，则的值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】设，利用奇函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：6 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答. 【详解】因为奇函数，且在上是增函数，， 则在上是增函数，且， 不等式化为： 或 ，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 14. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为且，是正数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求和； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可 【小问1详解】 当时，集合， 因为，所以. 所以， 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以是的真子集，而不为空集， 所以，因此. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； 【小问2详解】 由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 18. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解. （2）利用换元法，令，将转化为二次函数 再求解. 【详解】（1）因为 所以 解得或 所以函数的定义域为 （2）令 可转化为 当 即时， 即的最大值为，无最小值. 【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由（1）知. 任取、且，即，则，， 所以，， 则，所以，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得. （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增. （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由于奇函数在处有定义，所以，， ，. 经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以对于任意的恒成立, 即对于任意的恒成立, 所以，解得或, 所以的取值范围为. 【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $