精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高一上学期1月综合测试数学试题

高一数学综合测试 一､单选题 1. 已知且，则“为质数”是“为合数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 满足的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在上单调递增，若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 7. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 10. 下列结论正确的是（ ） A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B. 函数过定点 C. 在区间内必有零点 D. 存在实数，使得为幂函数 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题 12. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 13. 已知为定义在上的奇函数，，当时，为增函数，则的零点个数为__________，的解集为__________. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 四､解答题 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，不等式的解集为. （1）求： （2）集合，写出集合的所有子集； （3）集合，若，求实数的取值范围. 17. 随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表： 飞行时长（分钟） 频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1 （1）估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）； （2）记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率． 18. 已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. 19. 已知为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并证明函数在内的单调性； （3）若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学综合测试 一､单选题 1. 已知且，则“为质数”是“为合数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若为质数，由，得必为奇数，则为大于2的偶数，所以为合数. 取9，则为合数，但9不是质数. 故“为质数”是“为合数”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 满足的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 3. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项. 【详解】函数定义域为R，排除选项A,B， 当时，，排除选项D. 故选：C. 4. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】令，其对称轴方程为， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在上为减函数， 只需函数在上为增函数，且在上恒成立， 所以且，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 5. 已知在上单调递增，若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数得到关于对称，即有，最后根据在上单调递增比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，则， 所以关于对称，所以， 因为，且， 由上可得，且在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：A． 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A,应用独立事件概率积公式判断B,应用古典概型计算判断C,D. 【详解】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确； ， 抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果： ，共36个，它们等可能， 事件AB所含的结果有：，共8个， 则有，即事件A与事件B相互独立，B正确； 显然，，C，D都错误. 故选：B. 7. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】赋值法得到关于中心对称，在R上单调递增，，从而将不等式转化为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】， 令得，， 由于时，，令得， 故，即， 所以在上单调递增， 在中，令得， 令得， 故的图象关于中心对称，故在上单调递增， 又，且时，所以在R上单调递增， 由题意得， 故， 因为，中， 令得，所以， 由得，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知为常数，，且的最小值为6，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的最小值为6，可求得，进而求得展开利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为为常数，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 且的最小值为6，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 故选：D. 二､多选题 9. 为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 【答案】AB 【解析】 【分析】根据折线图分别求游客数判断A,根据递增及最高峰判断B,D,再计算平均值判断C. 【详解】由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为， 乙景点的7，8，9月份的总游客人数为，，A正确； 根据乙景点的游客人数折线图可知乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确； 甲景点游客人数的平均值为，，C错误； 由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误. 故选:AB. 10. 下列结论正确的是（ ） A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B. 函数过定点 C. 在区间内必有零点 D. 存在实数，使得为幂函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】由全称量词命题定义可判断A；由可判断B；由结合零点存在定理可判断C；由方程无解可判断D. 【详解】对于A：“每个正方体都有六个面”是全称量词命题，故A正确； 对于B：，因为，所以B正确； 对于C：，因为，且的图象是连续不断的， 所以在区间内必有零点，C正确； 对于D：若为幂函数，则，该方程无实数解，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出的关系式，利用基本不等式判断A；利用指数函数的性质判断B；利用对数函数的性质判断C；利用基本不等式中1的妙用判断D． 【详解】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 三､填空题 12. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立； 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知为定义在上的奇函数，，当时，为增函数，则的零点个数为__________，的解集为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数的单调性与奇偶性求零点的个数；利用解高次不等式的方式求解不等式即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以. 又，所以，结合单调性可得的零点个数为3. 当时，为增函数，则当时，也为增函数， 等价于或 则的解集为. 故答案为：3； 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数与的图象，进而得到，，且，整理可得，结合二次函数即可得结果. 【详解】当时，开口向上，对称轴为， 且，， 画出与的图象，如下： 则，， 所以， 故，即， 令，解得或6， 故， 其中， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 四､解答题 15. 已知全集，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，，利用交集运算和补集运算的概念求解即可； （2）由得，然后按照和两种情况分类讨论，根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以或. 当时，. 故. 【小问2详解】 若，所以. 若，则， 由得解得，与矛盾. 若，则， 由得解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知集合，不等式的解集为. （1）求： （2）集合，写出集合的所有子集； （3）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. （2）由（1）求出集合C，再写出其所有子集. （3）求出，再利用交集的结果，结合集合和包含关系求出范围. 【小问1详解】 解不等式，即，得或，则， 不等式化为：或或， 解得或无解或，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则，因此， 所以的子集为，，，，，，，. 【小问3详解】 由（1）知，，由，得， 当时，，则； 当时，，无解； 所以的取值范围为. 17. 随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表： 飞行时长（分钟） 频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1 （1）估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）； （2）记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率． 【答案】（1）平均数为36，第60百分位数约为39分钟． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出飞行时长的平均数，利用第60百分位数定义求出第60百分位数. （2）利用分层抽样求出5架无人机中优良品的数量，再借助组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 该类型无人机飞行时长的平均数为； 飞行时长在区间的频率为0.3，在的频率为0.65， 则该类型无人机飞行时长的第60百分位数， 由，解得， 所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟. 【小问2详解】 依题意，合格品与优良品的比例为，即为， 则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架， 所以从这5架无人机中随机抽取2架，至少有一架无人机为优良品的概率. 18. 已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）图象的对称轴方程为；解集为 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的值域为可知，需取遍所有正数，结合对数的底数的范围求得结果. （2）由单调函数零点的唯一性，结合特殊值求出，再解对数方程转化成的二次方程即可. （3）先求定义域，结合复合函数单调性求出函数的对称轴，再根据函数对称性，结合自变量与对称轴的距离远近解不等式. 【小问1详解】 若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． 【小问2详解】 因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． 【小问3详解】 当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于， 解得或，故所求不等式的解集为. 19. 已知为奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并证明函数在内的单调性； （3）若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 在内单调递减，证明如下： ，且，则， 因为，由的单调性可知，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义可知，由此可计算出的值； （2）先取值，然后将的结果因式分解，结合已知条件判断出的大小关系，则单调性可证明； （3）根据条件先将问题转化为“”，然后将问题再转化为“对任意，”，通过构造关于的一次函数，根据一次函数取值特点求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以，所以的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，因为，所以，所以， 所以，所以的值域为， 因为存在使得成立， 即存在使得成立，即， 即对任意，， 令，由条件可知， 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $